Bonsoir,
après calcul des solutions paires de l'équation de Schrodinger, je trouve que les énergie correspondantes sont les énergies d'indice impaire : Ek = k²h²/8m²L² (k=2n+1). Et plus précisemment E = V0 - |E| = Ek (V0 -> infini). Je ne comprend pas très bien ces résultats, merci !
Merci !
Dernière modification par MidoXSan ; 18/05/2018 à 20h12.
Que valent les amplitudes de la fonction d'onde en 0 et en L ? (ou en -L/2 et L/2 si tu as placé le 0 de l'axe des X au milieu du puits) ?
Indique nous d'abord la formule avec les variables (L, k, etc) et ensuite la valeur numérique que tu déduis de ces formules.
Dernière modification par Sethy ; 18/05/2018 à 20h37.
En considérant la partie [0,+infini[, et en notant :
Pour une energie E<0 d'un état lié dans le puits,
V(x) = V0 (-b<x<b) , 0 ailleurs
h = h barre
psi(x)=phi(u) , u = x/b
epsilon = sqrt(2*m*b²*|E|/h²)
v0 = sqrt(2*m*b²*V0/h²)
alpha = sqrt(v0²-epsilon²)
j'ai trouvé pour les solutions paires :
phi(u) = A*cos(alpha*u) u <= 1
phi(u) = B*exp(-epsilon*u) u >= 1
En exploitant les conditions de continuité et dérivabilité en u = 1 :
B = A*cos(alpha)*exp(epsilon) et alpha = epsilon/tan(alpha)
D'ou en faisant tendre v0 vers l'infini : j'obtient pour le puit de potentiel infini :
tan(alpha) = infini => alpha = pi/2 + k*pi
sachant que alpha² = v0² - epsilon² , alors |E| = V0 - alpha²*h²/2*m*b² = V0 - (2n+1)²*h²*pi²/2*m*b²
En fait mathématiquement j'ai compris mais je ne comprend pas très bien ce que je calcule. Je sais qu'on étudie des électrons de conduction dans une diode, mais je ne sais pas que représente |E|, notamment en comparaison avec la formule de l'énergie
En = n²*h²*pi²/8*m*b²
Merci !
Dernière modification par MidoXSan ; 18/05/2018 à 21h24.
Pardon, ce n'est pas (2n+1)²*pi² mais (n+1/2)²*pi²
Excusez-moi, ne prenez pas compte de mon dernier, message. D'autre part je dois aussi trouver l'état fondamental ...
L'énergie ne doit pas spécialement être négative, il faut juste qu'elle soit supérieure à V0. En posant V0 = 0, les énergies au contraire sont toutes positives.Envoyé par MidoXSan
Si le puit de potentiel est infini (-ment profond), le potentiel ne vaut pas 0 ailleurs mais bien +infini.
C'est bizarre, tu notes puits de potentiel infini, mais tu raisonnes comme si le puits était fini.
J'avoue que pour la suite, je me perds un peu dans tes calculs mais si tu raisonnes dans l'autre sens, avec un point de potentiel infini, que doit valeur la fonction d'onde en u=1 ?
Oui, ça me semble correct. L'état fondamental est pair. Puis, en montant en énergie, les fonctions d'ondes sont alternativement paires et impaires.
Donc, si vous vous restreignez seulement aux solutions paires, vous calculez E1 (l'état fondamental), E3, E5, etc...
En fait l'exercice me demande de comparer mes résultats avec un puit infini, pour celà j'ai pris mon résultat et j'ai fait tendre V0 vers l'infini.
Merci pour votre réponse, mais en fait comme je vous l'ai dit, les calculs ca je sais faire, mais on devrait repartir des bases.
Dans le cas d'un puits de potentiel infini, énergies d'un électron quantifiés : En = n²h²pi²/2mL²
Dans le cas d'un potentiel fini, ces énergies deviennent quoi ? En - V ? Mais du coup je devrai écrire E'n = En - V ? ou E'n est l'énergie du puits de potentiel fini et En est la formule pour les puits de potentiel infinis ?
Aussi je me perd un peu avec les signes. En - V ? V - En ? E'n doit-elle être positive ?
Merci pour votre réponse !
Le mieux est de repartir depuis le début, crois-moi.
Donc, tu pars de l'équation de Schrodinger et tu refais le raisonnement pour un puits infini. Mais tu gardes le potentiel égal à V0 (donc tu ne remplaces pas V0 par zéro) durant tout tes calculs.
A la fin, tu vas obtenir une équation qui va te donner l'énergie qui seront une fonction de n et de L mais aussi de ce V0. Elle est évidemment très proche de celle que tu as obtenue et si tu remplaces dans cette formule V0 par 0, tu retrouveras la formule.
Ensuite tu auras la réponse à ta question.
Je n'ai toujours pas compris quel était exactement votre potentiel...
Les énergies que vous donnez sont pour un potentiel :
- nul entre -L/2 et +L/2
- infini ailleurs
Quelle est votre situation, que est ce V0 ?
En fait il mélange deux problèmes. Le puits infini borné comme tu le décris et un autre cas :
- V0 entre - L/2 et +L2 (avec V0 négatif)
- nul ailleurs
Donc une fois son potentiel est nul entre les barrières, l'autre fois il est nul en dehors.
C'est pour ça que je lui ai conseillé de repartir avec V0 et sans le remplacer par zéro.
Je vous présente ici l'exercice et la solution qui me pose problème :
Exercice : http://zupimages.net/viewer.php?id=18/20/46ot.png
Corrigé : http://zupimages.net/viewer.php?id=18/20/668g.png
(Désolé j'ai pris le premier hebergeur d'image que j'ai vu)
En fait ce que je ne comprend pas précisément, c'est pourquoi ils trouvent la formule de l'énergie pour le potentiel infini en calculant V0 - |E| alors que pour le potentiel fini, ils isolent |E| (suite du corrigé)
Dernière modification par MidoXSan ; 19/05/2018 à 16h03.
Comment calculer sur base de ces équations le niveau d'énergie E1 dans le cas d'un potentiel fini, et dans le cas d'un potentiel infini ?
Dans le cas du fini, j'ai trouvé, mais pour l'infini, quand j'isole |E|, alors évidemment si je fait tendre V -> infini, |E| -> infini ...
Tout est la.
Je vois bien ton problème mais (et je suis dans l'esprit de la charte du forum), il faut que tu fasses cette démarche pour comprendre.
Bonsoir,
Voilà j'ai refait les calculs. J'ai considéré un potentiel infini tout en gardant V0 :
Je trouve :
phi(u) = A*cos(alpha*u)+B*sin(alpha*u) |u|<1
phi(u) = C*exp(epsilon*u)+D*exp(-epsilon*u) |u|>1
J'élimite B car je ne cherche que les solutions paires, mais aussi C car phi(u) est bornée.
Pour |u|=<1 :
phi(u) = A*cos(alpha*u)
phi(-1) = phi(1) = 0 => alpha = -alpha + 2*k*pi => alpha² = k²*pi². Or alpha² = v0² - epsilon²
d'ou en isolant |E| : |E| = V0 - k²pi²h²/2*m*b² (déja là je ne comprend pas pourquoi je trouve tous les k alors que j'ai considéré que les solutions paires)
**************
Pour qu'on soit clairs, si j'ai bien compris, la particule peut posséder certaines énergies dans le matériau A tant que cette énergie ne dépasse pas le Gap de A, puis lorsqu'elle franchi le matériau B, le Gap diminue ce qui réduit les possibilités d'énergie de la particule.
D'autre part, logiquement si le potentiel est infini en |u| < 1, je dois trouver phi(u) = 0 à l'interieur. A l'exterieur, V0 = 0 et donc |E| = -k²pi²h²/2*m*b².
Voilà, merci pour votre aide.
Voici comment je répondrais :
1) Puits de potentiel infini :
Dans le cas du puits de potentiel infini, où V vaut V0 entre - L/2 et L/2, cela devient :
Si tu as l'expression de E sans V0, il suffit donc d'y ajouter V0 pour obtenir la forme générale :
E = V0+.... n2
Et c'est finalement logique, puisque quel que soit le niveau du fond du puits (V0) les différentes valeurs possible de l'Energie seront à même distance de ce fond puisque le puits est infiniment profond et donc les bords infiniment haut. Et évidemment si on pose V0=0, on retrouve la forme d'énergie que tu avais (en n2).
Remarquons également que l'énergie est toujours supérieure à V0 (puisqu'on y ajoute un terme positif).
Si on s'intéresse à la fonction d'onde, au pied de la barrière infinie, elle doit s'annuler et donc (pour reprendre les coordonnées réduites "u"), Psi (u) = 0.
2) Puits de potentiel fini :
Appelons Vint, le potentiel pour u < 1 et Vext le potentiel pour u > 1, avec Vint < Vext.
L'énergie minimale est d'office supérieure à Vint (cfr discussion précédente) mais elle peut-être inférieure à Vext ou supérieure à Vext. Si elle est supérieure à Vext, on va avoir des états non liés (probabilité non nulle de trouver la particule à l'infini ou autre manière de le dire, fonction dont le carré n'est pas sommable).
Intéressons-nous donc au cas ou Vint <= E <= Vext.
Si on est à l'intérieure du puits (u < 1), la forme générale ressemble à l'équation du puits infini puisque E-Vint est positive et donc les solutions sont en cosinus et sinus :
A l'inverse, si on est en dehors du puits, E-Vext est négatif est donc les solutions sont en :
3) cas limite
Si on fait tendre le potentiel Vext vers l'infini, alors Psi_ext tend vers 0 partout (pour u > 1 bien sûr) et on retrouve la condition frontière que Psi_int (u) = 0.
Dernière modification par Sethy ; 19/05/2018 à 23h44.
Merci pour votre réponse, j'ai réalisé beaucoup de choses en lisant votre solution. En fait j'aurai encore une question si vous le voulez.
Dans le corrigé, pour trouver l'énergie dans le cas d'un potentiel infini, ils ont considéré que "la fonction phi et sa dérivée
sont continues en u = 1 alors que vous, vous considérez (tout comme moi dans mes calculs), phi(1) = 0. Vous trouvez alors
Pourtant dans le corrigé, ça ressemble plus à E = V0 + ....(2n+1)2
Dernière modification par MidoXSan ; 20/05/2018 à 00h13.
Tu veux parler de la première ligne du point 4. ? Si c'est ça, alors l'infini ici, ce n'est pas la hauteur du puits, c'est pour u infini et comme il s'agit d'un état lié, la fonction d'onde doit forcément s'annuler à l'infini.
Ca, j'avoue que je ne comprends pas non plus.
Ah vi, je crois que je comprends.
Tout d'abord, les solutions "paires" (au sens où Psi(x) = Psi(-x)) sont celles ou n est ... impair !
En plus, ils utilisent "n" pour deux choses différentes. Ils auraient mieux fait de prendre k et d'écrire :
alpha = (2k+1)/2 * pi.
Et donc ici, n = 2k + 1.
n est bien un entier qui vaut 1, 3, 5, ...
