Débit et vitesse de l'eau dans un tuyau en pente

[Tempete05]

Bonjour tout le monde.
Je voulais vous demander de l'aide par rapport à un petit problème que j'ai rencontré, le voici :
Il y a un demi-cylindre de 20 m de diamètre (r=10) long de 1 500 mètres soit un contenu de 235 619.45 m3 d'eau contenue dedans.
La pente est d'environ 2 m pour 1 km (je n'obtiens jamais les mêmes résultats de pourcentage de pente, les vacances grillent le cerveau...).
De l'eau circule sur cette pente, emplissant le demi-cylindre en entier. Je ne sais pas si je dois prendre les frottements en considération et surtout, j'aimerai réussir à calculer le débit et la vitesse de l'eau dans le demi-cylindre.
Si vous pouviez m'aider en m'expliquant comment faire et en mettant les calculs (pour que je comprenne mon erreur), ça m'aiderai beaucoup.
Merci
-----

[LPFR]

Bonjour et bienvenu au forum.
Ce n’est pas mon domaine.
Mais je pense que votre problème n’est pas très clair.
Est-ce que vous cherchez la solution stationnaire, c’est à dire que l’eau est en train de couler depuis des siècles, freinée uniquement par les pertes en charge dues aux frottements contre les parois ?
Dans ce cas il faut trouver si le flux est laminaire ou turbulent (Reynolds & Co) et voir si les hypothèses sont consistantes.
Car je ne pense pas que vous trouviez des abaques comme si c’étaient des tuyaux d’installations domestiques.

Je pense que la vitesse est la même que si le aqueduc était complètement rempli.
Au revoir.

[ansset]

en première intention je prendrais l'équation de bernouilli. ( vu le diamètre important )
quitte à affiner après.

la pente est elle régulière, sinon cela peut engendrer des turbulences...

[bb98]

Bonjour

Des choses à lire ici :

https://books.google.fr/books?id=IIw...queduc&f=false

mais beaucoup doit dépendre du niveau....non point de l'eau dans le canal, mais du scolaire de l'exercice

Bonnes lectures

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

Il y'a des formules 'rodées', par exemple celle de Manning* ou de Chézy**


* https://fr.wikipedia.org/wiki/Robert_Manning

**https://fr.wikipedia.org/wiki/Antoine_Ch%C3%A9zy

Légèrement modifiée par le professeur irlandais Robert Manning au XIXe*siècle, cette formule a servi depuis à la construction de canaux dans le monde entier, depuis le canal de Panama jusqu'au système d'irrigation de la Vallée Centrale de Californie.

[azizovsky]

je ne suis pas spécialiste, dans tous les cas tu te base sur le tronçon le moins incliné pour calculer la vitesse, débit ....

[SULREN]

Bonjour,

Il faut utiliser les formules relatives aux écoulements en canal ouvert.

Juste à titre indicatif, voici ce que donne, sauf erreur de ma part, la formule de Hazen Williams pour les tuyaux:
- en considérant qu'on a affaire à un tuyau de forme semi-cylindrique (ou hémi-cylindrique?) de 10 m de rayon, 1500 m de long et de 2m par Km de pente (ce qui revient à mettre un toit sur le canal de l'énoncé)
- donc en utilisant la notion de diamètre hydraulique (périmètre mouillé, aire de section de conduite, etc)

- on arriverait à un débit de 1280 m3/s, soit une vitesse d'écoulement de 8,15 m/s

[LPFR]

Bonjour SULREN.
J’imagine que ce chiffre dépend des suppositions raisonnables, comme la valeur de la rugosité des parois.
(Je rappelle que ce n’est pas mon domaine.)
Au revoir.

[SULREN]

Bonjour LPFR,

Oui la formule de Hazen Williams tient compte du coefficient de rugosité et de la forme éventuellement non circulaire de la conduite, d’où les notions de périmètre mouillé et d’aire de section de conduite.
Elle est facile à utiliser, mais n’est applicable que dans une plage limitée de vitesses d’écoulement.

La formule de Darcy Weisbach est plus précise et couvre un plus vaste domaine de vitesses d’écoulement. Mais elle présente la (toute) petite difficulté de devoir résoudre l’équation implicite de Colebrook White pour le calcul du coefficient de frottement.
Rugosité relative (*), viscosité dynamique, nombre de Reynolds, nature du régime d’écoulement (laminaire, turbulent, intermédiaire), y sont mieux pris en compte que dans Hazen Williams.

(*) Il faut faire attention quand on lit la rugosité dans les tables, ou qu’on l’introduit dans les formules. Elle peut être exprimée en absolu, en relatif par rapport au diamètre, en valeur effective. J’ai galéré un moment avant de bien comprendre ce qu’on trouve dans les tables et savoir quoi introduire dans telle ou telle formule…..et dans quelle unité. On peut lire des mm, ou des centièmes de mm, mais devoir introduire la valeur en m dans la formule.

Attention aussi à ne pas confondre la viscosité dynamique et la viscosité cinématique.

[LPFR]

Re.
Merci SULREN.
A+

[SULREN]

Bonjour,

Mille excuses à tous!
J’ai indiqué plus haut :
« pour une conduite fermée semi-cylindrique qui aurait les dimensions du canal de l’énoncé, on arriverait avec la formule de Hazen Williams à :
un débit de 1280 m3/s, soit une vitesse d'écoulement de 8,15 m/s ».

Cela m’a paru fort, j’ai donc repris le calcul...et il y avait une erreur…grossière :
J’avais fait:
(périmètre mouillé d’un tuyau semi-circulaire) = 1/2 * (périmètre mouillé d’un tuyau circulaire)

Faux, bien sûr! Il fallait ajouter les 20 m du diamètre pour boucler le périmètre.

Les nouvelles valeurs sont :
Débit de 940 m3/s, soit une vitesse d’écoulement de 6 m/s (Belle rivière rapide, tout de même).

[sitalgo]

B'jour,

Pour les écoulements à l'air libre, il convient d'utiliser la formule de Manning-Stricker comme déjà suggéré en #5.
Hazen-Williams concerne les conduites en charge qui ont en proportion davantage de périmètre mouillé. Le calcul donnera un débit plus faible.

[Tempete05]

Bonjour !
Tout d'abord, merci de m'avoir répondu aussi vite, je ne m'attendais pas à ça ^^
Je vais un peu corriger et éclaircir quelques questions :
Le problème n'existe pas en vrai mais je me suis posée la question sur ça et ça me titille depuis un petit temps donc j'essaye de le résoudre. Je me suis trompée dans les mesures : la pente est de 20 cm au kilomètre.
Pour répondre à LPFR, la solution est stationnaire et peu couler depuis des siècles sans que le débit ni la vitesse ne change réellement. L'eau n'est pas sous pression et ne subit que la force gravitationnelle et celle due aux frottements qui la ralentie.
La pente est régulière tout le long de la descente.
Sulren, merci pour les calculs ! (à part mon erreur de pente =.= ), quelles sont vos étapes pour trouver les résultats (si je puis me permettre), je suis encore en scolaire et je ne comprends pas trop les liens ^^' (de plus, j'aimerai l'ajuster pour d'autres valeurs pour mieux maitriser tout ça)

Aide vers quoi m'orienter pour l'instant :
- Bernouilli
- https://books.google.fr/books?id=IIw...queduc&f=false
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Robert_Manning
- https://fr.wikipedia.org/wiki/Antoine_Ch%C3%A9zy
- Hazen Williams
- Darcy Weisbach

Et merci encore pour vos réponses, je vais travailler sur les aides que vous m'avez envoyés pour mieux comprendre le domaine.
(encore merci à Sulren pour ses calculs, excusez-moi de m'être trompé au niveau de la pente...)

[SULREN]

Bonjour,

Sitalgo a écrit :

Le calcul donnera un débit plus faible.

A vrai dire, je pensais cela aussi quand j’ai donné, à titre indicatif , le résultat avec Hazen-Williams.

Surprise :
Je viens de faire un calcul rapide avec Manning-Sticker, supposé parfaitement adapté à la situation, et je trouve encore plus de vitesse d’écoulement, donc plus de débit.
Je n’ose pas donner le résultat . J’attends d’être mieux réveillé pour reprendre tout cela.

Merci d’avance à tout volontaire qui sera plus sûr de lui et qui le donnera. Autant aller jusqu'au bout du problème!

PS: Je viens aussi de découvrir (source Wikipedia ; crédible ou pas ?) qu’on peut appliquer Darcy-Wiesbach (donc pourquoi pas Hazen-Williams) au calcul de débit dans les canaux ouverts, en prenant dans le calcul le diamètre hydraulique et pas le diamètre physique.

EDIT : posté avant d'avoir vu le message de Tempête05.
On reprendra tout cela avec la pente de 0,2 par km..... plus proche de celle d'une rivière qui serpente.

[sitalgo]

Surprise :
Je viens de faire un calcul rapide avec Manning-Sticker, supposé parfaitement adapté à la situation, et je trouve encore plus de vitesse d’écoulement, donc plus de débit.

C'est bien ce que j'ai dit.

PS: Je viens aussi de découvrir (source Wikipedia ; crédible ou pas ?)

Pas vu ça dans l'article.

qu’on peut appliquer Darcy-Wiesbach

Appliquer telle quelle ? Une équation, deux inconnues. C'est pour ça qu'il y a une tapée de formules diverses pour en éliminer, Wiki en recense une bonne quinzaine.

(donc pourquoi pas Hazen-Williams) au calcul de débit dans les canaux ouverts, en prenant dans le calcul le diamètre hydraulique et pas le diamètre physique.

Je pense qu'il y en a qui n'ont pas essayé et ils n'ont pas eu de problèmes.

[SULREN]

Bonjour,

Voici les résultats sur le problème posé, que je soumets à discussion, car outre les erreurs de calcul qui ont pu les fausser, ils varient assez fortement en fonction de la rugosité de paroi qu’on retient. (Tempête05 ne nous a pas dit s’il voulait construire son canal fictif en maçonnerie de pierres, en béton avec coffrage planches et échafaudage en bambous, ou bien en coffrage métallique et échafaudage métallique . L’état de surface en dépend).

CANAL avec pente erronée de 2 m par Km (0,002 m/m).

Formule de Hazen-Williams :
Même si elle n’est pas applicable aux canaux ouverts.
J’avais indiqué :
Vitesse = 8,15 m/s que j’ai ensuite ramené à 6 m/s en changeant la façon de calculer le périmètre mouillé.
Débit = 1280 m3/s ramené ensuite à 940 m3/s

Formule de Manning-Strickler :
Elle a été établie pour les canaux ouverts et les cours d’eau
Avec un coefficient de Manning de 90, correspondant à du béton coulé en coffrage métallique :
Vitesse écoulement = 11,8 m/s (mieux vaut ne pas avoir à nager à contre-courant)
Débit = 1847 m3/seconde
(C’est supérieur aux valeurs de Hazen-Williams, qui pourtant paraissaient à tous excessives).

Formule de Darcy-Weisbach :
Elle est applicable aux canaux ouverts, mais il faut recalculer une conduite correspondant au diamètre hydraulique et faire des adaptations que je ne maîtrise pas.


CANAL avec pente revue à 0,2 m par Km (0,0002 m/m).

Formule de Manning-Strickler :
Avec un coefficient de Manning de 90, correspondant à du béton coulé en coffrage métallique :
Vitesse écoulement = 3,7 m/s
Débit = 584 m3/s

Formule de Bazin :
Qui est une amélioration de celle de Chezy.
Avec un coefficient de Bazin égal à 0,06, correspondant à une paroi très unie en ciment.
Vitesse = 2,68 m/s
Débit = 421 m3/s

Noter que la pente de 0,0002 m/m permet l’auto-curage, qui nécessite une vitesse d’écoulement supérieure à 0,7 m/s.

[ansset]

merci SULREN pour toutes ces modélisations que j'ignorai.
en faisant ultra-simple , j'applique bêtement le fait que l'énergie potentielle est transformée en énergie cinétique.
j'obtiens :
- env 7,7 m/sec pour un dénivelé de 3 m
- env 2,45 m/sec pour un dénivelé de 0,3 m.
ce qui semble proche des résultats obtenus avec des modèles bien plus complexe ( et qui font intervenir des paramètres non connus )
Cdt

[SULREN]

Bonjour,

ansset a écrit:

j'applique bêtement le fait que l'énergie potentielle est transformée en énergie cinétique.

Je dirais : « C'est pas faux » en paraphrasant la réplique culte de Kaamelott.
Vous allez nous re-inventer l’équation de Bernouilli, qui peut être considérée comme un principe de conservation d'énergie adapté aux fluides en mouvement
Mieux vaut quand même tenir compte des frottements et de la viscosité.

ce qui semble proche des résultats obtenus avec des modèles bien plus complexes.

Toutes les formules qui ont été citées sont extrêmement simples, s’apprennent vite et se traitent aisément sur Excel. Je ne m’étais intéressé jusqu’à lors qu’aux tuyauteries fermées et essentiellement à Darcy-Wiesbach. Le seul problème était de trouver des tables sur les données de rugosité qui soient fiables et claires sur les unités qu’elles employaient.

Sitalgo a écrit :

Pas vu ça dans l'article.

Sur le site :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Formul...ning-Strickler
Vers la fin de l’article il est écrit :
« Dans les canaux ouverts, l'équation de Darcy-Weisbach peut également être utilisée pour déterminer les pertes de charges en calculant le diamètre d’une conduite équivalente au diamètre hydraulique ».

Par ailleurs, dans des documents scientifiques que je suis en train d’étudier (car je ne m’étais jamais intéressé auparavant aux canaux ouverts) j’ai lu aussi :
« Bien que la relation de Darcy-Weisbach ait été développée pour le cas des conduites, elle est cependant applicable aux canaux ouverts, en remplaçant D par le diamètre hydraulique
Dh ».

Appliquer telle quelle ? Une équation, deux inconnues. C'est pour ça qu'il y a une tapée de formules diverses pour en éliminer, Wiki en recense une bonne quinzaine.

Oui ! J’utilise «telle quelle », sur un tableau Excel simplissime, la relation de Darcy-Weisbach et sa relation associée, celle de Colebrook-White.
Je jette juste, éventuellement, un coup d’œil sur le diagramme de Moody pour voir s’il trouve le même coefficient de frottement que moi.

Aucun problème. Pas besoin d’aller piocher dans Wiki et « sa tapée de formules diverses destinées à en éliminer ».
Je ne suis pas gêné pas le problème d’inconnue surnuméraire avec cette formule et pourtant je l’ai utilisée pour les calculs de perte de charges dans mon réseau d’irrigation relativement étendu et plus souvent pour des amis qui ont des projets de stations de pompage et de réseaux encore plus étendus. C’est aussi, il faut bien l’avouer, pour le plaisir, parce qu’avec un peu de pratique on sait très bien « pifométrer » combien on aura de perte de charges pour un débit donné dans nos tuyaux en polyéthylène.

[ansset]

Je dirais : « C'est pas faux » en paraphrasant la réplique culte de Kaamelott.
Vous allez nous re-inventer l’équation de Bernouilli, qui peut être considérée comme un principe de conservation d'énergie adapté aux fluides en mouvement
Mieux vaut quand même tenir compte des frottements et de la viscosité.

Toutes les formules qui ont été citées sont extrêmement simples, s’apprennent vite et se traitent aisément sur Excel. Je ne m’étais intéressé jusqu’à lors qu’aux tuyauteries fermées et essentiellement à Darcy-Wiesbach. Le seul problème était de trouver des tables sur les données de rugosité qui soient fiables et claires sur les unités qu’elles employaient..

disons plus simplement que je ne les connaissais pas.
et je t'ai d'ailleurs remercié pour ces infos.

pour le reste, j'observe juste que mon truc ultra simplifié donne des résultats proches.

ps: je ne ré invente rien, est ce que cette remarque est sensée être désobligeante ?
ps2: je ne suis qu'"un" généraliste !

[ansset]

puisque tu parles de "pifométrer" ! je l'ai fait à ma manière.... c'est tout.

[SULREN]

Re,

pour le reste, j'observe juste que mon truc ultra simplifié donne des résultats proches.

ps: je ne ré invente rien, est ce que cette remarque est sensée être désobligeante ?
ps2: je ne suis qu'"un" généraliste !

Ansset, il y a un TRES gros malentendu. Il n'y avait absolument rien de désobligent dans mes propos .....et de plus ce n'est pas dans mes habitudes. J'aurais dû mettre un smiley!
Tout au contraire, j'ai voulu plaisanter parce que j'ai été surpris du résultat que tu as obtenu par toi-même, sans recourir à toutes les formules que j'avais déballées et qui avaient donné lieu à des tâtonnements. En plus, j'ai cru que tu voulais me taquiner en me rappelant "gentiment" qu'il existait la formule de Bernouilli et que j' aurais pu penser à l'utiliser.
Je la connais bien sûr, depuis l'école, mais je considère que c'est une formule fondamentale, fondatrice, et je préfère les formules d'application, de terrain, qui tiennent comptes des données pratiques: rugosité, frottements, viscosité......

[ansset]

rassures toi, je ne l'ai pas mal pris du tout.
et c'est justement :
-parce que je ne connais les formules plus spécifiques.
- qu'il manque des données ( qui semblaient être utiles aux modèles plus pointus )
que j'ai fait cette réponse simpliste ( je te l'accorde )
cordialement.

[Tempete05]

Wow, merci de toutes vos réponses, c'est impressionant ! O.O Et moi qui n'arrivait à rien...
Tempête est féminin, je suis une fille ^^
Pourriez-vous me dire quels sont vos calculs pour les formules (j'aimerai m'entrainer en faisant avec d'autres valeurs) ? A chaque fois il me manque trop d'inconnues pour le résoudre...
Le béton en coffrage métallique exerce-t-il beaucoup de pression sur l'écoulement de l'eau ? J'imagine qu'elle est moindre que pour du ciment.

anssset, comment as-tu calculé l'énergie potentielle que pouvait avoir le volume d'eau ?

Merci infiniment à vous deux pour votre aide sur ce problème !

[SULREN]

Bonsoir Tempete05,

Dans le problème de canal que vous avez posé il y a deux solutions à retenir :
- Celle proposée par Ansset. Il lui appartient de démontrer sa validité et de vous l’expliquer.
- Celle constituée par la relation de Manning-Strickler
Je l’ai découverte aujourd’hui et je pense qu’il faut l’utiliser comme suit :

Cette relation s’écrit :
V = K_s R_h ^2/3 i ^1/2

où:
V est la vitesse moyenne de la section transversale (en m/s), c’est-à-dire la vitesse d’une tranche d’eau dans le canal. C’est la grandeur qu’on veut calculer et qui permettra d’en déduire le débit.

K_s est le coefficient de Strickler. On le trouve dans les tables sur le net et nous verrons comment.

R_h est le rayon hydraulique (m)
Il ne faut pas le voir comme le rayon d’un cercle tel qu’on l’apprend en géométrie et en particulier il faut savoir qu’il n’est pas égal à la moitié du diamètre physique, comme on nous l’enseigne en géométrie pour le cercle. Il faut juste le calculer sans se poser de questions, par la formule ci-dessous et en faisant bien attention aux unités :
R_h = S / P
S est l’aire de la section transversale de l’écoulement (m2)
P est le périmètre mouillé (m)

i est la pente hydraulique (m/m)

APPLIQUONS CELA AU CAS DE VOTRE CANAL:
On le suppose réalisé en béton et les tables disent que pour le béton coulé dans un coffrage métallique le coefficient vaut 90.

Il a une pente de 20 cm par Km ce qui fait une pente hydraulique i = 0,0002 m/m

Calcul de R_h :
Ce canal a le profil d’un demi-cercle de diamètre 20 m.
La section du canal a donc la surface d’un demi-cercle, c’est à dire :
(π*D*D/4)/2 = 3,14159*20*20/8 = 157 m2
Le périmètre mouillé est le périmètre du profil du canal mouillé par l’eau. C’est un demi-cercle de diamètre 10m, soit ayant pour périmètre :
P = π*D /2 = 3,14159*10/2 = 31,41 m
Le rayon hydraulique est donc :
R_h = S/P = 157 / 31,41 = 5 m (on voit bien que cela n’a rien à voir avec le rayon physique)

La vitesse V est donc :
V = 90 * 5 ^2/3 0,0002 ^1/2 = 3,721 m/s

Le débit est égal à la section du canal multipliée par la vitesse de cette section, soit :
Q = 3,721 * 157 = 584,3 m3/s

Si vous êtes d’accord avec ce que je viens d’écrire, nous verrons ensuite comment trouver sur le net le fameux coefficient K_s dans les tables.
@+

[ansset]

- Celle proposée par Ansset. Il lui appartient de démontrer sa validité et de vous l’expliquer.

il n'y a rien à expliquer , puisque à l'aire libre je suppose une pression cte.

tout le reste me semble être des suppositions de coeffs qui me sont étrangers.
il reste que "curieusement" on se retrouve avec des solutions proches !
j'en fais pas un fromage non plus !