Comment factoriser le Hamiltonien de l'atome d'hydrgène ?

[Yamata1]

Bonsoir,
le Hamiltonien de l'atome d'hydrgène


avec la charge elementaire, la masse de l'electron, le rayon du noyau à l'electron et, la quantité de mouvement. J'ai vu sur ce cours(https://ocw.mit.edu/courses/physics/...13_Chap_09.pdf) page 34 que l'on peut factoriser tel que


pour les bonnes constantes and que l'on peut calculer. Je pense reconnaitre l'identité:
.

Peut-on m'expliquer comment passer de à en faisant apparaître l'operateur position? Merci.
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[albanxiii]

Bonjour,

Ça n'est pas exactement l'opérateur position, vu sa tête, je dirais que c'est l'opérateur provenant de l'énergie potentielle coulombienne. Je vous laisse dérouler le calcul

, reste à savoir ensuite si vos sont unitaires ou non pour arriver à l'expression de l'hamiltonien que vous avez postée (vu l'expression, on peut penser que oui).

[Yamata1]

Voici le calcul:




Donc comme la somme est égale à et nous en déduisons .