Théorie des noeuds

[inviteb71bce26]

La théorie des nœuds est une branche de la topologie qui consiste en l'étude mathématique de bouts de ficelles idéalisés. Elle est donc très proche de la théorie des tresses.
Certains mathématiciens (francophones) ont choisi à juste raison d'utiliser plutôt la dénomination "théorie des tresses et entrelacs" qui est plus correcte et générale (puisqu'un entrelac est un noeud à plusieurs composantes).
Je vous recommande cette page d'historique

En mécanique quantique il existe la théorie des cordes et la théorie des boucles.

Ma question est; est-ce que l'une ou l'autre de ces théories décrit des entrelacs ?

J'ai lu que l'on utilisait aussi le terme de "mousse" en théorie des boucles mais il me semble que l'on parle de boucles enchevêtrées et non d'entrelacs ?
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[invite69d38f86]

Tu as sans doute posté au mauvais endroit. ce serait mieux en maths ou en physique pour avoir des réponses.

[Deedee81]

Bonjour,

J'ai déplacé en physique

[Deedee81]

Salut,

La théorie des noeuds est avant tout un outil mathématique.

La théorie des cordes, la gravité quantique à boucles dans le formalisme des boucles (des holonomies en fait), le formalisme des réseaux de spins ou le formalisme des mousses de spins. On retrouve même les tresses (comme modèle heurristique d'états semi-classiques de l'espace-temps. Ce sont avant tout des modèles physiques des particules ou de l'espace-temps. Du fait de leur structure assez complexe, évidemment, les outils mathématiques interviennent à fond : algèbre, analyse, topologie générale, topologie différentielle, topologie algébrique,.... tout y passe ou presque.

Je n'ai jamais vu l'usage de la théorie des noeuds dans ces domaines, ni les entrelacs, mais, ma foi, il est fort possible que cela ait été utilisé dans l'un ou l'autre article théorique. En particulier pour les tresses (il me semble avoir lu quelque chose à ce sujet, mais c'est vague dans ma mémoire).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d38f86]

il y a un livre écrit par John Baez qui s'appelle gauge fields knots and gravity

[Deedee81]

Ah tiens, je ne connaissais pas. Merci.

Là-dessus j'ai trouvé :
Knots and physics, Kauffmann
Loops, knots, gauge theories and quantum gravity, Rodolfo Gambini
Voir aussi : https://arxiv.org/abs/gr-qc/9410018

Y en a pleins en fait

[0577]

Bonjour,


Une manière d'aborder l'étude des noeuds, qui sont des objet topologiques potentiellement compliqués, est de chercher des "invariants de noeuds". Un invariant de noeud est une manière d'attacher à tout noeud un objet algébrique assez simple (entiers, polynômes,...).

Le sujet a été révolutionné dans les années 1980 par la découverte des "invariants quantiques".
L'histoire est compliquée et il y a de nombreux points de vue, mathématiques et physiques, sur ces invariants. Un des points de vue les plus conceptuels consiste à interpréter ces invariants comme étant calculés par une certaine théorie de jauge en dimension trois (la théorie de Chern-Simons).

Le premier exemple de relation entre théorie des noeuds et théorie de jauge est probablement dû à Gauss qui remarqua que le nombre d'entrelacement de deux noeuds K_1 et K_2 peut se calculer comme le flux à travers une surface bornée par K_1 du champ magnétique créé par un courant électrique le long de K_2 (c'est une conséquence immédiate du théorème d'Ampère).

La théorie de Chern-Simons peut se plonger en théorie des cordes, et les dualités entre les différentes formes de la théorie des cordes donnent une multitude de prédictions mathématiques, des versions plus fines des invariants... Comprendre et prouver ces prédicitions est une branche active aujourd'hui de la théorie des noeuds.

Conclusion: il existe une connexion importante entre théorie des noeuds et théorie de jauge/théorie des cordes (et l'information tend à se propager de la physique vers les mathématiques). Mais cette connexion ne passe pas via l'idée "les cordes forment des noeuds". Une raison est que les noeuds (au sens de plongement non-trivial du cercle dans l'espace) n'existent qu'en dimension 3 alors que les cordes de la théorie des cordes vivent (en première approximation) dans un espace-temps de dimension 10. Une raison plus sérieuse est que les cordes de la théorie des cordes ne sont pas des objets classiques mais des objets quantiques. (Une manière de voir comment les noeuds apparaissent en théorie de Chern-Simons est comme trajectoire d'une particule chargée infiniment massive, qui se comporte donc classiquement et a une trajectoire bien définie qui peut être le noeud).