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Théorie des noeuds



  1. #1
    Eogan

    Théorie des noeuds


    ------

    Bonjour, je réalise un TIPE de sup sur la théorie des noeuds et je croule sous des infos de toutes parts!!!
    Est-ce que quelqu'un qui s'y connait aurait un plan à me proposer?
    Je pensais parler des invariants topologiques, et peut-être faire quelques calculs sur un noeud pris au hasard , pour l'ouverture je pense qu'on peut parler de l'adn ou de la théorie des cordes...
    Mais je ne vois pas de plan clair... Si quelqu'un a une idée!
    Merci

    -----

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  3. #2
    doudache

    Re : Théorie des noeuds

    Salut !

    Je pense que tout d'abord tu dois savoir définir un noeud (et c'est pas très facile) et montrer que tu peux le représenter par projection. Tu peux aussi parler des noeuds sauvages.

    Ensuite, il faut définir les relations d'équivalences entre les noeuds et montrer qu'il n'y en a pas beaucoup (des façons de dénouer et nouer des noeuds). C'est ce qu'on appelle les mouvements de Reidemeister.

    C'est là qu'intervient logiquement la notion d'invariant : tu peux d'abord parler d'invariants de type fini, puis parler des différententes constructions d'invariants (polynômes de Jones et d'Alexander ou plus généralement du polynôme HOMFLY) avec des exemples de calculs (par exemple le trèfle).

    C'est déjà pas mal si tu fais tout ça !!!

    Si tu veux un peu plus de matière, tu peux parler d'entrelacs, et même de tresses (avec les théorèmes d'Alexander et de Markov qui font le lien entre les deux notions).

    Par contre je te déconseille de parler de groupe fondamental (si tu ne sais pas ce que c'est, c'est pas grave du tout !) car tu risques de te noyer (surtout si tu es en sup).

    Pour les applications, la biologie c'est très bien ! La théorie des cordes, c'est peut-être un peu osé (car c'est une théorie très difficile à comprendre) mais tu peux quand même le mentionner.

  4. #3
    fderwelt

    Re : Théorie des noeuds

    Citation Envoyé par Eogan
    Bonjour, je réalise un TIPE de sup sur la théorie des noeuds et je croule sous des infos de toutes parts!!!
    Est-ce que quelqu'un qui s'y connait aurait un plan à me proposer?
    Je pensais parler des invariants topologiques, et peut-être faire quelques calculs sur un noeud pris au hasard , pour l'ouverture je pense qu'on peut parler de l'adn ou de la théorie des cordes...
    Mais je ne vois pas de plan clair... Si quelqu'un a une idée!
    Merci
    Bonjour,

    Je ne suis pas assez compérent pour te recommander un plan. Mais, pour avoir connu exactement le même problème, je peux te dire les erreurs à ne pas faire.

    Les invariants topologiques, c'est le minimum vital. Nombres d'entrelacement, éventuellement cohomologie élémentaire, transformations de Rademeister... Tout ça peut être illustré en quelques transparents, bien visuels, qui auront un franc succès.

    Et surtout, évite la théorie des cordes. Je veux dire, dans ton exposé, c'est un sujet passionnant, mais surtout pas en public. C'est la porte ouverte aux théories de Kaluza-Klein, des membranes, et tant qu'à faire des singularités... Tu auras tout le tempsde t'y intéresser, ne bousille pas ta carrière avant qu'elle ait débuté. Je me suis cramé les doigts pour moins que ça.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  5. #4
    Eogan

    Re : Théorie des noeuds

    Merci, je commence à avoir une idée de plan de plus en plus précise. J'aimerais beaucoup parler des polynômes de Jones, mais je n'arrive toujours pas à les comprendre! C'est sur qu'avoir des noeuds comme variables, ça n'aide pas!

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    doudache

    Re : Théorie des noeuds

    Pour le polynôme de Jones, je te conseille de lire l'article de Weber De La Harpe et Kervaire "On the Jones polynomial" dans l'enseignement mathématique.

    La preuve de l'existence d'un tel polynôme fait appel à des outils d'algèbre que tu ne connais pas encore, donc je te déconseille de t'en occuper. Par contre, le truc à savoir, c'est la relation qu'il vérifie (skein relation) : c'est ce qui permet de le calculer en pratique.

  8. #6
    martini_bird

    Re : Théorie des noeuds

    Salut,

    cette conférence pourra peut-être t'inspirer...

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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  10. #7
    Eogan

    Re : Théorie des noeuds

    Merci, ce site est vraiment utile (il a fait le tour de la classe )
    J'ai encore une question: L'intervenante parle à un moment de géométrie "assitus" inventé par Leibniz et précédant la topologie, mais comme je ne trouve aucune info là dessus je pense que j'ai mal compris! Quelq'un voit de quoi elle voulait parler?

  11. #8
    martini_bird

    Re : Théorie des noeuds

    Salut,

    il s'agit de geometria situs ! On trouve aussi le terme analysis situs.

    Les deux expressions sont des anciens noms pour la topologie.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  12. #9
    Eogan

    Re : Théorie des noeuds

    Bon ça y est je vois vers où je me dirige!
    Je vais d'abord faire une introduction à la théorie des noeuds, avec les grandeurs qu'on peut leur associer, en insistant sur les différents types d'invariant.
    Pour la partie travail personnel, j'aimerais essayer d'adapter des théorèmes d'arithmétique aux noeuds premiers. Pensez vous que ce soit possible? Mon plus gros problème réside dans le fait que je n'arrive pas à munir l'ensemble des noeuds d'une relation d'ordre... En effet le nombre de croisement par exemple, ne vérifie pas la propriété d'antisymétrie , il existe beaucoup de noeuds différents avec le même nb de croisement...

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