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Relations géométriques - Diagramme de Minkowski




  1. #1
    fabio123

    Relations géométriques - Diagramme de Minkowski

    Bonjour,

    je n'arrive pas à retrouver des relations géométriques basiques concernant un diagramme de Minkowski sur cette figure : rel01_img03.png

    L'auteur calcule sur cette page ( http://chaours.rv.pagesperso-orange....elat/relat.htm ) la synchronisation entre 2 observateurs en mouvement (représentés par les droites rouges) par rapport au repère immobile.

    Il déduit alors différentes choses que j'aimerais retrouver :

    1) Le triangle MNP est un triangle rectangle, donc le triangle MNQ est isocèle.

    2) En prenant l'angle theta entre les lignes rouges et la droite d'ordonnée (l'axe vertical), il trouve : angle(QMN) = PI/2 - theta

    3) Enfin, l'angle theta' entre la droite QN et l'axe horizontal doit être égal à : theta' = PI/2 - angle(QNM) = theta

    Questions : comment prouver 1), je me doute que c'est de la géométrie assez simple mais je bloque : pour que le triangle MNQ soit isocèle dans un triangle rectangle MNP, faut-il imposer obligatoirement que Q soit le milieu du segment [MP] ?

    2) d'après ce que j'ai compris dans l'introduction de ce lien, theta représente l'angle entre la droite rouge et l'axe vertical (avec tan(theta) = v/c). Selon moi, il y a la relation de départ qui doit être : PI/2 = theta + angle(QMN) + delta ,où delta est l'angle entre la droite MN et l'axe horizontal (abscisse) :

    mais l'auteur ne semble pas prendre en compte cet angle delta.

    3) Comment prouver que l'angle theta' que fait la droite QN avec l'axe horizontal est égal à theta ? je n'ai pas compris la relation : theta' = PI/2 - angle(QNM)

    Il y a des choses qui m'échappent, si quelqu'un pouvait m'aider. Merci

    -----


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  3. #2
    minushabens

    Re : Relations géométriques - Diagramme de Minkowski

    Q est le centre du cercle qui passe par M,N & P donc les distance QM, QN et QP sont égales. C'est dans Euclide...

  4. #3
    Amanuensis

    Re : Relations géométriques - Diagramme de Minkowski

    Citation Envoyé par fabio123 Voir le message
    Questions : comment prouver 1)
    Le milieu de l'hypothénuse d'un triangle rectangle (Q) est le centre du cercle circonscrit au triangle (à MNP).

    (À suivre)
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.


  5. #4
    Amanuensis

    Re : Relations géométriques - Diagramme de Minkowski

    Citation Envoyé par fabio123 Voir le message
    2) d'après ce que j'ai compris dans l'introduction de ce lien, theta représente l'angle entre la droite rouge et l'axe vertical (avec tan(theta) = v/c). Selon moi, il y a la relation de départ qui doit être : PI/2 = theta + angle(QMN) + delta ,où delta est l'angle entre la droite MN et l'axe horizontal (abscisse)
    On a QMN = π/4 - θ, puisque MN fait un angle de π/4 avec l'axe de ordonnées (par hypothèse)


    3) Comment prouver que l'angle theta' que fait la droite QN avec l'axe horizontal est égal à theta ? je n'ai pas compris la relation : theta' = PI/2 - angle(QNM)

    MQN = π - 2 (π/4 - θ) = π/2 - 2θ (parce que MQN est isocèle), et faut enlever θ pour obtenir l'angle de QN avec la verticale.
    Dernière modification par Amanuensis ; 12/07/2018 à 15h35.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  6. #5
    fabio123

    Re : Relations géométriques - Diagramme de Minkowski

    ok merci, donc il y a une erreur sur l'angle QMN, c'est : angle(QMN) = pi/4 - theta

    @Amanuensis : c'est l'angle de QN par rapport à l'horizontale dont l'auteur parle; je dirais :

    avec angle(MQN) = pi/2 - 2 theta

    et en considérant un triangle rectangle avec la droite horizontale au dessus de la droite QN :

    angle(QN/horizontale) = pi - pi/2 - (pi - angle(MQN) + theta)) = pi/2 - pi/2 + 2 theta + theta = 3 theta

    ?? là pour le coup, je suis pas sûr, quelqu'un peut confirmer et me dire si non où est mon erreur ?
    Dernière modification par fabio123 ; 12/07/2018 à 19h09.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    fabio123

    Re : Relations géométriques - Diagramme de Minkowski

    Petite rectification :

    angle(MQN) = π - 2 (π/4 - theta) = π/2 + 2 theta

    et donc :

    angle(QN/horizontale) = pi - pi/2 - (pi - angle(MQN) + theta)) = pi/2 - pi/2 + 2 theta - theta = theta

    Merci

  9. #7
    Amanuensis

    Re : Relations géométriques - Diagramme de Minkowski

    Oui, ça corrige mon erreur de signe dans le message #4.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

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