Métrique Euclidienne de l'espace-temps

[azizovsky]

Bonjour, il y'a quelque temps, j'ai trouvé un métrique de l'espace-temps de la forme suivante avec (c=1):

(*)

or, quand je pose , je trouve :



quelle sens physique peut'on donner à cette relation .

Merci d'avance.
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[Médiat]

Bonjour,

Une question sur "le sens physique" ne serait-elle pas mieux en physique ?

[Amanuensis]

La métrique euclidienne est une «vraie» métrique (elle définit une distance), et s'applique avec un espace vectoriel sous-jacent sur le corps des réels. Si appliquée à un vecteur (ce qu'on écrit abusivement ds²=0), le vecteur est nul, c'est un axiome de la notion de distance.

Pas de sens physique à chercher à un truc qui est mathématiquement faux.

[Anonyme007]

Bonjour,

Si je ne m'abuse, lorsque tu notes , c'est comme noter en général à mon avis : avec : est une forme quadratique, ce qui voudrait dire à mon avis que la forme bilinéaire associée à est dégénérée. Or cela est en contradiction avec la définition d'une métrique ou tenseur métrique en géométrie différentielle.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Faut prendre en compte l'abus usuel en physique de parler de «métrique» pour une forme minkowskienne, qui n'est pas «définie», ce qu'une forme métrique au sens mathématique doit être. Ou encore, en physique «parlant géo diff» on voit souvent «métrique» pour signifier «forme bilinéaire symétrique non dégénérée», et pouvant être définie ou non.

(Dégénérée signifie autre chose que «non définie». La forme bilinéaire symétrique dt²-dr² en 2D est non définie et non dégénérée.)

[azizovsky]

Ok, merci tous, car je sais que, si je pose s²=0=t²+r², j'ai une courbe nulle (classification des courbes du second ordre...), on 'a deux droites imaginaires.....ou si: dt²+dx²+dy²=0, il y'a le concept de spineur que se dégage..., je vais me replongé dans les détails.

[Anonyme007]

Faut prendre en compte l'abus usuel en physique de parler de «métrique» pour une forme minkowskienne, qui n'est pas «définie

Une forme Minkowskienne est une pseudo-métrique et non une métrique au sens de la géométrie différentielle. J'ai vu ça tout à l'heure sur Wikipedia.

[Amanuensis]

PS: J'ai un doute sur la terminologie en français. En anglais on dit «definite positive», ce qui j'ai transcrit, suivant certains textes, par «définie» ; déjà «définie positive» serait mieux, mais je ne retrouve pas ce terme. Si je me base sur https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A...C3%A9matiques), en la comparant à la page en anglais, ainsi qu'avec https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor, cela regroupe les propriétés que la forme quadratique a son image dans R+, et d'identité des indiscernables.

De toutes manières, la forme dt²-dr² ne respecte pas la propriété de positivité, sans même s'occuper de la discernabilité.

[Amanuensis]

Une forme Minkowskienne est une pseudo-métrique et non une métrique au sens de la géométrie différentielle. J'ai vu ça tout à l'heure sur Wikipedia.

Oui, bien sûr. Mais je parlais d'usages, et ceux-ci ne respectent pas nécessairement des normes posées par tel ou tel texte, dictionnaire, référence ou encyclopédie.

[Amanuensis]

Ok, merci tous, car je sais que, si je pose s²=0=t²+r², j'ai une courbe nulle (classification des courbes du second ordre...), on 'a deux droites imaginaires.....ou si: dt²+dx²+dy²=0, il y'a le concept de spineur que se dégage..., je vais me replongé dans les détails.

On peut travailler avec C comme corps de base, mais alors faut pas référer à l'idée d'espace-temps, faut cadrer de quoi on parle en termes mathématiques.

[azizovsky]

On peut travailler avec C comme corps de base, mais alors faut pas référer à l'idée d'espace-temps, faut cadrer de quoi on parle en termes mathématiques.

OK, merci beaucoup, mais la métrique , je l'ai trouvé en formalisant une ''observation physique...'', en réalité, j'ai trouvé deux:



la première ne m'a pas posé de problème pour ds=0, c'est la 2ème ...., comme je suis comme un 'aventurier' , j'aimerai bien faire une liaison mathématique entre les deux ...(rotation de Wick, je ne sais pas ....), c'est pour ça que je cherche un sens s'il y'en a un ....

[Amanuensis]

On peut utiliser la forme métrique dt²+dr² dans l'espace-temps, c'est bien défini du point de vue mathématique, même en restant avec R comme corps de base.

Par contre je n'ai pas d'idée d'une interprétation physique de cette forme métrique (1), ni de relations autres que directes entre cette forme métrique et la forme minkowskienne.

(Et la rotation de Wick demande un cadre conceptuel avec les complexes comme corps de base. Utilisée pour certains calculs formels en PhyQ, mais de là à y voir une signification physique pour l'espace-temps, c'est autre chose.)

(1) Elle a bon goût de borner la valeur absolue de la minkowskienne, ce qui lui donne peut-être une utilité?

[azizovsky]

Bonjour, Merci Amanuensis pour les détails, je vais potasser les directions indiqués.

[mach3]

PS: J'ai un doute sur la terminologie en français. En anglais on dit «definite positive», ce qui j'ai transcrit, suivant certains textes, par «définie» ; déjà «définie positive» serait mieux, mais je ne retrouve pas ce terme. Si je me base sur https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A...C3%A9matiques), en la comparant à la page en anglais, ainsi qu'avec https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_tensor, cela regroupe les propriétés que la forme quadratique a son image dans R+, et d'identité des indiscernables.

De toutes manières, la forme dt²-dr² ne respecte pas la propriété de positivité, sans même s'occuper de la discernabilité.

en 2e année de fac (il y a 15 ans...), le prof nous avait défini un espace euclidien comme un espace vectoriel muni d'une forme bilineaire symétrique definie positive.

m@ch3

[azizovsky]

Bonjour, il y'a le théorème (critère,loi d'inertie) de Sylvester *pour la classification des formes (représentation d'une fonctionnelle ou forme bilinéaire symétrique ou forme associée) quadratiques.

Définition : Soit E un R-espace vectoriel quelconque, q une forme quadratique
sur E et A une matrice symétrique réelle.
On dit que q est positive si q(x) >/ 0 pour tout x appartenant E.
On dit que q est dénfinie positive si q(x)> 0 pour tout x appartenant E\{0}.

*https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_d%...e_de_Sylvester

[mach3]

On dit semi-définie positive pour .

m@ch3

[Amanuensis]

On dit semi-définie positive pour .

??? ???

[mach3]

en français, quand la forme quadratique est strictement positive (resp. négative), on dit définie positive (resp. négative), quand elle est positive (resp. négative) ou nulle, on dit semi-définie positive (resp. négative), et quand elle peut être positive, négative ou nulle, on dit indéfinie.

m@ch3

[Matmat]

mach3 , je croyais que définie positive signifiait définie et positive ("x|x = 0 --> x=0" et "x|x >= 0")

[Amanuensis]

Il y a deux propriétés distinctes à nommer:

1) L'image de q, qui contient nécessairement 0, et qui est soit R, soit R+

2) L'image réciproque de 0, selon qu'elle est limitée à {0} ou non.

Positive si R+ en 1)

Définie si {0} en 2)

Les non positives sont nécessairement (il me semble) non définies, il n'y a que trois cas distingués par cette terminologie. (On ne distingue pas une inversion globale du signe.)

Or, si on se base sur la signature, il y a quatre cas si la dimension est trois ou plus:

+++ définie positive
++- non positive (donc non définie) et non dégénérée
++0 ou +00 positive non définie (et dégénérée)
+-0 non positive (donc non définie) et dégénérée

Quelle terminologie distingue correctement ces quatre cas?

(On pourrait distinguer un cinquième cas, signature 000, d'intérêt limité.)

[azizovsky]

On dit semi-définie positive pour .

m@ch3

D'après ce que je sais, ce terme est utilisé quand le rang de la forme quadratique canonique est inférieure à la dimension de l'espace vectoriel .

[azizovsky]

je viens de vérifier plus deux traductions du russe en français !.(pas possible qu'ils disent n'importe quoi)

[Amanuensis]

quand le rang de la forme quadratique canonique est inférieure à la dimension de l'espace vectoriel .

Ce que j'appelle dégénérée; il me semble équivalent à un 0 dans la signature (une valeur propre nulle pour la matrice), équivalent à il existe un vecteur v non nul tel que q(v)=0.

Mais cela n'implique pas que l'image de q soit positive, comme le montre dx²-dy² en 3D. «semi-positive» n'est pas adapté.

[invite69d38f86]

On peut se poser la question du sens physique de certains objets en métrique euclidienne ou apparait un imaginaire pur.
mais il faut réaliser que quand on les sort du champ de vision d'un coté ils reviennent de l'autre.
ainsi en métrique avec signature (+ - - -) on voit apparaitre des ds^2 négatifs pour certaines géodésiques du genre espace.
peu de gens se posent la question de sens physique de ces "ds" imaginaires purs.
en revanche en métrique euclidienne les ds sont rééls pour les géodésiques,
ce qu'on gagne d'un coté on le perd de l'autre.