Problème de Thomson

[coussin]

Le truc ici c'est de trouver une surface plane dans R² qui se bijecte vers une sphère

Ce sont les différentes projections cartographiques.
-----

[geometrodynamics_of_QFT]

Ce sont les différentes projections cartographiques.

Sauf qu'ici, pour être plus précis, il s'agit de trouver une surface plane dans R², fermée et sans bords, qui se bijecte vers une sphère.
De la même manière qu'un tore (ou un rectangle où sont correspondu parallèlement les côtés opposés) est une surface fermée sans bords.

L'idée est d'obtenir une surface plane pour laquelle les distances entre 2 points sont continues lorsqu'on effectue la bijection. Enfin je veux dire, que la distance sur la surface plane se transforme continûment lorsque les points sur la sphère se déplacent continûment.
(Or, sans une projection cartographique, comme le soulignait gg0, 2 points très éloignés peuvent être très proches sur la sphère (par exemple l'extrême-Est de la Russie et l'Ouest de l'Alaska dans la projection de Mercator)

Cette contrainte provient du fait qu'il faudra minimiser un potentiel sur cette surface (problème de Thomson), ou maximiser des distances.

[coussin]

Quel intérêt de ce mapping? Le problème de Thomson sur la sphère est "bien posé". Pourquoi vouloir le changer?

[geometrodynamics_of_QFT]

"Bien posé", peut-être dans l'acceptation mathématique du terme, mais on se rend compte (par exemple ici pour N=3, dans la réponse à la question) que la méthode de calcul est affreusement lourde, et la trigonométrie qui est inhérente à la géométrie sphérique en est en partie responsable.

L'autre grand responsable, c'est l'arbitrarité des coordonnées sur la sphère, étant donné qu'il n'y a pas de bords.
Sur un "mapping" rectangulaire pour le tore par exemple, on peut définir aisément une origine arbitraire sur le rectangle à partir de laquelle tous les autres points ont une position unique. Le tore n'a pourtant pas de bords non plus. C'est cette propriété qu'il serait utile de transposer pour la sphère.

[coussin]

Bah c'est juste trouver le minimum d'une fonction de 2N variables (les deux angles de chaque charge)...
Ce sera pareil dans le problème mappé.

[geometrodynamics_of_QFT]

Le problème de Thomson sur la sphère est "bien posé". Pourquoi vouloir le changer?

Car ça fait 1 siècle que tel quel, il n'a pas été résolu pour un N arbitraire?
Peut-être qu'en le "posant" autrement, sa résolution sera plus tractable? ^^ qui ne tente rien n'a rien...

[geometrodynamics_of_QFT]

Bah c'est juste trouver le minimum d'une fonction de 2N variables (les deux angles de chaque charge)...
Ce sera pareil dans le problème mappé.

2N variables en négligeant tout aspect de symétrie...

Justement en parlant de ça, ne pourrait-on pas contraindre une périodicité de la solution pour N charges, suivant certaines directions particulières dépendant du nombre de charges?
Pour illustrer ce que je veux dire, en imposant la périodicité des positions de 3 charges sur la sphère, suivant une direction arbitraire correspondant à un equateur, on aboutit à la solution...
Pour N=4 (tetrahèdre), il y a certaines directions suivant lesquelles la solution est périodique, etc...


(Par "directions", j'entend des grands cercles sur la sphère...des directions méridionales quoi...)

[geometrodynamics_of_QFT]

Sinon en effet, a priori le problème reste le même sur la surface mappée, la trigonométrie en moins, et les symétries qui apparaissent différemment...or on sait qu'elles jouent un grand rôle dans la résolution du problème...
En tout cas merci pour ces objections