Particule chargée dans le champ d'un dipole

[kizakoo]

Bonjour, je travaille un exo sur le mouvement d'une particule chargée dans un champ créé par un dipôle électrostatique :

La charge Q est de masse m et le dipôle est noté p=pux , on note E l'énergie mécanique de la particule. Les conditions initiales sont:

dipole.png

On nous demande de trouver une équation différentielle ne faisant intervenir que r et ses dérivées, j'ai essayé d'appliquer le PFD mais ca ne marche pas. On nous fournit comme indication qu'il faut appliquer le théorème de l'énergie mécanique. Après beaucoup de tentatives, j'ai consulté le corrigé mais je ne comprends toujours pas comment ils ont procédé: la réponse c'est
dipole2.png

Après, on nous demande de considérer le cas particulier où la trajectoire est circulaire et de calculer la période du mouvement en fonction des données et de l'intégrale:
dipole3.png

Pouvez-vous m'aider?
Merci
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[LPFR]

Bonjour.
Peut-être que vous trouverez votre bonheur ici :
https://www.google.fr/url?sa=t&rct=j...8gsQsom29gadRm
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Au revoir.

[petitmousse49]

Bonsoir : tu sembles avoir mal recopié l'énoncé :
Ensuite : revois ton cours sur le dipôle : potentiel V créé en tout point et composantes et du vecteur champ.
Projète la RFD sur les deux axes.
La conservation de l'énergie mécanique s'écrit :

Il est alors possible d'éliminer entre la relation de conservation de l'énergie et la projection sur Ur de la RFD : cela permet d'éliminer comme demander.
On peut alors intégrer et discuter des divers mouvement possible suivant les valeurs de E.

[Resartus]

Bonjour,
L'énoncé est correct, mais il est franchement laconique
Comme on indique que theta et phi sont initialement nuls et leurs dérivées aussi, la particule restera dans l'axe du dipole.
Il faut supposer qu'on est assez loin du dipôle pour que le potentiel électrostatique du dipole varie en 1/r² (très précisément 1/4pipepsilon0*p/r^2)
Si cela n'a pas été vu en cours, il faudra peut-être le redémontrer en faisant un DL du potentiel des deux charges

L'équation demandée ne marche que grâce à ces deux hypothèses.

L'énergie potentielle Ep de la particule vaut q fois le potentiel. Elle est donc de la forme k/r². La force qui est l'opposé du gradient de l'énergie potentielle va être :
F=-dEp/dr.
Compte tenu de la variation en 1/r², cette force vaut donc k/2r^3. On vérifie que cela vaut Ep/2r
Et comme l'accélération r" vaut F/m, on a r"=2Ep/r.m, soit Ep=mr.r"/2

Or, la conservation de l'énergie mécanique s'écrit : Ep+Ec=E (avec Ec=1/2*mr'²). On retrouve bien la relation cherchée

Maintenant on remarque que rr"+r'² est la dérivée de r.r', et que r.r' est la dérivée de r²/2. On intègre donc deux fois, ce qui donne un terme en t²+ct+d (et c et d vont être nuls à cause des conditions initiales....)

[A voir en vidéo sur Futura]

[petitmousse49]

Bonsoir Resartus
Le potentiel et donc l'énergie potentielle ne dépendent pas que de r :

[Resartus]

@petitmousse49 :

Je me recite :

"Comme on indique que theta et phi sont initialement nuls et leurs dérivées aussi, la particule restera dans l'axe du dipole."

[petitmousse49]

Kizacoo a écrit que la valeur initiale de la dérivée de theta par rapport au temps vaut Vo >0. Il y a manifestement une erreur : ce résultat n'est pas homogène.

Il ne faut pas en déduire pour autant que cette valeur initiale vaut zéro ! Comment pourrait-on alors envisager un mouvement circulaire ?

L'énoncé original que l'on peut trouver sur internet est conforme à mon message de 20h04.
http://www.inphb.edu.ci/C%20Ing%20-%.../Physique2.pdf