Problème de mécanique : Amortisseur à colonne d'eau

[Mastin83]

Bonjours,
dans le cadre de mon TIPE (je suis en PSI) je dois résoudre l’équation du mouvement de la masse du schéma ci-dessous :


sur la masse en mouvement il y a donc un Tube en U contenant un liquide qui est censé amortir les mouvements de la masse
je ne veux pas pour le moment considérer la valve. je souhaite juste modéliser l'amortissement par la perte de charge qu'engendre les 2 coudes du tube.

dans un premier temps j'ai cherché a obtenir l’équation du mouvement de l'eau dans le tube lorsque l'on déplace le niveau d'eau de l'une des colonnes d'une certaine hauteur.
Cependant je ne sais pas comment prendre en compte les pertes de charge (On ne peux pas utiliser la relation de Bernoulli car on est pas dans le cas d'un fluide parfait) ! J’arrive à obtenir seulement un oscillateur harmonique.
équation obtenue : (d²y)/(dt²)+2g/l*y=0
ou y est e déplacement vertical de l'eau
l la longueur de la partie du tube contenant l'eau

De plus je ne sais pas si il faut d'abord faire l’étude du tube pour obtenir le mouvement final de la masse ou si il faut faire directement une étude énergétique sur l'ensemble que représente la masse et le tube.

J'ai un document qui présente une solution possible
https://www3.nd.edu/~nathaz/research...s/chapter3.pdf
cependant je n'arrive pas à me l'approprié, je ne trouve pas le modèle et ses hypothèse de Sakai (1989) permettant d'obtenir l’équation (3.1).

Merci d'avance de vos réponses
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[Mastin83]

le schéma est ici :
https://www.researchgate.net/figure/...fig1_262151841

[phuphus]

Bonjour,

je ne veux pas pour le moment considérer la valve.

C'est justement ça qu'il te manque. Ton système est un "batteur" ou "oscillateur accordé amorti". Il faut que tu considères que seule la valve va introduire de l'amortissement (tu poses arbitrairement une force s'opposant à la vitesse de l'eau dans la valve). Après détermination du coef d'amortissement optimal tu pourras par exemple l'obtenir par tâtonnement en expérimental, sans nécessairement déterminer à priori une relation amortissement = f(ouverture).

[Mastin83]

Merci de votre réponse !
J'ai un peu avancé au niveau des équations
du coup j 'ai continué à négliger la valve (pour le moment je néglige la perte de charge qu'engendre les coudes et la réduction du diaphragme de la valve) mais j ai pris en considération la force de viscosité du fluide !

j'ai réussie à exprimer l’équation différentielle du mouvement de la masse ( équation en x(t)) a l'aide d'une 2éme loi de newton projeté sur l'axe des X


Avec m la masse total d'eau
m0 la masse de la masse en mouvement
Cs le coef d'amortissement fluide
Ks Constante de raideur
b la longueur de la partie horizontal du tube
L la longueur de tube contenant l'eau
X le deplacement de la masse par rapport à son equilibre
Y la Hauteur d'eau dans l'une des colonnes d'eau par rapport à l'equilibre statique du fluide dans les 2 colonnes

je ne sais pas si c'est juste ! en tout cas l'obtient bien X en fonction de Y ce qui montre qu'il y a un amortissement

ensuite je suis repartie sur une étude d’énergie mécanique sur l'eau mais cette fois si qui ne se conserve pas !
la dérivée de l énergie mécanique est donc égale a la puissance dissipé par viscosité
j ai donc estimé cette puissance connaissant la formule de la force volumique de viscosité : F= η∆v = η
en multipliant par le volume pi*R^2 *L j'obtient la force totale
d'ou la puissance à une constante près Pvisq=- −aηL a une constante car j ai fait une étude approximative pour trouver la force

et enfin = −aηL

maintenant j ai 2 problèmes :
-je ne sais pas si mon modèle est juste je ne trouve pas les même équations que dans ce document (equation (3.1)) :
https://www3.nd.edu/~nathaz/research...s/chapter3.pdf
- je ne sais pas comment résoudre mes équations si je déplace d'une certaine distance la masse de sa position d’équilibre sans vitesse ni accélération

[A voir en vidéo sur Futura]

[phuphus]

Bonsoir,

Merci de votre réponse !
J'ai un peu avancé au niveau des équations
du coup j 'ai continué à négliger la valve (pour le moment je néglige la perte de charge qu'engendre les coudes et la réduction du diaphragme de la valve) mais j ai pris en considération la force de viscosité du fluide !

j'ai réussie à exprimer l’équation différentielle du mouvement de la masse ( équation en x(t)) a l'aide d'une 2éme loi de newton projeté sur l'axe des X

Tu as la solution dans le document que tu as donné en #1, donc tu peux vérifier : ça a l'air correct.

en tout cas l'obtient bien X en fonction de Y ce qui montre qu'il y a un amortissement

Cela montre juste qu'il y a un lien entre le mouvement de la masse et le mouvement de l'eau dans le tube. Dans ton équation, le seul terme d'amortissement est celui en .

ensuite je suis repartie sur une étude d’énergie mécanique sur l'eau mais cette fois si qui ne se conserve pas !
la dérivée de l énergie mécanique est donc égale a la puissance dissipé par viscosité
j ai donc estimé cette puissance connaissant la formule de la force volumique de viscosité : F= η∆v = η
en multipliant par le volume pi*R^2 *L j'obtient la force totale
d'ou la puissance à une constante près Pvisq=- −aηL a une constante car j ai fait une étude approximative pour trouver la force

et enfin = −aηL

Sur ton schéma il y a une "controllable valve" : c'est cela qui va introduire l'amortissement. Passer par une dissipation visqueuse sur tout le tube n'est pas ce que l'on te demande.

maintenant j ai 2 problèmes :
-je ne sais pas si mon modèle est juste je ne trouve pas les même équations que dans ce document (equation (3.1)) :
https://www3.nd.edu/~nathaz/research...s/chapter3.pdf
- je ne sais pas comment résoudre mes équations si je déplace d'une certaine distance la masse de sa position d’équilibre sans vitesse ni accélération

En étudiant le mouvement de la masse d'eau dans le tube tu pourras coupler le résultat à ta première équation (c'est ce qui est fait dans le document que tu cites).