Déterminer les valeurs propres de l’énergie système de N particules de spin 1/2

[naeru]

Bonjour, voici le problème que j'essaie de résoudre:

" Système de N spins 1/2 plongés dans un champ magnétique B et dont l’hamiltonien est donné par

i=1,2,...,N


avec μ le moment magnétique des spins et étant la matrice de Pauli composante z.

Déterminer le spectre des valeurs propres de l’hamiltonien, ainsi que leur multiplicité "


En utilisant la méthode du calcul de det j'obtiens

Comment obtenir la bonne réponse sachant que la réponse donnée dans le correctif est : n=0,1,2,...,N, quelle méthode appliquer?
Je ne comprends pas d'où sort le 2n...

Merci pour votre aide
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[albanxiii]

Bonjour,

Vous avez du considérer que les spins sont tous orientés dans le même sens, parallèle ou anti-parallèle au champ magnétique, mais c'est juste un cas particulier.

est fixe, c'est le nombre total de spins, et doit représenter le nombre de spin orientés de façon parallèle au champ magnétique appliqué. C'est normal que l'énergie en dépende.
Non ?

[naeru]

Alors en effet, c'est bien cela:

Ayant obtenu les valeurs propres:

, N étant le nombre de particules. Je pose:
N₊ : nombre de particules de spin +
N_- : nb de spin -

Je remplace dans E et j'obtient bien

A présent j'aimerais connaitre la multiplicité des vp. Est ce que c'est N₊ et N_- respectivement?
Enfin déterminer le nombre de microétats dans la couche d'energie égale à l'espacement entre les niveaux. Ici je dirais qu'il correspond à la dégénérescence de E donc N_-?

Merci

[albanxiii]

Re,

A présent j'aimerais connaitre la multiplicité des vp. Est ce que c'est N₊ et N_- respectivement?

A priori les spins sont sur des sites fixes dans votre modèle, ils sont donc discernables et il faut en tenir compte. Si vous échangez un spin up et un spin down (l'un à la place de l'autre et vice-versa) vous aurez la même énergie, mais l'état de votre système ne sera pas le même.

Je dirais que la multiplicité d'une valeur propre c'est le nombre de façons d'arranger spins ups et spins down sur un ensemble de sites.
Cela devrait être la même chose qu'arranger spins ups sur un ensemble de sites.

Enfin déterminer le nombre de microétats dans la couche d'energie égale à l'espacement entre les niveaux. Ici je dirais qu'il correspond à la dégénérescence de E donc N_-?

Du coup, non, il faut utiliser le résultat concernant la multiplicité des valeurs propres.

[A voir en vidéo sur Futura]

[naeru]

Merci beaucoup!

[naeru]

Dans le même type d'exo,
il s'agit de calculer la fonction de partition.

J'utilise la formule:



Et etant donné que comme dit precedement

Donc .

Est ce que c'est possible? Encore en vérifiant sur le résultat du correctif je trouve que ça ne correspond pas... il semblerait qu'il faille faire:



mais je ne vois pas bien pourquoi ils ont fait ainsi.. Merci de votre aide