Addition d'ondes sinusoïdales

[invite51d17075]

même si je pense qu'un regroupement par fréquence "parle" d'avantage !
et est plus clair car pour chaque fréquence , on obtient une seule onde sinusoïdale simple.
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[phuphus]

Bonjour,

Bonjour !
Entrant en terminale S à la rentrée, je bosse actuellement sur un projet de physique où la situation m'a amené à concevoir un programme pour simuler l'expérience. A la fin de celui-ci, j'obtiens une liste d'ondes sinusoïdales d'amplitudes, de fréquences et de déphasages différents : mon objectif est de les additionner. Quelle formule dois-je donc utiliser ?
J'imagine que je vais obtenir un phénomène de battement et donc une fonction à la fin du type " sin(x)*sin(omega*t+phi) " non ?

Merci d'avance, ô grands hiérophantes de la trigonométrie, de m'initier à l'essence diaphane de l'Univers.

L'expérience te donne une expression littérale ? Je ne pense pas, et si le but est de comparer une mesure à un calcul, tu superposeras deux courbes. Tu as donc tout intérêt à travailler en échantillonné, comme suggéré par d'autres intervenants (tableau, Matlab, Octave, etc.). Tu as l'air de penser que ces calculs sont lourds, ce n'est pas le cas. La liste montrée en #23 est petite, cela ne posera aucun souci à Excel. Le tout est de ne pas surdimensionner la fréquence d'échantillonnage.

[Patrick_91]

Pour ma part, je suis bien content que l'addition d'ondes sinusoïdales ne donne pas une onde sinusoïdale ...

Sinon radio, disques & concerts seraient bien monotones (au propre comme au figuré d'ailleurs).

Heu, depuis le début de ce fil i l y a une grossière erreur non ?
un : A.sinus(wt) + B.sinus(3wt) ne produit aucun battement d'aucune sorte , il n'en résulte que deux raies parfaitement pures d'amplitude A, pulsation wt et B pulsation 3wt ...
Donc une somme de deux sinusoide donne une somme de deux sinusoides et rien d'autre. (sin ou cos cela ne change rien ) ....
Vaut mieux partir avec les bonnes formules trigo pour écrire un programme qui ambitionne de faire l'inventaire de produits de battement ...
A plus

[invite51d17075]

qu'entends tu par battement ?
sinon la somme de deux sinusoïdes de même fréquence , même déphasées et d'amplitudes différentes donne une seule sinusoïde.

[invite51d17075]

@outini :
je ne comprend pas ( dans ton tableau ) les valeurs de déphasage avec des valeurs astronomiques , c'est en quelle unité ?
même question concernant les unités pour la fréquence. ( s'il s'agit bien de fréquence et pas de période )

[Patrick_91]

Hello,

sinon la somme de deux sinusoïdes de même fréquence , même déphasées et d'amplitudes différentes donne une seule sinusoïde.

Oui bien sur, et la somme de deux sinusoides de fréquences différentes ne donne rien d'autre que deux sinusoïdes distinctes , il n'apparait pas de battement non plus ..
Mr Fourier pourrait en attester ...
non ?

[Patrick_91]

Hello,

Si l'ambition du projet est de prédire la création de signaux parasites en fonction des signaux se présentant simultanément à l'entrée du récepteur, et a n'importe quelle fréquence dans la bande du récepteur c'est un vaste projet, tres compliqué mais il ne s’agit pas d'additions de sinusoides mais de produits de battement donc il faudrait se baser sur la "multiplication" de signaux entre eux ..
Ex : sin(a).sin(b) = 1/2(cos (a-b)-cos (a+b))
Là on a les battement somme et différence c'est le plus simple des cas ...
A plus

[Gwinver]

Bonjour.

Faute d'avoir une solution simple pour représenter en une seule formule la somme des sinus, il faudrait essayer dégrossir en se faisant une représentation de la somme.
Manifestement, comme déjà remarqué, il y a des signaux à la même fréquence. On sait que deux sinus de mmê fréquence donnent une sinusoïde.
La mise en tableau de la liste du post #23 devrait permettre un premier tri.
Dans ce tableau, il faut reporter les sinus en fonction de leur fréquence.
Puis faire la somme des sinus de même fréquence.
Ensuite, il peut être bon de faire un diagramme du type spectre, c'est à dire reporter les amplitudes en fonction de leur fréquence (fréquence sur l'axe des x, amplitude sur l'axe des y).
Ensuite, il faudrait déterminer s'il existe une relation entre les fréquences, par exemple toutes les fréquences multiples ou sous multiple d'une même valeur.
Une telle relation pourrait permettre de simplifier un calcul éventuel.

[invite51d17075]

Oui, c'est aussi la démarche que j'imaginais en la proposant indirectement , mais tu l'as complété.
concernant les fréquences , on peut remarquer ( cela aide un peu (*) ) , qu'elle sont en multiple de 4, de la plus basse à la plus haute.

(*) si on souhaite obtenir une seule équation finale. ce qui n'est pas forcement la meilleure idée ( tout dépend du but de l'opération )
la présentation avec 4 sinusoïdes d'amplitudes peut être assez différentes est certainement plus parlante pour décrire le spectre.

[invite51d17075]

Il serait facile de faire une simu, mais il faudrait être sûr des valeurs.
je suppose que les fréquences sont bien en Herz ( d'env 15 à 1000 ) , à confirmer.
des déphasages ( en angles ? ) de 15xxxx,xxxxxx ????

[Gwinver]

Bonsoir.

Pour suivre la réflexion de Ansset:

Les fréquences:
Il est d'usage de parler de pulsations qui s'expriment, comme cela a été fait plus haut en wt. Avec w = 2 Pi f avec f en Hz.
Il faudrait donc confirmer la forme de la fréquence.
Il faut aussi déterminer si le déphasage est en degrés ou radians. Enfin, comme remarqué plus haut, il est possible que les déphasages soient comptés par rapport à une origine, par exemple le point d'émission du son. Il faudrait alors retrancher cette effet de propagation pour arriver à des écarte de phase plus simples à manipuler.

[Patrick_91]

Bonsoir,

je suppose que les fréquences sont bien en Hertz ( d'env 15 à 1000 ) , à confirmer.

Non c'est un récepteur à ultrasons donc peut être 15 kHz à 1000 kHz peut être ?, pour la phase , il faudra peut être retrancher n fois pi de chaque valeur de façon a retrouver un angle <pi.
Mais la chose qui me choque est celle qui consiste a calculer la somme de sinusoides (certaines à la même fréquence , certainement des échos avec des phases différentes) d'autres a des fréquences différentes , mais la "somme de tout ceci " ne donnera rien de plus que les raies présentes a l'entrée du récepteur.
S'il y a des produits de battement, ceux ci sont provoquées certainement par la non linéarité de l'ampli d'entrée ou bien par l non linéarité de échantillonneur et d'un battement avec la fréquence d’échantillonnage ou de mélange s'il y en a ... qu'en pensez vous ?
A plus

[invite51d17075]

Pour les ultra-sons, tu as peut probalement raison, mais je préfère attendre confirmation ( à moins qu'il l'ait dit plus haut ? )
pour l'angle, pareil : en radians ou en degrés ?, et dans tout les cas il faut ramener le décalage entre 0 et 2pi , et non entre 0 et pi.
concernant le calcul :
je n'ai vu que 4 fréquences diff, ce qui donne ( même par tableur ) 4 sinusoïdes ( une pour chaque fréquence ) avec leur propre amplitude et déphasage.
ces fréquences sont d'ailleurs proportionnelles

je ne sais pas répondre à ta dernière question !
je ne sais même pas si c'est ce qui est recherché.

[Patrick_91]

Hello,
Et pan sur le bec , je m'étais imaginé un cercle de pi radians !! "pitoyable" !!!!
Pour le reste oui l'émission d'ultra sons (transducteurs piezzo) comme la RF n'est pas exempte d'harmoniques.
En cas de passage dans un ampli non linéaire puis un bon mélange avec la fréquence d'échantillonnage, cela doit créer une foret de raies d'origine inconnues .. (plus hautes et plus basses en fréquence)
Faut cerner l'objet de la recherche si non on peut faire plein de calculs qui ne serviront pas ...
A plus

[invite94d79e09]

je t'ai donné une formule pour l'addition d'ondes de même fréquence , pas de même amplitude, mais si certaines sont de même amplitudes, cela simplifie les calculs ou programmes.
je n'ai pas regardé si il y avait moins de 4 amplitudes différentes.

de toute façon, à la fin il te restera qcq ondes différentes ( 4 avec mon approche )
et je t'ai aussi donné la formule pour additionner 2 ondes qcq.
ensuite, pourquoi veux tu absolument que ce soit "simple".

ps : il y a effectivement peu d'amplitudes différentes , donc le regroupement est "au choix".

D'accord je vais me débrouiller avec ça merci. Ce n'est pas que je voulais que ce soit "simple" mais à lorsque j'aurai additionné deux ondes quelconques je ne pourrai plus en additionner une troisième (si je ne m'abuse) ?

[invite51d17075]

D'accord je vais me débrouiller avec ça merci. Ce n'est pas que je voulais que ce soit "simple" mais à lorsque j'aurai additionné deux ondes quelconques je ne pourrai plus en additionner une troisième (si je ne m'abuse) ?

je ne sais pas ce que tu comptes faire.
la méthode qui a été suggérée consiste à additionner d'abord les ondes de même fréquence, et là tu peut continuer à les additionner autant que tu veux , tu aura à la fin une seule onde de cette même fréquence qui regroupe toutes les autres.
( je t'ai donné la formule dans le fil pour l'addition de deux , et tu peux ensuite en rajouter une autre à chaque étape)
il te restera à la fin 4 ondes sinusoïdales simples d'amplitudes diff.
ensuite je(nous) ne sais(savons) pas quel est ton but !!

[invite94d79e09]

Les harmoniques ne sont pas à prendre en compte car on essaie de dégager un expression analytique (voire suite)
Le déphasage est en radians je ne l'ai pas ramené sur l'intervalle 0-2pi par facilité de calcul et parce que pour moi ça revenais un peu au même non (pour ce que je veux bien sûr).
Les fréquences j'ai pris comme départ 1 Hz par défaut, comme je l'ai dit c'est plus la méthode qui m'intéresse, mais je vais réviser (demain) les autres calculs car les autres fréquences me paraissent assez disproportionnées

Faut cerner l'objet de la recherche si non on peut faire plein de calculs qui ne serviront pas ...

Ok bon je voulais éviter ça parce que on va sûrement partir trop loin mais bon j'essaie de vous expliquer en gros : il s'agit de reproduire le système de détection d'ondes gravitationnelles LIGO et VIRGO en utilisant des ondes (ultra)sonores au lieu de lasers. On a donc un montage du type Michelson avec du son. Bien sûr notre ambition n'est pas de détecter des ondes gravitationnelles mais de montrer l'extrême précision de cette technique. Nous voudrions pousser encore plus loin notre montage en prenant en compte la réflexion partielle (mais qui des fois fait plusieurs "tours" de circuit) du son sur le récepteur et sur l'émetteur. Pour l'instant le programme simule la réception de ces multiples ondes réfléchies lorsque la vitesse d'un miroir est constante (1 m/s) et l'autre immobile. L'intérêt d'obtenir à la fin une formule finale du type a*sin(wt+p) est que grâce à l'expression de l'enveloppe (donc a?), on pourra déterminer à quel distance le montage est le plus performant, puis caractériser précisément les signaux mesurées etc
Voilà j'imagine que ce que je dis est assez nébuleux mais j'ai fait de mon mieux pardonnez mon impéritie

[Patrick_91]

Bonsoir,

Bon on commence a voir peut etre un peu , question comment sont enregistrés les signaux dont on a les amplitudes, phases et Fréquence ?
deuxieme question pourquoi vouloir faire "la somme" des signaux ?
A PLUS

[invite51d17075]

Les harmoniques ne sont pas à prendre en compte car on essaie de dégager un expression analytique (voire suite)
Le déphasage est en radians je ne l'ai pas ramené sur l'intervalle 0-2pi par facilité de calcul et parce que pour moi ça revenais un peu au même non (pour ce que je veux bien sûr).
Les fréquences j'ai pris comme départ 1 Hz par défaut, comme je l'ai dit c'est plus la méthode qui m'intéresse, mais je vais réviser (demain) les autres calculs car les autres fréquences me paraissent assez disproportionnées

qu'entends tu par "les harmoniques" ne sont pas à prendre compte ?
tu as bien 4 fréquences , même avec beaucoup plus d'ondes détectées.
et par ailleurs , tu dis partir de 1Hz , mais alors correspondent les chiffres de
1000,250, 62,5 et 15,265 , ce ne sont pas des Herzts ( pas pour des ultra sons ) ?

L'intérêt d'obtenir à la fin une formule finale du type a*sin(wt+p)

Ce qui n'est possible que si le montage est tel que toutes les ondes ont la même fréquence.

[invite94d79e09]

Bonsoir,

Bon on commence a voir peut etre un peu , question comment sont enregistrés les signaux dont on a les amplitudes, phases et Fréquence ?
deuxieme question pourquoi vouloir faire "la somme" des signaux ?
A PLUS

Alors la façon dont est enregistrée les signaux c'est par un récepteur à ultrasons classique puis une carte d'acquision vers Latis... Mais au pire on peut mettre de côté l'échantillonnage et les harmoniques si c'est la partie analytique qui m'intéresse.
Pourquoi je fais la somme ? Ben toutes ces ondes vont arriver sur le récepteur en même temps donc il va les additionner non ?
En au final ce qui m intéresse c'est l'enveloppe, donc l'expression de l'amplitude de l'onde final , pas le '' signal porteur '' à l'intérieur, comme un peu le fonctionnement d'une radio AM quoi...

[Patrick_91]

Hello,

Oui nous y voila, une carte d'acquisition (conditionneur / ampli) et Echantilonnage,

Mais au pire on peut mettre de côté l'échantillonnage et les harmoniques

Eh ça c'est un vœux un souhait mais le récepteur crée des signaux qui n'existent pas entre l'émetteur et le récepteur a cause de la non linéarité de l'ampli et du battement avec la fréquence d’échantillonnage .. c'est pour cela qu'on peut trouver des signaux non attendus ... on en veut pas mais ils sont là parce que la manip les a créés.
Quand je mesure, je perturbe ...
A plus

[invite94d79e09]

qu'entends tu par "les harmoniques" ne sont pas à prendre compte ?
tu as bien 4 fréquences , même avec beaucoup plus d'ondes détectées.
et par ailleurs , tu dis partir de 1Hz , mais alors correspondent les chiffres de
1000,250, 62,5 et 15,265 , ce ne sont pas des Herzts ( pas pour des ultra sons ) ?


Ce qui n'est possible que si le montage est tel que toutes les ondes ont la même fréquence.

Les autres fréquences proviennent du Doppler qu'il se produit sur le miroir qui s'éloigne (j'avais posé une question dessus dans une autre discussion) , mais je les recalcule demain...
Les fréquences réelles seront plus élevées, là j'ai pris 1Hz au départ mais je vous le fait pour 40 kHz demain si vous le souhaitez...

Eh ça c'est un vœux un souhait mais le récepteur crée des signaux qui n'existent pas entre l'émetteur et le récepteur a cause de la non linéarité de l'ampli et du battement avec la fréquence d’échantillonnage .. c'est pour cela qu'on peut trouver des signaux non attendus ... on en veut pas mais ils sont là parce que la manip les a créés.
Quand je mesure, je perturbe ...

Je veux juste dire en parlant d'harmoniques etc que je ne prends pas en compte pour l'instant les contraintes techniques, faut déjà utiliser la bonne théorie, puis prendre en compte les problèmes liés au matériel : j'essaie de trouver une méthode pour caractériser mon signal final en fonction de la fréquence initiale et de la vitesse du miroir (et autres) pour pouvoir (entre autres) ensuite faire l'inverse et trouver le déplacement du miroir en fonction du signal reçu.

[invite51d17075]

ouais, tout ça ne répond pas vraiment aux questions de Patrick,
notamment sur le pourquoi de l'addition des ondes.
il faudrait mieux comprendre ton montage, et tu ne peux pas faire fi des "contraintes techniques" comme tu le dis.
car il semblent bien que ton système crée des harmoniques non désirables.

par ailleurs , je suis surpris de voir autant de détections d'amplitude 0,015625 et de fréquence 15,625 . ( multiple exact )
et qu'entend tu par ton 1 Hz, c'est la rotation du système ?
enfin les ondes sont elles reçues au même instant ? ( je ne parle pas de leur récupération )

désolé d'être un peu paumé dans la compréhension de ton expérience.
et dans l'attente d'une meilleure compréhension, il me semble prématuré de faire des calculs d'additions brutales d'ondes

[invite94d79e09]

La première étape c'était celle-ci :
Déplacement michelson.png
Sauf que nous c'est avec du son...Donc on obtient ça :
Enveloppe.png
Qui est le résultat de l'addition de deux sinus dont l'un a une fréquence légèrement différente de par l'effet doppler du miroir qui se déplace (battement)
Maintenant voici le schéma qui ressemble le plus à ce que l'on fait actuellement:
universe-02-00022-g011-550.jpg
Toujours avec un miroir qui se déplace...En nommant les longueurs a (pour le bras "émetteur"), b(pour le miroir qui se déplace), c(pour le miroir fixe) et d (pour le récepteur), on observe pour un premier "tour" en partant de l'émetteur quatre trajets différents, donc quatre ondes différentes :
abbd (reçue), accd(reçue), abba(non-mesurée), acca(non-mesurée)
Ces ondes vont à leur tour se réfléchir sur le miroir émetteur (et refaire le tour ci-dessus) ou sur le miroir récepteur (dbba ou dcca puis "tour ci-dessus", ou dbbd ou dccd puis re-ce tour-ci)
A chaque tour leur amplitude est divisée par 4 donc je définis un seuil à partir duquel elles sont négligeables...
Je voudrais prévoir la courbe bleue ci-dessus avec la configuration miroirs sur le récepteur et l'émetteur...
Mais j'ai l'impression que je vais trop loin dans les détails...
Ce qui me frustre c'est qu'à la base je voulais juste une formule pour additionner plusieurs sinus différents...Mais bon je suis peut-être un peu naïf de croire qu'il me suffirait de remplacer de calculer et hop...

[phuphus]

Bonjour,

Alors la façon dont est enregistrée les signaux c'est par un récepteur à ultrasons classique puis une carte d'acquision vers Latis...

Donc je réitère #32 : tout en Matlab, calcul en discret de chaque signal et addition en temporel, et transformée de Hilbert pour l'enveloppe. Tu n'as pas spécialement à connaître la théorie, juste à appliquer la fonction "hilbert" et à superposer le tracé avec ton addition temporelle pour constater que cela te donne bien l'enveloppe.

[invite51d17075]

bjr, j'ai regardé tes déphasages.
ils sont quasi tous multiples de 2pi sauf qcq uns en 2kpi+pi/2
ce qui simplifie pas mal l'addition , si addition il doit y avoir.
en revanche je vois qu'il y a des groupes de mêmes valeurs: amplitude, fréquence , déphasage ?????
est ce que le système bégaye, ou est ce possible avec le système tel qu'il est conçu ?

du coup , je ne suis pas certain que sortir la grosse armada mathématique soit absolument indispensable.
toute les ondes se regroupent , d'abord par fréquences , puis ensuite facilement car elles sont en phase ( sauf qcq unes )
à condition d'éviter d'en compter plusieurs identiques par erreur !??

[invite94d79e09]

Tout en Matlab, calcul en discret de chaque signal et addition en temporel, et transformée de Hilbert pour l'enveloppe. Tu n'as pas spécialement à connaître la théorie, juste à appliquer la fonction "hilbert" et à superposer le tracé avec ton addition temporelle pour constater que cela te donne bien l'enveloppe.

Ok ça me paraît le plus approprié je pars sur ça merci...
Pour les intéressés j'ai recalculé pour 40 000 Hz :

[[0.25, 39766.08187134503, 1002370.1472506381], [0.25, 40000, 1005309.6491487338
], [0.0625, 39533.531684962894, 1998878.4807746643], [0.0625, 39533.531684962894
, 1998878.4807746643], [0.0625, 39766.08187134503, 2007679.796399372], [0.0625, 
39766.08187134503, 2007679.796399372], [0.015625, 39302.34144119118, 2989559.280
184515], [0.015625, 39302.34144119118, 2989559.280184515], [0.015625, 39302.3414
4119118, 2989559.280184515], [0.015625, 39302.34144119118, 2989559.280184515], [
0.015625, 39533.531684962894, 3004188.1299233977], [0.015625, 39533.531684962894
, 3004188.1299233977], [0.015625, 39533.531684962894, 3004188.1299233977], [0.01
5625, 39533.531684962894, 3004188.1299233977], [0.0625, 39533.531684962894, 1998
878.4807746643], [0.0625, 39766.08187134503, 2001800.7926031803], [0.015625, 393
02.34144119118, 2989559.280184515], [0.015625, 39302.34144119118, 2989559.280184
515], [0.015625, 39533.531684962894, 2998309.1261272063], [0.015625, 39533.53168
4962894, 2998309.1261272063], [0.0625, 39766.08187134503, 2007679.796399372], [0
.0625, 40000, 2010619.2982974676], [0.015625, 39533.531684962894, 3004188.129923
3977], [0.015625, 39533.531684962894, 3004188.1299233977], [0.015625, 39766.0818
7134503, 3012989.445548106], [0.015625, 39766.08187134503, 3012989.445548106], [
0.015625, 39533.531684962894, 2998309.1261272063], [0.015625, 39766.08187134503,
 3001231.4379557227], [0.015625, 39533.531684962894, 2998309.1261272063], [0.015
625, 39766.08187134503, 3001231.4379557227], [0.015625, 39766.08187134503, 30129
89.445548106], [0.015625, 40000, 3015928.9474462015], [0.015625, 39766.081871345
03, 3012989.445548106], [0.015625, 40000, 3015928.9474462015], [0.015625, 39302.
34144119118, 2989559.280184515], [0.015625, 39533.531684962894, 2992464.50247017
43], [0.015625, 39533.531684962894, 2998309.1261272063], [0.015625, 39766.081871
34503, 3001231.4379557227], [0.015625, 39533.531684962894, 3004188.1299233977], 
[0.015625, 39766.08187134503, 3007110.441751914], [0.015625, 39766.08187134503, 
3012989.445548106], [0.015625, 40000, 3015928.9474462015]]

à condition d'éviter d'en compter plusieurs identiques par erreur !??

Non non c'est normal si il y en a plusieurs identiques...

[Gwinver]

Bonsoir.
Comme il s'agit d'un interféromètre, il est possible que tout se soit compliqué pour rien.

Normalement, le récepteur d'un interféromètre ne reçoit que deux signaux, le chemin de référence et le chemin sous test, tous deux à la même fréquence, et il est possible de faire en sorte que les deux amplitudes soient identiques. Dans le cas complet, les deux signaux risquent d'être perturbés, mais pour débuter il est possible de ne considérer qu'un seul chemin perturbé.
Il ne reste que deux variables : la phase d'un signal par apport à l'autre, et un éventuel décalage de fréquence lié au Doppler.
Le principe est de détecter des déplacements de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde utilisée.
Dans le cas présent, il faudrait vérifier que tous les signaux issus du récepteur soient des signaux liés à la manip et non pas des artefacts liés à l'environnement. En principe, on connaît le signal émis, en l'absence d'évènement à détecter, seule cette fréquence est reçue, les autres signaux sont des artefacts.
Pour comprendre ceci, il faudrait commencer par une mesure en l'absence de mouvement, et éliminer les signaux de faible amplitude, ou en identifier l'origine pour se soustraire à leur influence.
Dans le cas de Ligo et Virgo, la manip est tant que faire se peut isolée des vibrations locales. Puis, des systèmes de traitement de signal diminuent autant que faire se peut les bruits ambiants.
Ici, il faudrait arriver à passer ces deux étapes avant de se lancer dans une manip complète.
D'abord identifier les signaux parasites et éliminer ceux issus de sources sonores ambiantes et de vibrations parasites.

Attention, le Doppler n'intervient que dans le cas de mouvements assez rapides, par ailleurs, dans ce cas, le mouvement du réflecteur est alternatif, il y aura donc un Doppler de sens variable.
Ici, il serait bien de tenter une modélisation en supposant un oscillation du réflecteur autour de sa position initiale.

[invite94d79e09]

Merci Gwinver
Ces pré-requis (élimination du signal etc) sont vérifiés, comme je l'ai dit le montage avec seulement 2 signaux reçus est au point, mon but et maintenant de prendre en compte les réflections des signaux sur le récepteur et l'émetteur... Je ne voulais pas parler du montage pour éviter de se perdre dessus mais se centrer sur '' comment on additionne plusieurs ondes sinusoïdales différentes '' mais merci quand même mieux vaut être sûr...