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R^3 et les noeuds



  1. #1
    mach3
    Modérateur

    R^3 et les noeuds


    ------

    Salut,

    J'ai lu dans "motion mountain" que les noeuds n'étaient possible que dans R3... J'avoue que je trouve cela un peu énigmatique.
    Il est évident que les noeuds sont impossibles dans R2, mais dans R4 ou plus?

    En tout cas je vois des noeuds faisable dans R4 : une surface pourrait se nouer dans R4, vu qu'une ligne peut se nouer dans R3

    Que pensez de cette spécificité de R3 (representation mathématique assez fidèle de notre espace) à permettre des noeuds?

    m@ch3

    -----
    Never feed the troll after midnight!

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  3. #2
    jobherzt

    Re : R^3 et les noeuds

    C'est en effet etrange. Au passage quand meme : des "surfaces qui se noue", je ne pense pas que ca soit ce qu'on peut appeler un noeud. chez moi un noeud est en gros une courbe fermé dans l'espace. On peut techniquement faire des noeuds dans R^2, mais ils sont tous triviaux, donc aucun interet.

    A priori, rien n'empeche de faire des noeuds dans R^4, on peut deja y plonger tous les neouds de R^3, et je pense qu'on peut meme imaginer de nouveau type de croisement impossibles dans R^3.

    Donc effectivement, ton histoire est bizzare. Apres, tout depend de la definition d'un noeud qu'ils utilisent...

  4. #3
    Deedee81
    Modérateur

    Re : R^3 et les noeuds

    Bonjour,

    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    Que pensez de cette spécificité de R3 (representation mathématique assez fidèle de notre espace) à permettre des noeuds?
    Bonjour mach3,

    Si on vivait dans R^4, je suis certain qu'on trouverait des spécificités (auxquelles on ne pense habituellement pas, du genre : mais pourquoi la conjecture de Poincaré était-elle si dure à démontrer dans l'espace physique à 4 dimensions )

    Mais je plaisante un peu car, effectivement, les dimensions 3 et/ou 4 possèdent toutes une séries de particularités parfois assez surprenantes dans le cadre de la physique (j'ai vu ce genre de chose dans les phénomènes critiques, la relativité générale et la renormalisation). Je ne sais pas si c'est vraiment significatif (même si je le "pressent", à moins que je ne sois leurré par un phénomène comme notre "fixation sur R^3" ci-dessus). Maintenant, pour la particularité des noeuds, je le sais encore moins. Faudrait trouver un intérêt physique autre que de pouvoir faire des noeuds pour attacher les bateaux

  5. #4
    Deedee81
    Modérateur

    Re : R^3 et les noeuds

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    A priori, rien n'empeche de faire des noeuds dans R^4, on peut deja y plonger tous les neouds de R^3, et je pense qu'on peut meme imaginer de nouveau type de croisement impossibles dans R^3.
    Salut,

    Il me semble que tout noeud (courbe fermé sans croisement) dans R^4 est homéomorphe au noeud trivial.

    Ca ne me semble pas étonnant mais ne me demande pas de le prouver

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    jobherzt

    Re : R^3 et les noeuds

    Oui, effectivement, je voulais juste montrer que ce n'etait pas impossible de faire des noeuds dans R^4.... Apres il est tout a fait possible de construire des noeuds non triviaux dans R^4, mais avec des croisements particulier. donc tout depend effectivement de la definition d'un neoud.

  8. #6
    Deedee81
    Modérateur

    Re : R^3 et les noeuds

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    Oui, effectivement, je voulais juste montrer que ce n'etait pas impossible de faire des noeuds dans R^4.... Apres il est tout a fait possible de construire des noeuds non triviaux dans R^4, mais avec des croisements particulier. donc tout depend effectivement de la definition d'un neoud.
    Attention, sans croisement je veux dire "qui ne se coupe pas".
    Si ça se coupe (comme un 8 à deux dimensions), alors là, oui, bien sûr qu'on ne saurait pas le défaire (au sens topologique) !

    Mais pour des courbes fermées sans "recoupement", on sait toujours les dénouer "en empruntant la 4ème dimension", si je peux dire.

    On devrait peut-être poster ça sur le forum math pour avoir une démonstration (ou un lien vers...)

    Enfin, bon, c'était pas vraiment la question de base de toute façon.

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  10. #7
    jobherzt

    Re : R^3 et les noeuds

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Attention, sans croisement je veux dire "qui ne se coupe pas".
    Si ça se coupe (comme un 8 à deux dimensions), alors là, oui, bien sûr qu'on ne saurait pas le défaire (au sens topologique) !

    Mais pour des courbes fermées sans "recoupement", on sait toujours les dénouer "en empruntant la 4ème dimension", si je peux dire.
    Je n'ai jamais dit autre chose, je ne comprend pas ta remarque ?

  11. #8
    Deedee81
    Modérateur

    Re : R^3 et les noeuds

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    Je n'ai jamais dit autre chose, je ne comprend pas ta remarque ?
    J'étais pas sûr qu'on s'était compris, c'est tout

    Sur ce, les gars, je m'en vais , en vacance , bonnes fêtes de fin d'années à tous et à l'année prochaine,

  12. #9
    jobherzt

    Re : R^3 et les noeuds

    Citation Envoyé par Deedee81 Voir le message
    Attention, sans croisement je veux dire "qui ne se coupe pas".
    Si ça se coupe (comme un 8 à deux dimensions), alors là, oui, bien sûr qu'on ne saurait pas le défaire (au sens topologique) !

    Mais pour des courbes fermées sans "recoupement", on sait toujours les dénouer "en empruntant la 4ème dimension", si je peux dire.

    On devrait peut-être poster ça sur le forum math pour avoir une démonstration (ou un lien vers...)

    Enfin, bon, c'était pas vraiment la question de base de toute façon.
    euh, et en fait non : si on se place dans R^4, je pense qu'on peut construire des "vrais" noeuds (courbes fermés sans recoupement) sans pouvoir les defaire, justement en les "croisant aussi dans la 4e dimension". Ta remaqrue n'est valable que pour les neouds de R^3 qu'on plonge dans R^4, mais on peut en fabriquer d'autre qui sont "strictement" de dimension 4, si je puis dire.

  13. #10
    Coincoin

    Re : R^3 et les noeuds

    Salut,
    J'ai déplacé en maths.

    Pour la modération, Coincoin
    Encore une victoire de Canard !

  14. #11
    invite54165721

    Re : R^3 et les noeuds

    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    Salut,

    J'ai lu dans "motion mountain" que les noeuds n'étaient possible que dans R3... J'avoue que je trouve cela un peu énigmatique.
    Il est évident que les noeuds sont impossibles dans R2, mais dans R4 ou plus?

    En tout cas je vois des noeuds faisable dans R4 :
    Bonjour,

    Ce serait bien de trouver un tel noeud pour vérifier en le définissant par une suite d'une dizaine de points ou moins dans R4.
    Apres on s'y met.

  15. #12
    martini_bird

    Re : R^3 et les noeuds

    Salut,

    ce serait pas simplement lié au fait qu'une courbe peut être plongée dans un espace à 3 dimensions ?

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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  17. #13
    homotopie

    Re : R^3 et les noeuds

    Juste une idée du pourquoi :
    On peut toujours déformer continuement un lacet dans un ev réel en un lacet qui est une ligne brisée (quitte à prendre beaucoup de segments mais malgré tout en nombre fini).
    Pour tout segment il existe un petit cylindre (dont une directrice est le segment) n'intersectant aucun autre segment autre que les deux voisins, simple argument de compacité).
    Soient deux segments consécutifs AB et BC on essaie de déformer vers le lacet où on remplace AB et BC par AC.
    Il se peut que AC coupent d'autres segments (en nombre fini à moins que AC ne soit déjà un segment du lacet, ce qui n'arrive que s'il n'y a que le lacet est un triangle).
    Grace au petit cylindre de sécurité on peut légèrement déplacé les segments qui gênent. On peut donc supposer que AC ne coupe aucun segment autre qu'en A et C bien sûr.
    Maintenant on déplace affinement B vers le milieu de AC et le reste de AB et BC vers AC. Cela coupe éventuellement les autres segments (les autres egments coupent le triangle (qui est dans un unique plan) ABC, les segments peuvent seulement percer en un point ou être complétement contenues dans l'intérieur de ABC (les autres segments ne coupent pas les côtés de ABC). On peut isoler ces intersections les unes des autres par compacité et du reste des lacets (il suffit de faire attenion aux extrémités de sgments contenus dans ABC. Si la dimension de l'ev est au moins égal à 4, en modifiant la paramétrisation localement des déplacemets de AB et de BC, ces intersections disparaissent.
    En procédant ainsi, on diminue d'une unité le nombre de segments du lacet tant que celui-ci n'est pas un triangle.
    Il ne reste plus qu'à montrer que tous les triangles peuvent être déformés les uns en les autres (ce qui est relativement simple).

    Conclusion : chercher un lacet non trivial dans Rn, n>3 risque de prendre beaucoup de temps.

  18. #14
    invite54165721

    Re : R^3 et les noeuds

    Bonjour,

    Pour prouver qu'on peut défaire les noeuds dans R4 il faut pouvoir que pour A,B,C quelconques on puisse passer continument du segment AB au couple de segments AB BC sans couper les autres segments. Il faut donc trouver une surface par A B et C n'interceptant pas les autres segments.
    Pour une ligne L quelconque et 3 points A B C Dans R3 il existe toujours un segment courbe joignant A B et C ne coupant pas L.
    Peut on montrer l'analogue dans R4 cad qu'il existe une surface courbe s'appuyant sur ABC ne coupant pas L?

  19. #15
    ThSQ

    Re : R^3 et les noeuds

    C'est clair par analogie que tous les nœuds sont triviaux dans R^4 et plus :

    - dans R^2 on peut éviter un point en passant à côté (pas possible dans R)
    - dans R^3 on peut éviter une droite en passant au dessus (pas possible dans R^2)
    - dans R^4 on on peut éviter un plan (celui tangent localement à une boucle) en passant "au-dessus" (pas possible dans R^3), on peut donc passer "à travers" une boucle sans problème.

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