Projection vectorielle - électromètre

[invite133fb9d9]

Bonjour,

Je rencontre des difficultés avec cet exercice qui se présente sous forme de QCM : Un électromètre est constitué de deux boules métalliques identiques de masse m et de rayon r suffisamment petit pour qu’elles puissent être considérées comme ponctuelles. Elles sont suspendues à un même point O par deux fils isolants de même longueur b. Une boule notée A est fixe, le point A est sur la verticale passant par O. L’autre notée P est mobile. L’ensemble est placé dans le champ de pesanteur supposé uniforme dans le référentiel terrestre supposé galiléen.On met les deux boules en contact. Il en résulte une déviation du fil OP d'un angle φ par rapport à la verticale.

la 1ère question permet d'établir la norme f de la force électrostatique qui s’exerce sur P : f=Q^2/(64πεb^2sin^2(φ/2)) (OK)

la 2e question consiste à déterminer l’expression de φe à l'équilibre
la correction propose : A l’équilibre, la somme des forces est nulle, soit en projetant sur la direction perpendiculaire à OP : mg*sin(φe)=f*sin(a) avec 2a + φ = π
On en déduit sin^3(φe/2)=Q^2/(128*πεmgb^2)

Mon problème est que je n'arrive pas à projeter correctement mes vecteurs. Pour moi on obtiendrait mg*cos(φe)=f*cos(a)=f*sin(φe/2), équation à partir de laquelle je ne parviens même pas à isoler sin^3(φe/2)
(en faisant une méthode différente (TMC) j'obtiens bien le même résultat que la correction)

Merci de votre aide et bonne journée !!
-----

[calculair]

bon jour,

je n'ai pas vérifié vos formules et calculs

le poids se projette sur la verticale et est dirigé ves le bas ( c'est sur ! )

la force electrique est sur l'axe A P qui est oblique. Il faut donc projeter cette force sur la verticale et cette fois elle est dirigée vers le haut

A l'equilibre les 2 projections sont égales ( Les boules ne montent pas ni ne descendent ! )

[Resartus]

Bonjour,
Si vous avez du mal avec les projections, c'est peut-être plus clair en utilisant les produits scalaires?

L'angle du produit scalaire, c'est à dire entre le poids et la perpendiculaire à OP n'est pas φe mais pi/2-φe. Donc vous devez trouver mg.cos(pi/2-φe)=mg.sin(φe)

Par ailleurs, on a dans le triangle isocèle OAP 2a+φe=pi. Et là encore l'angle du produit scalaire est pi/2-a, donc la force vaut f*sin(a)

Vous pouviez en effet utiliser directement φe/2 qui est l'angle entre les deux directions, ce qui donnera alors f*cos(φe/2) (pas sin)

Et c'est en utilisant sin(2x)=2sinx.cosx et en simplifiant que vous allez arriver à la formule voulue

NB : l'avantage de faire la projection sur cette perpendiculaire à OP, c'est qu'on n'a pas à prendre en compte la tension du fil

[invite133fb9d9]

Merci pour votre aide ! Le problème venait du fait que je projetait sur OP au lieu de projeter sur la perpendiculaire ��

[A voir en vidéo sur Futura]