La toile tendue et la relativité générale

[mach3]

Bonsoir,

La manip de la toile tendue (ou drap, ou trampoline) avec un poids au centre, pour, soi-disant, illustrer la "courbure de l'espace" que des billes lancées sur la toile suivrait tout en reproduisant, plus ou moins, des trajectoires d'astres autour d'une étoile, ressort souvent dans les discussions liées à la RG.

Le sujet ici n'est pas de critiquer la vulgarisation qui sert cette analogie moisie à tout bout de champ, mais d'analyser formellement une expérience de ce type, ce qui, en premier lieu, relève de la mécanique classique.

Voici une liste de questions qui pourraient typiquement être abordées dans ce fil (j'ai déjà des éléments de réponse ou de réflexion pour certaines, que j'exposerais en fonction de mon temps libre):

Quelles sont les forces qui s'appliquent sur une bille lorsqu'elle roule sur cette toile (on supposera qu'elle est assez légère pour ne pas déformer la toile significativement)?
Quelle forme doit avoir la toile pour reproduire une force centripète en 1/d² et reproduire des trajectoires Kepleriennes?
Encore plus complexe, mais pourquoi pas, quelle forme pour reproduire des trajectoires prédites par la métrique de Schwarzschild?
Voire même, une telle forme est-elle seulement possible?
On note que plusieurs approche sont possibles pour déterminer cette forme. Par exemple on peut raisonner sur la projection orthogonale des trajectoires sur un plan parallèle au sol, ou directement dans la surface courbe de la toile.

Ensuite quelles sont les géodésiques de ces surfaces courbes?
Ont-elles le moindre lien avec les trajectoires des billes (on peut intuiter que non, mais prouvons le)?

Sur un autre versant, quelle forme prend une toile ainsi tendue par une masse en son centre?
Cela depend-t-il du matériau employé?
Quelle types de trajectoires cela génère-t-il?
Peut-on construire un espace-temps, sûrement de manière ad hoc, dans lequel les lignes d'univers des billes sont des géodésiques, et à quoi ressemblerait-il?

Il n'est pas demandé de réponse toutes faites à toutes ces questions. Le but est plutôt de réfléchir et faire réfléchir sur le sujet, sur ce que cette manip nous apprend, ou, justement, ne nous apprend pas sur la relativité générale. Il pourrait en ressortir une synthèse qui serait épinglée en FAQ pour en finir avec cette histoire de toile tendue.

Aussi, si quelqu'un a connaissance d'articles de littérature scientifique à comité de lecture traitant de ce sujet, des références ou des liens seront les bienvenus.

Merci d'avance aux intervenants.

m@ch3
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[Archi3]

de toutes façons une représentation spatiale de l'énergie potentielle par un "creux" a toujours un problème fondamental (même pour le potentiel 1D en mécanique classique qu'on représente par une "cuvette" ) : c'est que si l'énergie potentielle peut bien être représentée par une coordonnée "verticale" (mgz en fait), l'énergie cinétique a AUSSI une composante verticale alors que pour un "vrai" potentiel 1D, elle n'en a pas (dans un potentiel V(x), l'énergie cinétique est 1/2 m v_x², alors que pour une particule glissant sur une gouttière de forme z(x) = V(x)/mg, formellement équivalent, l'énergie cinétique est 1/2 m (v_x² +v_z²). Cette différence fondamentale fait que les mouvements ne sont pas les mêmes (sans même parler de l'énergie de rotation si on a une bille qui roule !). C'est déjà approximatif en mécanique classique, alors en RG ...

[invite54165721]

la premiere étape consiste a considérer la toile comme un réseau discret d'oscillateurs couplés.
voir ZEE (qft in a nutshell mattress and sprigs)

[mach3]

Oula! Si ça se complique à ce point, on va peut-être commencer par travailler avec une surface statique et négliger la rotation de la bille sur elle-même...

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Même.

La remarque d'Archi3 sur le terme vz² clôt la question il me semble.

Je ne vois pas comment espérer reproduire le mouvement si on n'a pas les invariants, dont au premier chef l'énergie.

[invite06459106]

Le but est plutôt de réfléchir et faire réfléchir sur le sujet, sur ce que cette manip nous apprend, ou, justement, ne nous apprend pas sur la relativité générale.

Je ne saisis pas le chemin que tu veux prendre, disons que je le trouve "tortueux", avec possiblement le même défaut que l'analogie de la toile, puisque ce chemin ne met pas en exergue le danger de garder l'intuition 3D tout en essayant d'aller vers la vision 4D de la RG (avec la distribution des énergies et quantités de mouvement) puisque la courbure est spatio-temporelle, et que en champ faible, sur les dix paramètres indépendants, le seul permettant de trouver la loi de Newton porte tout entier sur la coordonnée g00, donc le temps (les neufs autres ne servant à "rien").
Bon, c'est une critique se voulant constructive, et peut-être inutile, c'est juste ce que m'a inspiré ton 1er post, cela est peut-être du au fait qu'après une nuit blanche, j'ai plus les yeux en face des trous, et qu'après une petite sieste, ton chemin me sautera aux yeux (qui j'espère auront retrouvés bonne place).

[mach3]

Bon. Merci. Alors il serait totalement impossible de reproduire une trajectoire Keplerienne avec une bille roulant sur une toile tendue. Je vais y réfléchir.

m@ch3

[mach3]

@didier : l'idée est derrière est d'avoir plus de variété d'arguments pour déboulonner l'analogie moisie de la toile tendue. On sait qu'elle est moisie quand on a été un peu dans le cambouis de la RG, ce que ne peut pas faire le profane. Le fait par exemple qu'il soit impossible de reproduire des trajectoires Keplerienne avec une toile tendue est un argument d'une nature différente qui pourrait être intéressant pour démontrer l'ineptie de l'analogie sans entrer dans la RG elle-même.

m@ch3

[Amanuensis]

Déboulonner le quantitatif ("mêmes trajectoires") semble facile. Mais c'est utilisé comme une image, pour le qualitatif. J'imagine qu'en vulgarisation superficielle, que la boule n'aille pas "tout droit" suffit pour imaginer passer l'idée que "courbure de l'espace-temps => trajectoires non droites à cause de la courbure".

Les confusions gênantes (pour progression au-delà du très superficiel, ce qui ne concerne pas grand monde, même pas une bonne partie des questionneurs sur ce forum) restent en termes qualitatifs: confusion entre espace et espace-temps, confusion entre courbure géométrique et courbure de Gauss, idée d'une sorte de "force" qui impose à l'objet de rester "sur" un machin "courbé", etc. (liste à continuer, suggestions bienvenues!).

[Amanuensis]

Remarque toute bête, et plutôt qualitative: est-ce même possible d'obtenir une trajectoire circulaire fermée? (Sous-entendu: il me semble bien que non.)

[mach3]

Remarque toute bête, et plutôt qualitative: est-ce même possible d'obtenir une trajectoire circulaire fermée? (Sous-entendu: il me semble bien que non.)

si il y a des frottements, c'est sur que ça par en spirale, mais si il n'y a pas de frottements? Le long de cette trajectoire circulaire, l'altitude et la norme de la vitesse sont conservés donc pas de problème conservation de l'énergie. Par contre peut-être un souci avec la conservation de l'impulsion et du moment cinétique. Dans le cas étoile-planète ces conservations sont assurées par le mouvement de l'étoile, donc là il faudrait que la toile bouge pour que ça marche?

m@ch3

[stefjm]

Remarque toute bête, et plutôt qualitative: est-ce même possible d'obtenir une trajectoire circulaire fermée? (Sous-entendu: il me semble bien que non.)

Ça doit dépendre de ce qu'on met dans le possible.

si il y a des frottements, c'est sur que ça par en spirale, mais si il n'y a pas de frottements? Le long de cette trajectoire circulaire, l'altitude et la norme de la vitesse sont conservés donc pas de problème conservation de l'énergie.

Le principal problème que je vois est la stabilité de la trajectoire circulaire.
On peut trouver une solution mathématique théorique instable.
La moindre perturbation transformera la trajectoire en quelque chose qui n'est peut être pas keplérien...(là, j'avoue séché avec l'intuition)

[Amanuensis]

Le principal problème que je vois est la stabilité de la trajectoire circulaire.

Oui, c'était mon point, j'ai oublié de préciser «stable» (ou parfaitement fermée).

Une analogie sont les points de Lagrange: en L1, L2 ou L3, l'orbite «existe», mais n'est pas stable.

Par contre peut-être un souci avec la conservation de l'impulsion et du moment cinétique.

Je ne pense pas. Pour le moment cinétique, il est conservé par symétrie (dans le cas d'une orbite circulaire). Pour l'impulsion, c'est l'égalité des forces dans le référentiel tournant (accélération centrifuge et réaction de la toile).

[mach3]

Je ne pense pas. Pour le moment cinétique, il est conservé par symétrie (dans le cas d'une orbite circulaire)

si on calcul le moment cinétique par rapport au centre de l'orbite c'est une évidence, mais rapport à tout autre point, c'est problématique (alors que ça ne l'est pas quand il y a un autre corps qui compense). Le moment cinétique ne doit-il pas être conservé quelque soit le point de référence?

m@ch3

[invite75014153]

Bonjour, il me semble que l'équation d'Einstein est une façon particulière de relier la densité et le flux de matière et d'énergie à la courbure de l'espace-temps (qui doit se ramener à la gravitation classique en limite newtonnienne, mais c'est une hypothèse pour mener la démonstration). Donc on peut déjà affirmer et illustrer le fait qu'il existe un lien entre ces deux notions sans pour autant postuler la physique newtonienne et en arriver déjà aux lois de Kepler.
En bref c'est une illustration qui a une valeur pédagogique bien avant l'établissement de l'équation d'Einstein, pour montrer qu'une masse déforme un support et que la déformation du support modifie le mouvement des objets sur ce support. Si on essaye de lui faire dire plus que ça cette image peut devenir "moisie", comme toutes les analogies qu'on pousse trop loin.
A noter que le champ de courbure de la toile ne dépend pas que des propriétés du matériau mais aussi des conditions aux limites du champ de contrainte (les fixations quoi), donc on peut sans doute "bidouiller" les distancse pour avoir la courbure voulue. En tout cas c'est assez facile de calculer la courbure qu'il faut pour avoir une force en 1/r² mais bon ça me semble assez irréel (la toile aurait une coubure concave, je sais pas trop si c'est réaliste).

[Amanuensis]

si on calcul le moment cinétique par rapport au centre de l'orbite c'est une évidence, mais rapport à tout autre point, c'est problématique (alors que ça ne l'est pas quand il y a un autre corps qui compense). Le moment cinétique ne doit-il pas être conservé quelque soit le point de référence?

Oui, mais c'est automatique s'il y a conservation de la quantité de mouvement.

(En fait techniquement le moment cinétique n'est pas un vecteur, mais un torseur (un champ de vecteurs équiprojectif) dont la résultante est la quantité de mouvement. Ou plutôt un co-torseur dans mon langage, mais c'est un autre sujet.)

[mach3]

Oui, mais c'est automatique s'il y a conservation de la quantité de mouvement.

bon, on sort du sujet, mais on peut imaginer des cas de figures "imaginaires" où ce n'est pas automatique, comme deux particules subissant des forces égales et opposés (quantité de mouvement conservée), mais qui ne sont pas colinéaires à la droite joignant les deux particules (moments cinétique par rapport au centre de masse non conservé car moments de force par rapport au centre de masse non nuls et égaux). Du coup je me méfie.

D'autre part, si dans un ref galiléen, la toile ne bouge pas mais que la bille bouge de façon circulaire, on a bien un problème de quantité de mouvement. Il faut que la toile bouge pour compenser (et ça compensera à la fois pour la quantité de mouvement et le moment cinétique par contre). Pas sûr que la toile "veuille" bien bouger exactement comme il se doit "d'elle-même" pour que le mouvement circulaire se conserve.
J'ai un exemple en tête (mais les frottements y sont peut-être prépondérants donc c'est biaisé) : quand on essaie de faire exécuter une trajectoire circulaire à une bille dans un entonnoir (ou dans une sphère), on donne à l'entonnoir un mouvement circulaire avec l'amplitude et le rythme qu'il faut (tiens, il me vient que c'est un peu analogue à du hoola-hoop ).

m@ch3

[stefjm]

D'autre part, si dans un ref galiléen, la toile ne bouge pas mais que la bille bouge de façon circulaire, on a bien un problème de quantité de mouvement. Il faut que la toile bouge pour compenser (et ça compensera à la fois pour la quantité de mouvement et le moment cinétique par contre). Pas sûr que la toile "veuille" bien bouger exactement comme il se doit "d'elle-même" pour que le mouvement circulaire se conserve.
J'ai un exemple en tête (mais les frottements y sont peut-être prépondérants donc c'est biaisé) : quand on essaie de faire exécuter une trajectoire circulaire à une bille dans un entonnoir (ou dans une sphère), on donne à l'entonnoir un mouvement circulaire avec l'amplitude et le rythme qu'il faut (tiens, il me vient que c'est un peu analogue à du hoola-hoop ).

Un bel asservissement.
Mon instinct me souffle que l'asservissement en question injecte dans le système entonnoir-bille l'énergie perdue par frottement et compense donc la force de frottement par une force d'entrainement.

[Amanuensis]

bon, on sort du sujet, mais on peut imaginer des cas de figures "imaginaires" où ce n'est pas automatique, comme deux particules subissant des forces égales et opposés (quantité de mouvement conservée), mais qui ne sont pas colinéaires à la droite joignant les deux particules (moments cinétique par rapport au centre de masse non conservé car moments de force par rapport au centre de masse non nuls et égaux). Du coup je me méfie.

??? Je parle du moment cinétique d'un système isolé en mécanique classique, quand il est question de conservation. Cela fait partie des bases.

Pour un sous-système, évidemment il n'y a pas nécessairement conservation. De quoi que ce soit!

D'autre part, si dans un ref galiléen, la toile ne bouge pas mais que la bille bouge de façon circulaire, on a bien un problème de quantité de mouvement. Il faut que la toile bouge pour compenser (et ça compensera à la fois pour la quantité de mouvement et le moment cinétique par contre).

Vu le problème...

Faut décider si le support de la toile est fixe par rapport à une masse énorme (la Terre par exemple), ou s'il est libre (isolé) dans un champ de gravitation uniforme tout en ne tombant pas (bizarre...). J'imagine que face à l'exemple, la plupart des béotiens pensent le premier cas.

Et alors, effectivement la conservation de la quantité de mouvement et du moment cinétique ne s'applique plus. Reste que pour espérer imiter le mouvement, va falloir exhiber quelque chose qui se conserve, qu'on pourra mettre en correspondance avec ces quantités conservés dans un mouvement Képlérien.

[mach3]

??? Je parle du moment cinétique d'un système isolé en mécanique classique, quand il est question de conservation. Cela fait partie des bases.

mon exemple "imaginaire" est censé être un système isolé justement, il ne fait que montrer que la conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie ne suffisent pas à eux-même, ils n'impliquent pas la conservation du moment cinétique. La conservation du moment cinétique apporte quelque chose de plus (et j'ai mis pas mal de temps à le comprendre parce que dans la plupart des exemples "courant", les forces sont suivant la ligne joignant les deux particules), un impératif sur les forces (moment total nul) pour que le système soit vraiment isolé et que le moment cinétique se conserve.

Si au lieu de la toile, on considère un récipient cylindrique, on peut imaginer qu'une bille tourne au fond de ce récipient (le long des parois) sans jamais s'arrêter si pas de frottement (récipient maintenu au sol, Terre servant de puits pour la quantité de mouvement et le moment cinétique). Le poids est parfaitement compensé par la réaction verticale et l'accélération centripète est due à la réaction horizontale des parois. Il faudrait que dans le cas de la toile, la réaction, qui sera de biais, soit exactement comme la somme de ces deux réactions, pour compenser exactement le poids et donner l'accélération centripète qu'il faut. Tendu... (comme la toile ).

m@ch3

[Sethy]

Quelques réflexions :

1) C'est vrai que l'idée "était" séduisante (jusqu'à la contradiction levée par Archi3).

2) Je m'étais posé une question un peu semblable il y a quelques temps. Mais ce qui m'avait paru impossible à modéliser, c'est que l'équation du mouvement ne dépend pas uniquement de la position mais du produit des symboles de Christoffel par les (quadri-)vitesses. Autrement dit, selon ce que j'en ai déduit alors, la forme de la surface devrait varier en fonction de la vitesse initiale du mobile. Donc les options, c'est soit :
- se contenter d'explorer une seule trajectoire (avec une position et une vitesse initiale fixée) et adapter la forme du drap à celle-ci
- n'envisager la toile que comme une modélisation des accélérations initiales à vitesse initiale nulles en tout point.
- changer les axes de la toile pour profiter de l'axe perdu du à la symétrie cylindrique.

On pourrait imaginer que l'axe des Y soit celui conservé entre les deux modèles et donc que la masse se trouve en Y = 0. Z garde sa fonction tandis que X représenterait une vitesse initiale dans une direction donnée (mais on est limité à des vitesses en +Vy, 0 ou - Vy bien sûr). En X = 0, la vitesse initiale est nulle.

Pour obtenir ce genre de schéma (c'est ça qui m'a donné l'idée, même si il faut remplacer le temps par la vitesse initiale en Vy)
: .

3) Enfin, je me demande s'il ne faut pas conserver le modèle de la toile comme vulgarisation, sans chercher à l'améliorer ce qui induirait le lecteur dans l'erreur qu'à quelques corrections près, ce modèle décrit la réalité.

[Amanuensis]

mon exemple "imaginaire" est censé être un système isolé justement, il ne fait que montrer que la conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie ne suffisent pas à eux-même, ils n'impliquent pas la conservation du moment cinétique. La conservation du moment cinétique apporte quelque chose de plus (et j'ai mis pas mal de temps à le comprendre parce que dans la plupart des exemples "courant", les forces sont suivant la ligne joignant les deux particules), un impératif sur les forces (moment total nul) pour que le système soit vraiment isolé et que le moment cinétique se conserve.

??? Je ne comprends pas. Si un système est isolé, le moment cinétique se conserve, car les forces internes respectent la loi l'action et la réaction (force alignées suivant la ligne joignant les points d'appui et de somme nulle (1)). S'il y a un couple, il y a un contre-couple (voir conception des hélicoptères, et autres; ou le contrôle d'attitude de Hubble avec des roues d'inertie, etc.).

dans la plupart des exemples "courant", les forces sont suivant la ligne joignant les deux particules

oui, loi de l'action et la réaction!

un impératif sur les forces (moment total nul) pour que le système soit vraiment isolé et que le moment cinétique se conserve.

??? Isolé veut dire isolé, pas d'interaction avec autre chose. Aucune condition ne s'ajoute, il n'y a pas de notion de "vraiment isolé".


(1) Soit ce sont des forces de contact, et l'alignement est évident. Soit ce sont (en mécanique classique) la force électrique ou la force gravitationnel, et c'est aligné. Reste quoi? La force magnétique? À vérifier, mais pas de raison que ça échappe à la règle.

[mach3]

Evidemment que ce n'est pas isolé si le moment cinétique ne se conserve pas, on est d'accord.

Mais quand tu dis ça : "Oui, mais c'est automatique s'il y a conservation de la quantité de mouvement." en parlant de la conservation du moment cinétique, ben j'ai du mal à être d'accord, car un système qui conserve la quantité de mouvement et l'énergie ne me semble pas conserver automatiquement le moment cinétique. Comme tu viens de le redire, pour que le moment cinétique se conserve, il faut que les forces (qui sont égales mais opposées) soient alignées. On peut avoir des systèmes avec forces égales et opposées mais non alignées (donc système non isolé), où énergie et quantité de mouvement sont conservées mais pas le moment cinétique.

Je relis mes messages précédents et je remarque que ma formulation était très maladroite...

m@ch3

[Amanuensis]

Mais quand tu dis ça : "Oui, mais c'est automatique s'il y a conservation de la quantité de mouvement." en parlant de la conservation du moment cinétique, ben j'ai du mal à être d'accord

C'est cité hors contexte! La question est si la conservation du moment cinétique en un seul point suffit, ou s'il faut vérifier pour tous (message #14). Réponse, un seul point suffit s'il y a conservation de la quantité de mouvement. (La justification étant donnée message #16, d'où est tiré la phrase citée, qui répondait au message #14.)

[mach3]

C'est cité hors contexte! La question est si la conservation du moment cinétique en un seul point suffit, ou s'il faut vérifier pour tous (message #14). Réponse, un seul point suffit s'il y a conservation de la quantité de mouvement. (La justification étant donnée message #16, d'où est tiré la phrase citée, qui répondait au message #14.)

Je dois réfléchir et relire, il me semble qu'il y a un truc qui cloche.

m@ch3