Dériver des vecteurs

[K1G]

Bonsoir,
J'ai consulter plusieurs sujet crée sur des forum par des internautes mais aucun n'a réussi a m'expliquer concrètement ce que signifie dériver un vecteur. Je me tourne donc vers vous. Please !

En effet, dans la physique mécanique on dérive ou intègre des vecteurs accélération, vitesse ou position pour obtenir l'un ou l'autre.
Le problème est que la notion de dériver un vecteur je n'arrive pas a la schématiser dans ma tête. Un vecteur pour moi c'est simplement une "flèche" qui indique le sens et la direction du déplacement d'un objet. Comment ce "déplacement" peut être dériver ?
On dérive des fonctions pour étudier des variations ect... mais pas des vecteurs, enfin je n'arrive pas a saisir.
Par définition "la valeur de la dérivée en un point M de la courbe correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point M...".

De plus, la vitesse en fonction du temps v(t) c'est comme f(x), on a la vitesse v(t) en ordonnée et le temps t en abscisse. La dériver donne logiquement une fonction v(t)' = a(t). Mais en physique, la notation est dv/dt=a(t) . C'est cette fraction que me pose problème. Comment une dérivée peut donner une fraction de deux grandeurs, comment la noterez-vous cette dérivée sans cette fraction... ? v(t)'=dv/dt ? Parce que v(t)' c'est une expression d'une fonction alors que dv/dt c'est un rapprochement infinitesimale : (voir image joint)
Capture2.PNG

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Mais mes principaux problème sont avec les normes des vecteurs... Quand je rédige un exercice, je ne sais jamais quand il faut mettre la flèche sur le vecteur.
Comment différencier la norme et le vecteur ? par exemple, je mesure a la règle la taille du vecteur vitesse, ensuite j'ecrit vecteur(v)=2.5, on me dit
qu'un vecteur(a) n'est pas égale a sa norme.

De plus pourquoi un vecteur est égale a la somme de ses coordonnées ? On peut pas additionner ses coordonnées comme ça, on les écrit au préalable entre parenthèse ( x ; y ; z ) (voir image joint). Ah moins que c'est la décomposition du vecteur ? on multiplie ainsi ses coordonnées par les vecteurs unitaires c'est ça ? Capture.PNG

Comme la plupart des élèves je sais appliquer et travailler avec tout ce que j'ai cité précédemment mais sans comprendre ce que c'est vraiment.
S'il vous plait ! même si vous me vulgariser la chose ou juste avec des mots simple pour que je puisse comprendre, appréhender la signification...

J'accepte volontiers toute aide et je remercie sincèrement d'avance les personnes qui auront la patience de m'expliquer cela.
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[mach3]

Bonsoir,

Je n'ai pas le temps de faire une belle réponse ce soir, aussi j'ai recherché d'anciens fils où il est fort probable que moi (et d'autres) aient posté des messages qui répondent au moins partiellement à vos questions.

forums.futura-sciences.com/search.php?searchid=22664213 <-- Oh, crotte, ce lien ne marche plus quand je change de pc, ça veut dire qu'il ne marche pas tout court... désolé

bonne lecture

m@ch3

[Archi3]

Bon je me lance dans une tentative de résumé personnel face à tes questions.
effectivement les questions que tu poses sont un bon résumé de toutes les erreurs qu'on peut trouver dans des copies d'étudiants et qui font crisser des dents les correcteurs !
commençons par ça :

De plus pourquoi un vecteur est égale a la somme de ses coordonnées ? On peut pas additionner ses coordonnées comme ça, on les écrit au préalable entre parenthèse ( x ; y ; z ) (voir image joint). Ah moins que c'est la décomposition du vecteur ? on multiplie ainsi ses coordonnées par les vecteurs unitaires c'est ça ? Pièce jointe 367006

effectivement un vecteur n'est surement PAS une somme de coordonnées Ax + Ay+ Az !!!! d'ailleurs ça ce n'est pas un vecteur, c'est un nombre. Un vecteur n'est PAS un nombre, on peut le "penser" comme un triplet (ou un doublet en dimension 2, ou un n-uplet en dimension n) de nombres, mais en fait c'est autre chose, c'est un etre abstrait qui peut etre représenté dans un repère par des nombres. Un peu comme l'endroit ou tu es "n'est pas" une latitude et une longitude , mais peut etre repéré par une latitude et une longitude (lambda, phi) - mais cette représentation peut varier par exemple suivant le méridien zéro qu'on prend : la longitude en prenant le méridien de Paris n'est pas la meme que le celle avec le méridien de Greenwich, ce qui a fait des disputes infernales avant que ce soient les rosbifs qui l'emportent !
Incidemment , ça ne te viendrait pas à l'idée d'additionner ta latitude et ta longitude? ça ne voudrait rien dire n'est ce pas? pour les vecteurs c'est pareil.
Donc si on se donne une base (i,j,k), on peut représenter un vecteur comme une combinaison linéaire A = Ax i + Ay j + Az k (je mets en gras les vecteur)
Par ailleurs on peut définir la norme ||A|| (= la longueur de la flèche) et on peut montrer que si les vecteurs de bases sont orthonormés (ce qui n'est pas forcément le cas mais c'est tres souvent un choix qu'on fait), alors ||A|| = racine (Ax² + Ay²+Az²). On peut démontrer qu'on trouve la meme valeur quel que soit la base orthonormée choisie (ce qui n'est pas évident car les composantes Ax, Ay, Az vont changer mais la somme de leurs carrés reste invariante).

Manifestement la norme ||A|| qui est UN nombre, n'est ni la même chose que le vecteur , ni les coordonnées. On la note parfois A sans flèche mais du coup ça donne quelques migraines si on ne sait pas si on doit mettre une flèche ou pas : la réponse c'est que ça dépend de quoi on parle ? du vecteur complet avec sa norme et sa direction? ou juste de sa norme? la notation ||A|| est peut etre plus claire.

La différence par exemple peut se voir sur une carte météo, si tu veux indiquer la vitesse du vent : tu peux mettre une flèche pour indiquer la vitesse ET la direction (50 km/h nord nord est), ou donner JUSTE la vitesse 50 km/h sans flèche (dans ce cas tu indiques juste la longueur de la flèche, sans précision sur sa direction). La norme donne donc moins d'information . Si c'est pour savoir si ton arbre risque de se casser, la direction a peu d'importance, mais si c'est pour faire de la navigation à voile, elle en a beaucoup ...

Avant de passer aux dérivées, est ce que ça déjà c'est assez clair ?

[velosiraptor]

Sans vouloir empiéter sur ta réponse mach3, je fais un schéma vite fait ...


La position du système ponctue (M)l est repéré, dans le référentiel, au cours du temps par x(t), y(t) et z(t), informations qu'on regroupe dans un vecteur-position OM (gras pour les vecteurs).
Ce qui est écrit sur ce schéma n'a de sens qu'avec une écriture vectorielle : OM2 - OM1 = M1M2 oui, mais OM2 - OM1 = M1M2 NON ! (ce qui signifierait "longueur(OM2) - longueur(OM1) = longueur(M1M2)).

L'étude du mouvement circulaire uniforme peut t'aider à sentir l'intérêt/obligation de cette dérivée vectorielle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[velosiraptor]

Idem pour ta réponse Archi3 ... Le temps de faire mon schéma ...

[velosiraptor]

Et pour cette histoire de quotient, un embryon d'explication :


Si M2 se rapproche infiniment de M1 (sans l'atteindre), autrement dit, si x2 = x1 + dx (dx quantité "infiniment" petite), alors le coefficient directeur de la droite passant par M1 et M2 est la tangente à la courbe en M1, ou encore sa dérivée en ce point ...
En fait, oui, la dérivée est bien un rapport de 2 quantités (des différentielles), et en plus, la manipulation du théorème des dérivées composées est nettement plus pratique à utiliser.

J'avoue, j'ai essayé d'amortir mon schéma en l'utilisant 2 fois !

[mach3]

Bon, je répare mon erreur, voici des liens (qui marchent), vers des messages pertinents sur la question dans d'autres discussions (et la lecture des discussions entières peut par ailleurs être instructive, mais les messages pointés sont à lire en priorité) :

http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post5800064

http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post5834144

http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post5840237

http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post5841240

http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post5841338

http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post5860250 et les deux suivants

note : les messages pointés sont tous de moi, mais c'est pas pour me faire de la "pub", c'est juste que comme je me rappelle les avoir rédigé, je peux les retrouver plus facilement que des messages écrits par d'autres (et qui pourraient d'ailleurs être de meilleure qualité)

m@ch3

[mach3]

sur ce point particulier (et ça complète ou reformule la réponse de vélosiraptor) :

Le problème est que la notion de dériver un vecteur je n'arrive pas a la schématiser dans ma tête. Un vecteur pour moi c'est simplement une "flèche" qui indique le sens et la direction du déplacement d'un objet. Comment ce "déplacement" peut être dériver ?
On dérive des fonctions pour étudier des variations ect... mais pas des vecteurs, enfin je n'arrive pas a saisir.
Par définition "la valeur de la dérivée en un point M de la courbe correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point M...".

De plus, la vitesse en fonction du temps v(t) c'est comme f(x), on a la vitesse v(t) en ordonnée et le temps t en abscisse. La dériver donne logiquement une fonction v(t)' = a(t). Mais en physique, la notation est dv/dt=a(t) . C'est cette fraction que me pose problème. Comment une dérivée peut donner une fraction de deux grandeurs, comment la noterez-vous cette dérivée sans cette fraction... ? v(t)'=dv/dt ? Parce que v(t)' c'est une expression d'une fonction alors que dv/dt c'est un rapprochement infinitesimale : (voir image joint)

En toute rigueur, une dérivée c'est le changement infinitésimale de la valeur d'une fonction quand l'un de ses arguments change de façon infinitésimale. Ce qui se conceptualise par la notion de limite. La dérivée c'est la limite quand h tend vers 0 de


et ça, en physique, ça se note :

On peut le voir comme le rapport de deux petites variations de f et de x, (garder à l'esprit que ce n'est pas rigoureusement le même objet)

mais f n'est pas forcément une fonction de R dans R, et x et h ne sont pas forcément des réels, c'est beaucoup général que cela.
On peut, par exemple, avoir un champ de vecteur, c'est à dire qu'on place un vecteur en chaque point de l'espace, et se demander comment il change d'un point à un autre.
On peut aussi avoir une fonction qui quand on lui donne un scalaire, nous donne un vecteur. Quand on écrit v(t) (vecteur en gras), c'est implicitement cela. On a une fonction qui pour chaque valeur de t, associe un vecteur (position, vitesse, etc). Et prendre sa dérivée revient à faire le quotient :


et de faire tendre h vers 0. On fait la différence entre le vecteur image de t+h avec le vecteur image de t, ce qui nous donne un nouveau vecteur, puis on augmente sa taille d'un facteur 1/h

m@ch3

[albanxiii]

Bonjour,

Je n'ai pas lu les liens proposés par mach3, donc je prie tout le monde de m'excuser si ce que j'écris y figure.

Il ne me semble pas avoir vu le plus important : essayez de dessiner par vous même le vecteur dérivé.

En s'inspirant du dessin de velopsiraptor, dessinez une trajectoire, dans un repère avec une origine O, puis choisissez des points sur la trajectoire. Pour chaque point M_i (i=numéro du point), dessinez le vecteur OM_i.
Puis on applique la définition de la dérivée : on trace le vecteur OM_{i+1}-OM_i et on regarde à quoi il ressemble. On se rend compte que quand les points M_{i+1} et M_i se rapprochent, la différence se rapproche de la tangente à la trajectoire.

C'est la même chose, mais dit avec un langage que je pense plus accessible.

[Archi3]

Pour compléter ces réponses :

effectivement on va introduire la dérivée quand le vecteur n'est pas constant mais dépend de "quelque chose" (en pratique d'un paramètre p). Ce paramètre p sera souvent le temps, mais pas forcément (ça peut etre aussi une coordonnée quand on a un champ de vecteur, dans ce cas il faudra étendre ça aussi a des dépendances de plusieurs variables, et on parlera de dérivées partielles par rapport à chaque variable, mais si tu n'as pas encore vu ça oublions pour le moment).

Gardons pour simplifier l'idée que le vecteur dépend du temps uniquement. Donc on a maintenant un vecteur A(t). On généralise l'idée de la dérivée pour une fonction f(t) (comme on l'a vu f'(t) c'est la limite de (f(t+h) - f(t) )/h quand h-> 0. La dérivée d'un vecteur c'est la limite de (A(t+h) - A(t)) /h quand h-> 0.
Analytiquement, quand on décrit un vecteur par 3 coordonnées dans une base qui ne dépend pas du temps (la précision est fondamentale), il est facile de voir que chaque coordonnées est une fonction du temps ( Ax(t), Ay(t), Az(t)) , et que la dérivée du vecteur sera simplement le vecteur fait avec les 3 dérivées (A'x(t), A'y(t), A'z(t)) : dériver un vecteur, quand on a une base indépendante du temps, c'est "juste" dériver chacune des composantes : il y a donc en général trois dérivées à calculer.

Maintenant que devient la norme ||A|| là dedans ? la norme ||A|| , ou A, c'est comme on l'a vu : racine(Ax²+Ay²+Az²)

Si le vecteur dépend du temps, bien sur le plus souvent sa norme va aussi dépendre du temps (mais pas forcément, voir ci-dessous). La fonction ||A(t)|| est une autre expression qu'on peut aussi dériver pour avoir la dérivée de la norme d||A||/dt (ou dA/dt).

Si tu as bien suivi, tu vois que ce dA/dt est très différent de la dérivée vectorielle dA/dt : la première est la dérivée de la fonction racine(Ax²(t)+Ay²(t)+Az²(t)), alors que la deuxième est la collection de 3 dérivées (dAx/dt , dAy/dt, dAz/dt) : c'est quand meme assez différent.

Différent mais il y a quand meme un certain lien entre elles.
En effet si tu cherches à "visualiser" comment un vecteur peut changer au cours du temps (voir les schémas fournis), tu te rends compte qu'il y a deux manières essentiellement différentes pour un vecteur de changer . Alors que pour une fonction f(t), elle ne peut changer qu'en augmentant ou diminuant), le vecteur peut faire plus :
* soit il change sa norme en s'allongeant ou en se raccourcissant
* soit il garde sa norme constante mais il change de direction, donc il tourne !

en fait il peut bien sur faire les deux à la fois, mais c'est intéressant de décomposer sa variation en deux composantes :
* une liée à la variation de sa norme
* une liée à la variation de sa direction.

Comme la dérivée d'un vecteur est elle meme un vecteur, ca revient à décomposer cette dérivée sur deux directions :
* une parallèle au vecteur qui rend compte de sa variation de sa norme (tu l'allonges ou tu le raccourcis)
*une perpendiculaire au vecteur qui rend compte de la variation de sa direction (si tu le fais tourner en gardant sa norme constante, sa variation est perpendiculaire à sa direction).

Pour la vitesse cela correspond aux notions "d'acceleration tangentielle" et "d'accélération normale".

Ainsi tout comme la norme A ne représente qu'une "information partielle" sur le vecteur A , la dérivée de la norme dA/dt ne représente qu'une "information partielle" sur la dérivée vectorielle complete dA/dt. On montre que la dérivée normale vaut simplement (en valeur absolue ) A d theta/dt où d theta/dt est la vitesse angulaire de rotation. La dérivée complète du vecteur s'écrit donc :

dA/dt = dA/dt T + A d theta/dt N

où les vecteur T et N sont des vecteurs respectivement tangents (parallèle) et normal (perpendiculaire) au vecteur A
et où le premier terme dépend de la dérivée de la norme mais ne représente qu'une partie du changement (dérivée tangentielle), l'autre étant la dérivée normale.

Remarque ; pour la vitesse V d'un point, on introduit souvent le rayon de courbure R tel que par définition , V = R d theta/dt, ce qui fait que d theta/dt = V/R et du coup l'accélération normale devient V²/R

Donc pour conclure : comme le montre l'écriture ci-dessus, non, ce n'est pas pareil de dériver un vecteur et de dériver sa norme ! parfois on te demande de faire l'un et parfois l'autre, il faut bien comprendre quelle est la question ...

[K1G]

Super ! C'est super génial, je ne m'attendais pas a recevoir des réponses aussi clair !
Vous avez refait ma journée je pense
Merci infiniment !

(Les vecteurs sont en gras)

Si je résume Archi3 :
Représenter ce vecteur revient a écrire une combinaison linaire A = Ax i + Ay j + Az k. Cette combinaison c'est l'équivalent en quelque sorte des coordonnées (x ; y ; z), c'est un outils qui nous donne les informations du vecteur uniquement mais sans que l'on puisse établir des calculs. Les coordonnées ( x ; y ; z) donne une information mais on ne leurs fait subir aucune opération. C'est ça ? Capture.jpg

Quand je travaille avec la force gravitationnel, électrique ou le poids par exemple, je mettrai alors que le Poids P est égale a P=50N ?
Et pourquoi dit-on que quand on écrit un vecteur d'un coté il faut ajouté un vecteur de l'autre,
par exemple dans les conditions initiale, on lance sans vitesse un objet, on écrit donc V0=0
Pourquoi le professeur n'a pas écrit V0=0 ?

Dans votre dernier message je bloque sur cette phrase : "[...] il est facile de voir que chaque coordonnées est une fonction du temps ( Ax(t), Ay(t), Az(t)) , et que la dérivée du vecteur sera simplement le vecteur fait avec les 3 dérivées (A'x(t), A'y(t), A'z(t)) : dériver un vecteur, quand on a une base indépendante du temps, c'est "juste" dériver chacune des composantes : il y a donc en général trois dérivées à calculer."
Comment définissez-vous une fonction du temps ?
"dans une base qui ne dépend pas du temps" Graphiquement, la base c'est (i;j;k) mais le temps il où ? En général l'abscisse d'une fonction c'est le temps, mais quand vous dites que la base est indépendante au temps, cela veut dire qu'il y a une base (i;j;k) sans qu'aucun de ces axes correspond au temps ?
"Dériver un vecteur, c'est dériver chacune des composantes" mais ces composantes sont des constantes ? enfin les coordonnées d'un vecteur sont constent non ?

Sinon merci beaucoup !

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Merci velosiraptor pour vos schémas, c'est vrai qu'ils sont parlant.
J'ai bien saisi ce qu'est une dérivée graphiquement, merci !

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Merci mach3 !
Par contre, j'ai pas bien saisi : "f n'est pas forcément une fonction de R dans R" pouvez vous me le réexpliquer s'il vous plait ?
et la dernière partie, "vecteur image de t+h", l'image d'un vecteur ?
Comment est constituer la fonction v(t), en abscisse j'ai bien compris que c'est le temps t, et en ordonnée on a quelle information, la norme du vecteur ? La norme du vecteur vitesse évolue en fonction du temps c'est ça ?

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albanxiii , j'ai donc schématiser ce que vous m'avez dit, le vecteur formée par la différence des vecteur OM_i, est parallèle a la tangente, est-ce exact ? Donc le vecteur dérivée c'est simplement la différence de deux vecteurs ?
https://video-lga3-1.xx.fbcdn.net/v/...b98b7a74d57877

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Je sais que j'ai l'air pénible mais j'ai juste exposée les quelques remarque qui me bloque depuis ce matin. J'ai vraiment beau lire et relire... je n'y arrive pas. J'en suis désolé.

[K1G]

Archi3
Ah ok j'ai compris ! dériver un vecteur revient a dériver ses composantes :
Dans cette image, Vx Vy Vz correpondent a une norme ou une composante ? Vx=dx/dt peut se comprendre comme :
norme du vecteur V (sur x) = dériver de x en fonction du temps ?

Et donc cela et la dériver uniquement du vecteur. Mais la norme elle ne change pas ||V||= racine(X²+Y²+Z²) ?
Je viens de comprendre en relisant, Le vecteur est dérivé en dérivant ses composantes (composante = vecteurs, donc on dérive la norme de ses composantes, c'est ca ?)
tandis que la norme du vecteur V n'est pas affecter par la dériver du vecteur, si l'on souhaite dérivé la norme qui s’écrit ||V||= racine(X²+Y²+Z²) c'est tout simplement une dérivé qui donne zéro, non ? (car norme=nombre)

Est ce que la dérivé d'un vecteur, graphiquement, correspond au vecteur v-u dans la vidéo que j'ai joint (précédent message)
Donc cette dérivé graphiquement, correspond a quel vecteur ? le vecteur u ou v ?

Sinon je pense que j'ai tout compris merci !!!!

[mach3]

Merci mach3 !
Par contre, j'ai pas bien saisi : "f n'est pas forcément une fonction de R dans R" pouvez vous me le réexpliquer s'il vous plait ?
et la dernière partie, "vecteur image de t+h", l'image d'un vecteur ?
Comment est constituer la fonction v(t), en abscisse j'ai bien compris que c'est le temps t, et en ordonnée on a quelle information, la norme du vecteur ? La norme du vecteur vitesse évolue en fonction du temps c'est ça ?

une fonction, c'est un "machin", qui, à un élément, l'antécédent, d'un ensemble de départ, fait correspondre un élément, l'image, dans un ensemble d'arrivée (éventuellement le même). Les fonctions que vous voyez au lycée, sont des fonctions dont les ensembles de départ et/ou d'arrivée sont R ou C (réels ou complexes). Mais vous connaissez aussi des fonctions de N (les entiers naturels) vers R, ce sont les suites.

La on n'a parlé que d'ensemble de nombres, mais il y a des ensemble d'autres trucs. Par exemple, les fonctions de R dans R (sin x, x², etc) forment un ensemble, et on peut très bien imaginer une "fonction" avec un certain ensemble de fonction de R dans R pour ensemble de départ ou d'arrivée.

Les vecteurs sont des éléments d'ensembles avec des propriétés spéciales, appelés espace vectoriel. Ce ne sont pas des nombres.
On peut avoir une fonction v(.) avec pour ensemble de départ les réels R et pour ensemble d'arrivée un espace vectoriel V. C'est à dire que la "machine" v(.), va transformer des réels en vecteurs. Chaque réel, par exemple t, aura un vecteur comme image dans l'espace vectoriel d'arrivée v(t). Attention on décortique bien v(.), fonction de R dans V. t, nombre réel. v(t), vecteur de V, image du réel t par la fonction v(.).
On ne peut pas tracer v(t) comme on trace une fonction réel f(t) avec t en abscisse et f(t) en ordonnée. Par contre on peut appliquer certaines fonctions qui transforment le vecteur en nombre, et tracer le résultat. La norme est l'une de ses fonctions. Le produit scalaire avec un vecteur de base (i, j ou k) est l'une de ces fonction (on obtient les coordonnées x, y ou z du vecteur dans cette base i, j, k). On pourra donc tracer la norme, la coordonnée x, la coordonnée y, etc, du vecteur en fonction du temps sur un graphe.

La dérivation s'applique à beaucoup de types de fonctions (certains ensembles de départ et d'arrivée vont empêcher sa définition, par exemple la dérivée d'une suite c'est problématique, les ensembles doivent posséder certaines propriétés, mais n'entrons pas dans le détail), et toujours de la même manière. On choisi deux antécédents, dont la différence est h (ce sera un élément de l'ensemble de départ), on prend les images de ces deux antécédents par la fonction (ce sont des éléments de l'ensemble d'arrivée), on fait la différence (on obtient un élément de l'ensemble d'arrivée) et on divise par h pour obtenir la dérivée.

m@ch3

[jacknicklaus]

Sinon je pense que j'ai tout compris merci !!!!

je crains que non. Tu fais pal mal de confusions. reprenons ton message :

"dériver un vecteur revient a dériver ses composantes"
oui et non. Non car, comme toujours avec les vecteurs, tu peux les voir comme des objets géométriques (disons, un flèche) et comme des objets analytiques (un triplet de composantes). Nul besoin de composantes pour faire ce que propose albanXiii au message 9 et voir que l'on construit une tangente à la courbe des lieux de M(t). Oui car si on a une expression des composantes en fonction de t, on peut dériver les 3 fonctions et obtenir les composantes du vecteur dérivé


Dans cette image, Vx Vy Vz correpondent a une norme ou une composante ? Vx=dx/dt peut se comprendre comme :
norme du vecteur V (sur x) = dériver de x en fonction du temps ?
tu fais un mauvais usage du mot "norme". la norme d'un vecteur, c'est sa longueur. On peut la construire géométriquement, mais aussi analytiquement avec (norme)² = (Ux² + Uy² + Uz²). une composante, c'est une des valeurs Ux ou Uy ou Uz.

Et donc cela et la dériver uniquement du vecteur. Mais la norme elle ne change pas ||V||= racine(X²+Y²+Z²) ?
Grosse erreur. Prends un exemple simple : soit une vecteur variable en fonction d'un paramètre t : U = (4t ; 1 ; 3t²). la norme est racine(16t² + 1 + 9t⁴). Tu vois bien qu'elle est variable, pourquoi une norme d'un vecteur variable devrait-elle être constante ?

Je viens de comprendre en relisant, Le vecteur est dérivé en dérivant ses composantes (composante = vecteurs, donc on dérive la norme de ses composantes, c'est ca ?)
oiui, on peut faire çà. Cf réponse ci-dessus

tandis que la norme du vecteur V n'est pas affecter par la dériver du vecteur, si l'on souhaite dérivé la norme qui s’écrit ||V||= racine(X²+Y²+Z²) c'est tout simplement une dérivé qui donne zéro, non ? (car norme=nombre)
n'importe quoi. cf exemple ci-dessus : norme = racine(16t² + 1 + 9t⁴), penses tu que la dérivée de ce truc soit zéro ???

Est ce que la dérivé d'un vecteur, graphiquement, correspond au vecteur v-u dans la vidéo que j'ai joint (précédent message)
Donc cette dérivé graphiquement, correspond a quel vecteur ? le vecteur u ou v ?

voir messages de albanxiii et velosiraptor

[Archi3]

quelques réponses pour parfaire ta compréhension, en espérant que ces questions deviendront bientôt triviales pour toi
(mais c'est très bien que tu te les poses, quand on voit le nombre d'étudiants qui continuent à aligner les énormités sans se poser de question !)

Si je résume Archi3 :

Représenter ce vecteur revient a écrire une combinaison linaire A = Ax i + Ay j + Az k. Cette combinaison c'est l'équivalent en quelque sorte des coordonnées (x ; y ; z), c'est un outils qui nous donne les informations du vecteur uniquement mais sans que l'on puisse établir des calculs. Les coordonnées ( x ; y ; z) donne une information mais on ne leurs fait subir aucune opération. C'est ça ?

oui c'est essentiellement ça . (Ax, Ay, Az) "représente" le vecteur comme (x, y, z) "représente " un point. A ce niveau il n'y a aucune opération dessus.

Quand je travaille avec la force gravitationnel, électrique ou le poids par exemple, je mettrai alors que le Poids P est égale a P=50N ?

là non, tu ne peux pas mettre un = entre un vecteur et un nombre, ce sont deux choses différentes qui appartiennent à des espaces différents (isomorphes à IR³ pour le vecteur, et à IR pour le nombre). L'écriture correcte est sur la norme, ||P|| = P = 50 N

Et pourquoi dit-on que quand on écrit un vecteur d'un coté il faut ajouté un vecteur de l'autre,
par exemple dans les conditions initiale, on lance sans vitesse un objet, on écrit donc V0=0
Pourquoi le professeur n'a pas écrit V0=0 ?

pour la raison précédente, un nombre et un vecteur ne "vivent" pas dans le même monde (espace) et ne sont pas égaux. Si tu veux écrire un vecteur , il faut sa norme et un vecteur unitaire (de norme 1) indiquant sa direction. Par exemple si tu as un poids P vers le bas de norme 50 N, et un vecteur de base k vers le haut, alors P= - P k

"dans une base qui ne dépend pas du temps" Graphiquement, la base c'est (i;j;k) mais le temps il où ? En général l'abscisse d'une fonction c'est le temps, mais quand vous dites que la base est indépendante au temps, cela veut dire qu'il y a une base (i;j;k) sans qu'aucun de ces axes correspond au temps ?

non aucun axe ne représente le temps. C'est juste que tu peux avoir des bases "mobiles" qui sont définies à chaque instant. Ce n'est pas le cas des bases cartésiennes (i;j;k) "dans leur référentiel" . Mais d'autres bases (comme la base (T,N) que j'ai introduite plus haut) , varient avec le temps car la tangente à la trajectoire dépend du point ou on est et donc de t.

"Dériver un vecteur, c'est dériver chacune des composantes" mais ces composantes sont des constantes ? enfin les coordonnées d'un vecteur sont constent non ?

beh ... non justement quand elle dépendent du temps. Par exemple si tu représentes la vitesse du vent là ou tu es par un vecteur, ce vecteur change souvent avec le temps !

Dans cette image, Vx Vy Vz correpondent a une norme ou une composante ?

à trois composantes ! la norme, ce n'est pas ça (voir plus bas).

Vx=dx/dt peut se comprendre comme :
norme du vecteur V (sur x) = dériver de x en fonction du temps ?

"norme sur x", ça n'existe pas: c'est composante selon x qu'il faut dire. La norme ce n'est que la longueur du vecteur, qui dépend des 3 composantes (racine de la somme des carrés).
Sinon oui le vecteur V est bien la dérivée du vecteur position OM =(x(t), y(t), z(t)) quand il dépend du temps (si il n'en dépend pas, le point est immobile et bien sûr V= 0)

Et donc cela et la dériver uniquement du vecteur. Mais la norme elle ne change pas ||V||= racine(X²+Y²+Z²) ?
Je viens de comprendre en relisant, Le vecteur est dérivé en dérivant ses composantes (composante = vecteurs, donc on dérive la norme de ses composantes, c'est ca ?)
tandis que la norme du vecteur V n'est pas affecter par la dériver du vecteur, si l'on souhaite dérivé la norme qui s’écrit ||V||= racine(X²+Y²+Z²) c'est tout simplement une dérivé qui donne zéro, non ? (car norme=nombre)

euh non encore beaucoup d'imprecisions. Bien sur que si la norme PEUT changer , mais pas forcément. En voiture , la norme de ta vitesse peut changer avec le frein ou l'accélérateur, mais aussi la direction avec le volant . Ou les deux en meme temps. Donc le fait qu'un vecteur dépende du temps PEUT aussi faire que sa norme dépende aussi du temps, mais pas toujours : si un vecteur change, c'est que soit sa norme change, soit sa direction, ou les deux.
La dérivée de la norme d||V||/dt peut donc etre nulle ou pas. (Par exemple pour une particule chargée dans un champ magnétique,d||V||/dt = 0 (mais sa direction change), alors que dans un champ électrique en général d||V||/dt ≠ 0).

[Sethy]

Imagine la situation suivante : tu tiens dans ta main une ficelle reliée à un poids au sol.

Si tu tires sur la ficelle, sans avoir idée du poids de l'objet, tu vas appliquer une faible force et ensuite tirer de plus en plus fort jusqu'à ce qu'il bouge (par exemple).

La force que tu exerces sur la ficelle est un vecteur (direction, sens, point d'application, norme). La norme de se vecteur augmente au fur et à mesure que tu tires de plus en plus fort sur la corde (je discute ici de la situation avant que l'objet ne bouge).

[K1G]

D'accord !!! bon bah j'ai plus de question
MERCI énormément à tous ! Et surtout merci d'avoir pris le temps de m'expliquer... C'est super chouette !
J'ai finalement compris, vos réponses m'ont bien illustrer la chose.

Merci !

[stefjm]

forums.futura-sciences.com/search.php?searchid=22664213 <-- Oh, crotte, ce lien ne marche plus quand je change de pc, ça veut dire qu'il ne marche pas tout court... désolé

Pas une question de PC mais de durée de vie limitée des liens de recherche.