Décomposition en valeurs singulières d'une matrice de Toeplitz.

[invite586d61fa]

Bonjour,

Je suis en train de lire un code Matlab et je bloque, par manque de connaissances suffisantes en maths/physique, sur une partie.
Je ne vais pas entrer dans le détails du code afin de ne pas surcharger la question, mais je pourrai, si nécessaire, donner des informations sur celui-ci.

Pour illustrer ma question, imaginons que l'on compte le nombre de voitures passant sur une autoroute. On observe la courbe suivante, avec chaque point a(1), a(2), ...., a(n), n représentant les abscisses (donc a(1), le plus à gauche et a(n) le plus à droite), en abscisse le temps et en ordonnée le nombre de voiture à ce temps:

***** * *
* *
* *
* *
* *
*

Si nous prenons les valeurs du nombre de voitures à un temps donné (par abus de langage: a(n)), et que nous les rangeons sous forme d'une matrice de Toeplitz, avec ces caractéristiques:
- la première colonne comporte les n valeurs a(1),a(2), ... suivis de n zeros,
- la première ligne comporte a(1), puis n zéro, puis les valeurs de a rangées en sens inverse entre a(n) et a(2) (a(n), a(n-1) ... a(2)):
a(1) o o . . . a(n) a(n-1) . . . a(2)
a(2)
.
.
a(n)
0
0
.
.
0

Dans Matlab, si la matrice décrite précédemment est Ca, la fonction svd permet la décomposition en valeurs singulières de Ca:
>> [U,S,V] = svd(Ca);

Sans rentrer dans les détails mathématiques, à quoi, concrètement / physiquement, correspondes les matrices U, S, V. Avant de poser cette question, j'ai bien regardé du cotes mathématiques à quoi cela correspondait, mais concrètement je n'arrive pas à me représenter à quoi cela correspond ?
Sans rentrer dans les détails, mais peut être que cela pourra aider pour l'explication ? les matrices U, S,V sont ensuite utilisées dans une étape de déconvolution ...

Merci d'avance pour toute éclairage sur le sujet !
Cordialement
-----

[coussin]

Est-ce que la page wikipedia vous aide ?
La décomposition en valeurs singulières est une "généralisation", bien plus puissante, de la diagonalisation (il existe toujours une décomposition en valeurs singulières, même quand une matrice n'est pas diagonalisable).

[invite586d61fa]

Je remarque que le petit schéma que j'avais essayé de faire avec des "*" ne semble pas avoir le rendu escompté !!! (et je n'arrive pas un modifier mon message initial)
Voila une courbe plus prés de ce que je souhaitais illustrer !:

[invite586d61fa]

Bonjour Coussin et merci pour votre aide.

Oui, j'ai déjà consulté la page wikipedia, j'ai même commencé par cela !! et bien d'autres encore !!! Ce que je cherche à comprendre c'est surtout la représentation concrète (voir physique) de l’opération.

Le problème des maths, c'est qu'il y a deux étages à un outil. Le premier est la technique: comment faire. Par exemple comment je diagonalise une matrice. Ça demande du savoir faire, ça peut être quelques fois compliqué à appréhender (exemple les outils de mécanique quantique). Ensuite il y a le deuxième étage : à quoi cela correspond dans la vrai vie ou quelle représentation intellectuelle je m'en fais si c'est complétement déconnecté de nos capacités à appréhender le monde !!! (encore avec la mécanique quantique : la chat il est mort ou il est vivant ? ni l'un, ni l'autre ... ah bon !!!).

Un exemple, suite a ce que vous écrivez (et qui est très juste d'un point de vu technique (la première étage !). La diagonalisation: kesako ? Voila les trois premières phrases, a ce sujet, dans cet excellent site qu'est Wikipedia:
"En mathématiques, la diagonalisation est un procédé d'algèbre linéaire qui permet de simplifier la description de certains endomorphismes d'un espace vectoriel, en particulier de certaines matrices carrées. Elle consiste à rechercher et expliciter une base de l'espace vectoriel constituée de vecteurs propres, lorsqu'il en existe une. En dimension finie, la diagonalisation revient en effet à décrire cet endomorphisme à l'aide d'une matrice diagonale."

En terme simple et factuel, ça veut dire quoi ???

[A voir en vidéo sur Futura]