Particule dans une boite

[curiossss]

Bonjour,

D'après cet article Tiré de Wikipédia https://fr.wikipedia.org/wiki/Partic...une_bo%C3%AEte :

Propagation libre :
Si le potentiel est nul (ou constant) en tout point, on définit une particule libre. Ceci apporte quelques difficultés de normalisation de la fonction d'onde. Une manière de contourner le problème est de contraindre la particule dans un volume fini V de grandeur arbitraire, dans lequel il n'y a pas d'obstacle à la propagation.
Il faut que lorsque V→ ∞, on récupère la particule libre, tout en permettant dans les calculs intermédiaires l'utilisation des états correctement normalisés.
Aussi, quand nous décrivons par exemple une particule se déplaçant dans un solide, on ne s'attend pas à des états localisés spatialement mais au contraire à des états complètement délocalisés (dans le solide), ce qui signifie que la particule se propage à travers lui (puisqu'elle peut être partout avec la même probabilité, à l'inverse des solutions sinusoïdales que nous avons rencontrées lorsque la particule a des emplacements préférés).
Cette interprétation découle des solutions de l'équation de Schrödinger pour un potentiel nul avec les conditions aux limites dites "Von-Karman boundary conditions", en d'autres termes la fonction d'onde prend les mêmes valeurs sur les faces opposées de la boîte, mais pas nécessairement nulles.

J'essaye de comprendre : si la boite est très grande (L -> infini) la particule libre serait quand même potentiellement partout à la fois ? (Sinon la fonction d'onde serait nulle par endroits...). Mais si à un instant t elle est à un endroit, elle ne peut pas être très loin de là à "t+1" (il y a une limite à la vitesse de déplacement) donc dans ces régions interdites la fonction d'onde est nulle...? C'est contraire aux prémices du problème !

Merci.
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[0577]

Bonjour,

J'essaye de comprendre : si la boite est très grande (L -> infini) la particule libre serait quand même potentiellement partout à la fois ? (Sinon la fonction d'onde serait nulle par endroits...).

L'énoncé précis est que, pour une particule libre dans une boîte avec conditions aux bords périodiques, la fonction d'onde d'un état propre de l'énergie est partout non-nulle (c'est simplement une exponentielle complexe). Cela signifie que, si la particule est dans un tel état, alors quel que soit le domaine de la boîte de mesure non-nulle, il y a une probabilité non-nulle d'y trouver la particule si on en fait la mesure. Cela ne signifie pas que la particule est "partout à la fois", ce qui n'a pas de sens. (Si j'ai un dé non truqué, la probabilité d'obtenir chacune des six faces est non-nulle, égale à 1/6. Cela ne signifie rien, en particulier pas que "la face supérieure du dé est à la fois chacune des six faces", tant que je ne jette pas le dé).

Mais si à un instant t elle est à un endroit, elle ne peut pas être très loin de là à "t+1" (il y a une limite à la vitesse de déplacement) donc dans ces régions interdites la fonction d'onde est nulle...? C'est contraire aux prémices du problème !

Si à un instant t, l'état de la particule n'est pas un état propre de l'opérateur position, ce qui est le cas pour un état propre de l'énergie, dire qu'à cet instant, "elle est à un endroit", n'a pas de sens.

Si à un instant t, je mesure la position de la particule, je trouve une valeur (avec probabilité donnée par la fonction d'onde "juste avant" t), et la fonction d'onde "juste après t" est concentrée autour de cette valeur, et nulle ailleurs, et n'est plus état propre de l'énergie. En physique quantique non-relativiste, ce qui est en général le cadre pour ces questions de particule dans une boîte, la fonction d'onde à t+1 sera de nouveau non-nulle partout, ce qui n'est pas une contradiction parce qu'en physique non-relativiste, il n'y a pas de limite à la vitesse de déplacement. Dans un cadre relativiste, avec limite à la vitesse de déplacement, le problème "une particule dans une boîte" n'est pas bien défini, et devrait être remplacé par "un champ quantique dans une boîte", ce qui est plus compliqué.

[curiossss]

Bonjour, et merci pour votre réponse.

Vous expliquez très bien dans le cadre de la théorie. Mais pour moi la théorie est le résultat de nos mesures, et donc décrit l'univers tel qu'il serait s'il se résumait à ce que l'on peut mesurer, ce qui est réducteur. Je n'adhère pas du tout au point de vue probabiliste (qui pour moi est le reflet de notre incapacité à en savoir d'avantage sur la réalité pour pouvoir se passer du point de vue probabiliste). Mais passons, ceci est affaire d'opinion, chacun la sienne.

Ce qui m'intéresse c'est de connaître la distribution spatiale de la particule dans une boite infinie, c'est à dire le volume qui contient à l'instant t la plus grande partie de l'énergie de la particule, et s'il est possible de modéliser sa position dans la boite infinie à l'aide d'une fonction qui serait nulle partout (à l'instant t) sauf dans la région où se trouve la particule (région qui peut être vaste). Peut-être que cette fonction pourrait être la somme de fonctions périodiques dont la somme s'annule partout sauf dans une région.
Note : J'ai vu une fois il y a longtemps une simulation numérique qui donnait quelque chose dans le genre : la somme de sinusoïdes d'amplitudes et longueurs d'onde différentes sur un axe s'annulait partout sauf dans une région de l'axe, malheureusement le site a disparu, j'aurais bien aimé faire de la retro-ingénierie dans le code de l'applet pour voir si c'était bien la somme ou si c'était une simplification d'affichage. C'était dans le cadre d'une simulation de puits de potentiel, en appliquant l'équation de Schrödinger. J'ai essayé de trouver d'autres sites aussi bien faits, mais sans succès.

[coussin]

Vous voulez un paquet d'onde quoi...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Vous expliquez très bien dans le cadre de la théorie. Mais pour moi ...

Dans quel autre cadre désirez-vous qu'on vous réponde?

[curiossss]

La théorie dit que la particule a la même probabilité d'être à tout endroit de la boite (avant d'effectuer la mesure de sa position) c'est très bien. Mais ça ne répond pas à mon interrogation de savoir quelle est à peu près sa distribution spatiale dans la boite à un instant t (elle ne peut pas être partout à la fois : dans une petite boite ok on pourrait se dire qu'elle s'étend sur tout le volume de la boite, mais dans une boite infinie ce n'est pas réaliste).

Ma question est de savoir si la théorie peut répondre à cette question. Je pense que oui car j'ai vu une animation où une onde se déplaçait, elle-même construite par la somme de plusieurs sinusoïdes d'amplitudes et longueurs d'ondes différentes, donc il y avait une zone de l'axe (on n'était pas dans un cadre 3D) où la somme était nulle.

[coussin]

Tout ça est de base en MQ...
Quand vous dites que la particule est partout à la fois, vous parlez (sans le savoir peut-être) d'une onde plane pour décrire la particule. C'est OK car une onde plane est effectivement solution de l'équation de Schrodinger libre. Problème cependant : une onde plane n'est pas normalisable (c'est le "partout à la fois"). Mais c'est pas grave car une onde plane correspond à une énergie déterminée exactement ce qui est en contradiction avec Heisenberg.
Il faut donc faire quelque chose d'un peu plus réaliste : un paquet d'onde pour une énergie ayant une petite dispersion compatible avec Heisenberg. Ça résoud tous les problèmes : le paquet d'onde est normalisable et la particule localisée en un endroit de l'espace (ça, c'est le "somme de plusieurs sinusoïdes... zone de l'axe où la somme est nulle...").

[curiossss]

Je reprends la fin de la citation que j'ai mise plus haut en introduction :

Cette interprétation découle des solutions de l'équation de Schrödinger pour un potentiel nul avec les conditions aux limites dites "Von-Karman boundary conditions", en d'autres termes la fonction d'onde prend les mêmes valeurs sur les faces opposées de la boîte, mais pas nécessairement nulles.

Est-ce que, en théorie, le paquet d'ondes (somme de sinusoïdes non nulle à l'endroit où se situe le paquet d'ondes) s'appuie encore sur les bords de la boite (infinie) ?
Si la réponse est nom, il faudrait que le paquet d'ondes transporte avec lui l'équivalent des bords d'une boite...

[coussin]

Vous n'avez pas besoin de boîte pour traîter la particule libre. Le début de l'article wikipédia concerne une particule confinée dans un potentiel infini aux bords, c'est différent.
Les conditions aux bords périodiques (de Von-Karman) servent à traîter le continuum (infini non-dénombrable) comme limite d'un infini dénombrable. C'est pas vraiment nécessaire.