La 4ème dimension

[invite46b4a9f3]

Bonjour,

je suis en ce moment dans un délire de visualiser un espace en 4 dimensions.

Il y a sur ce site https://openclassrooms.com/fr/course...ieme-dimension une méthode pour se représenter la 4D mais des détails m’échappent pourriez vous m'éclairer svp ?

L’hypersphère

Hypersphere.png

L'auteur dit que le fatland man voit un disque lorsque qu'une sphère traverse son plan. Pourtant j'ai beau retourner la chose dans tous les sens je n'imagine qu'un trait qui s'allonge puis rétrécit. Quel est le souci ?

L'Hypercylindre

Hypercylindre.png

L'auteur dit que lorqu'un hypercylindre traverse un espace 3D on verrait une sphère par intermittence pourtant chaque niveau de l'hypercylindre est une sphère. Pourquoi cette intermittence ?

Merci d'avance pour votre aide
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[Resartus]

Bonjour,

J'ai l'impression que vous pensez à un disque en 3D (qui sera en effet vu comme un segment sur flatland). Mais pour une sphère découpée selon un plan Il devrait être évident que c'est un disque, non? Sinon, prenez une pomme et un couteau…

Et de même une hypersphère 4D découpée selon un hyperplan 3D sera une sphère (3D) de rayon d'abord croissant puis décroissant

Sur la deuxième question, je ne lis pas de mention de l'intermittence. Pensez à un saucisson qu'on découpe (d'abord on le rate, puis on voit un disque de taille constante, puis on le rate de l'autre coté
De même dans le cas simple ou l'hypercylindre 4D qui a une hauteur finie est perpendiculaire à notre espace 3D) l'hypercylindre est d'abord invisible (le plan de découpe est en dehors), puis on voit une sphére de diamétre constant apparaitre, puis disparaitre (quand on est arrivé à l'autre bout de l'hypercylindre).

[invite46b4a9f3]

ok merci

et concernant l'hypercylindre :

Un hypercylindre traverse l'espace
Contrairement à une sphère, un hypercylindre a un diamètre constant. On voit donc une sphère apparaître subitement, puis disparaître après un certain temps. Entre temps, la taille de la sphère ne varie pas.

Je ne comprends toujours pas ceci malgré ton analogie avec le saucisson ...

[invite46b4a9f3]

ok c'est bon je viens de comprendre merci pour ton aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Concernant le cylindre, si on le découpe dans le sens de la longueur on voit d'abord une ligne puis des rectangles dont la largeur augmente jusqu'à atteindre le diamètre du cylindre. Ensuite, la largeur des rectangles diminue jusqu'à devenir une ligne puis plus rien.
Comment cette situation là se généralise-t-elle en 4D ? Que sont les "rectangles" dans ce cas ?

[invite46b4a9f3]

Je me pose aussi la question ^^

[coussin]

Je pense que dans le cas que j'ai évoqué, on voit justement des cylindres 3D de diamètres d'abord croissants puis décroissants.

[invite6486d7bd]

Déjà, premier point.

je suis en ce moment dans un délire de visualiser un espace en 4 dimensions.

Je pense qu'il faut bien distinguer deux choses : L'espace 4D que vous cherchez à visualiser, et un objet faisant partie de cet espace.

Je pense que dans le cas que j'ai évoqué, on voit justement des cylindres 3D de diamètres d'abord croissants puis décroissants.

Ensuite, je ne vois pas pourquoi il est ici question de temps (d'abord etc).
Lorsqu'on représente une forme 3D sur une feuille de papier on ne dit pas que la 3eme dimension est temporelle, elle reste spatiale et ça fonctionne bien pour ce qui est de se représenter l'objet.

On a certes la solution de facilité qui consiste à imaginer la dernière dimension en tant que dimension temporelle, mais elle n'apporte pas grand chose, à mon avis, l'espace et le temps étant jusqu'à dernière nouvelle, liés (espace-temps).
Donc ici, au mieux avec cette méthode de variation temporelle vous représentez la projection d'un espace-temps (que vous prenez pour un espace...) sur un espace 3D dans la direction de l'axe des temps. => Ca rend les choses très confus.

Pour en revenir au basique, d'après moi :
Un espace de dimension 4 est un espace possédant 4 "directions" indépendantes.
Dit autrement, pour 1 quadruplet de valeurs pour les ordonnées il existe 1 et 1 seule "position".
C'est un espace mathématique et non pas physique puisque ce que nous appelons "espace" dans la vie de tous les jours, c'est limité à 3 directions indépendantes.

Maintenant, pour représenter une forme dans un espace 4D une des erreurs consiste à poser une forme dans un espace 3D puis de se demander comment elle apparait dans un espace 4D.
Or cette démarche est illogique car pour commencer on prend le problème à l'envers...
Imaginez ce que ça donnerait si vous faisiez de même avec une forme 2D que vous voudriez visualiser en 3D, n'ayant pas défini sa "hauteur".. (tout est possible et pourquoi donc la forme 4D serait-elle indéfini ???).
D'autre part, on voit bien que la forme est un "paramètre" spécial, arbitraire en quelque-sorte et qui dépend du nombre de ses sommets. (Et pourquoi d'ailleurs la forme serait "géométrique", dans le sens où elle produirait un volume (hyper-volume ?) inscrit par des droites ???) .

Plus modestement donc, je pense qu'il vaut mieux essayer de représenter une seule position en 4D pour commencer (un quadruplet de coordonnées) plutôt qu'une forme et que si on veut absolument étendre la visualisation à un objet il faut commencer par définir l'objet 4D pour ENSUITE le projeter .... pourquoi pas sur un espace 3D "holographique" (comme on le fait d'ailleurs très bien avec un objet 3D mais sur un plan (sur du papier)).
Je ne vous cache pas que selon la direction de la projection cette forme apparaitrait différemment en 3D... mais n'est-ce pas aussi le cas lorsqu'on projette une forme 3D sur du papier ? (enfin, pas pour le cerveau d'un animal car elle apparait identique dans ce cas de figure... ce qui est amusant d'une certaine façon )

[pm42]

Ensuite, je ne vois pas pourquoi il est ici question de temps (d'abord etc).

Parce qu'on utilise un plan de coupe (ou plus exactement un hyperplan d'un espace 4d) qu'on déplace le long d'un axe. Le "d'abord" est lié à ce déplacement, pas en soi au temps.

Lorsqu'on représente une forme 3D sur une feuille de papier on ne dit pas que la 3eme dimension est temporelle, elle reste spatiale et ça fonctionne bien pour ce qui est de se représenter l'objet.

On fait la même chose si on déplace un plan de coupe.

On a certes la solution de facilité qui consiste à imaginer la dernière dimension en tant que dimension temporelle,

Personne n'a fait ça, c'est juste vous qui ne comprenez pas.

Le reste est en gros du nawak donc je ne commente pas.

[Resartus]

Bonjour,

Pour ce qui est de retrouver à quoi ressemble une coupe 3D d'un objet 4D, on peut s'aider de l'algèbre….

Par exemple, sachant que les équations d'un hypercylindre sont de la forme u²+v²+w² =<r² et -h<x<h (où u, v, w, x sont les coordonnées, j'ai préféré ne pas utiliser x, y, z, t !)
on peut voir qu'une coupe perpendiculaire à l'axe des x va donner une sphère u²+v²+w²=<r² quand x est compris entre -h et h, et rien si x est en dehors
Et si on coupe perpendiculairement à l'axe des w , on a alors les équations u²+v²<r²-w² et h=<x=<h, ce qui est bien un cylindre de hauteur constante, et diamètre croissant puis décroissant

Sans aller jusqu'à imiter certains mathématiciens qui parait-il arrivaient à "voir" complétement en 4D, Il n'est pas trop difficile, en y passant un peu de temps, d'acquérir une certaine intuition sans recours aux équations.

Après tout, on a bien l'impression de voir la réalité en 3D, alors qu'il a fallu que notre cerveau apprenne à traduire les images 2D reçues par nos yeux pour reconstituer le monde qui nous entoure, au point qu'on le considère comme évident

Il y a eu des expériences (très cruelles AMHA) menées sur de jeunes chats, qui consistaient, à l'aide de lunettes spéciales, à perturber cet apprentissage essentiel.
Il y a avait cependant un aspect positif, c'est que la plasticité du cerveau est telle que, après quelques mois sans l'instrument de torture , les chats pouvaient réacquérir progressivement cette vision 3D

[invite46b4a9f3]

Déjà, premier point.


Je pense qu'il faut bien distinguer deux choses : L'espace 4D que vous cherchez à visualiser, et un objet faisant partie de cet espace.

Bonjour,

oui vous avez entièrement raison. Effectivement , un espace en 4D est très facile à se représenter et ma question portait en fait sur la visualisation d'un objet en 4D. Grace à vos explications et à la bouteille de Klein ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Bouteille_de_Klein ) j'ai mes réponses.

Pour conclure le cours sur la 4 ème dimension cité au début du fil , l'auteur dit que les mathématiciens utilisent des espaces de dimension infinie. Ces mathématiques là ont elles une application concrète ? Ou bien c'est purement abstrait ?

[jacknicklaus]

Espaces de Hilbert, à la base du formalisme de la mécanique quantique.

[Resartus]

les mathématiciens utilisent des espaces de dimension infinie. Ces mathématiques là ont elles une application concrète ? Ou bien c'est purement abstrait ?

Cela dépend de ce que l'on décide d'appeler "concret"
La recherche sur les nombres premiers est-elle abstraite? Elle est indispensable pour protéger votre carte bleue ou votre accès wifi...
Les nombres complexes sont-ils abstraits? Et pourtant ils sont d'un usage quasi banal en électricité.
Les espaces vectoriels de dimension infini sont utilisés pour la transformation de fourier, qui permet (par exemple) d'écouter des MP3 ou de voir des videos sur internet. Est-ce si abstrait?