Addition d'ondes sinusoïdales

[Outini]

Bonjour !
Entrant en terminale S à la rentrée, je bosse actuellement sur un projet de physique où la situation m'a amené à concevoir un programme pour simuler l'expérience. A la fin de celui-ci, j'obtiens une liste d'ondes sinusoïdales d'amplitudes, de fréquences et de déphasages différents : mon objectif est de les additionner. Quelle formule dois-je donc utiliser ?
J'imagine que je vais obtenir un phénomène de battement et donc une fonction à la fin du type " sin(x)*sin(omega*t+phi) " non ?

Merci d'avance, ô grands hiérophantes de la trigonométrie, de m'initier à l'essence diaphane de l'Univers.
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[jacknicklaus]

mon objectif est de les additionner. .

bonjour,

non, ca c'est pas ton objectif. du moins, pas pour un projet de physique. C’est juste le moyen que tu as imaginé. C'est quoi ton réel objectif, concernant cette liste d'ondes ?

[Outini]

Tout d'abord merci d'avoir répondu si rapidement,

Mon objectif final pour le reformuler est de simuler ce qu'il se passe dans mon montage, en l'occurrence (pour simplifier) plusieurs ondes sinusoïdales interfèrent, mon récepteur captera donc une onde f, qui sera le résultat de l'addition des ondes qui la composent. Il se trouve que mon programme calcule l'amplitude, la fréquence et le déphasage de chacune de ces '' sous-ondes '', mon objectif est d'avoir l'équation de l'onde finale f à partir des paramètres de ces différentes ondes.

Peut-être est-ce finalement plus un problème d'ordre mathématique ?

[jacknicklaus]

Il se trouve que mon programme calcule l'amplitude, la fréquence et le déphasage de chacune de ces '' sous-ondes ''

Pour celà tu fais une transformée de Fourier, je suppose ?

Si c'est la cas, ton résultat (somme de fonctions sinusoidales) EST la forme finale, je ne crois pas qu'il soit possible, sauf dans des cas particuliers, de simplifier plus avant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwinver]

Bonsoir.

S'il s'agit de deux ondes, la somme peut se calculer de façon arithmétique.Par contre, s'il s'agit de beaucoup d'ondes, il est à craindre que le somme ne s'exprime d'une façon très (trop?) complexe.
Le mieux est donc de faire le calcul pour deux ondes et d'essayer ensuite pour trois.
Une autre possibilité pour visualiser le résultat est d'utiliser un software genre Matlab ou Octave, il est aussi possible d'essayer avec un tableur, mais c'est un peu plus laborieux.

[Outini]

Pour celà tu fais une transformée de Fourier, je suppose ?

Je ne vous cache pas que je n'ai pas le niveau pour cela...

S'il s'agit de deux ondes, la somme peut se calculer de façon arithmétique.

Ouiii voilà c'est ça qui m'intéresse (je pense qu'il faut que je le fasse onde par onde : la somme puis une onde, puis cette somme ajoutée à une autre onde etc ça se programme facilement une fois qu'on a la formule adéquate...). Pour visualiser je le fais directement directement en python, je me débrouille, l'idéal pour l'afficher étant d'obtenir au final une seule fonction (même si elle est complexe).

Merci !

[ansset]

Ouiii voilà c'est ça qui m'intéresse (je pense qu'il faut que je le fasse onde par onde : la somme puis une onde, puis cette somme ajoutée à une autre onde etc ça se programme facilement une fois qu'on a la formule adéquate...). Pour visualiser je le fais directement directement en python, je me débrouille, l'idéal pour l'afficher étant d'obtenir au final une seule fonction (même si elle est complexe).

Pour deux ondes c'est facile puisque
sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) ( si amplitude constante )
avec a=w₁t+t₁ et b=w₂t+ t₂
dès que tu en rajoutes une troisième cela devient compliqué à écrire analytiquement.
j'ai parcouru le fil rapidement, et je ne sais pas vraiment le but que tu poursuis.
si c'est analytique sur un nb qcq d'ondes , il faut passer par les séries de Fourier,
si le but est juste un programme , il suffit d'additionner les fonctions et "regarder" le résultat.

[Outini]

Pour deux ondes c'est facile puisque
sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) ( si amplitude constante )
avec a=w1t+t1 et b=w2t+ t2
dès que tu en rajoutes une troisième cela devient compliqué à écrire analytiquement.
j'ai parcouru le fil rapidement, et je ne sais pas vraiment le but que tu poursuis.
si c'est analytique sur un nb qcq d'ondes , il faut passer par les séries de Fourier,
si le but est juste un programme , il suffit d'additionner les fonctions et "regarder" le résultat.

Ok alors je ne me suis peut-être pas exprimé clairement et le problème est peut-être trop problématique...

J'ai au départ plusieurs ondes de paramètres différents (donc la formule avec même amplitude ne marche pas) :
f1=a1sin(w1t+p1)
f2=a2sin(w2t+p2)
f3=a3sin(w3t+p3)
...

Je voudrais une relation qui me donne l'addition des deux premiers sinus en fonction de a1, a2, w1, w2, p1 et p2 :
f'=f1+f2 où f' est de la forme a'sin(w't+p')
Ainsi je pourrai effectuer f''=f'+f3 etc

Cela me semble possible parce qu'il se produit un phénomène de battement : a' l'amplitude sera seulement elle-même un sinus mais ce n'est pas dérangeant dans mon cas...

Dites-moi si je ne suis pas clair sur un point...

[jacknicklaus]

S'il s'agit de deux ondes, la somme peut se calculer de façon arithmétique.

prenons un exemple. Que proposes tu pour a.sin(x) + b.sin(y) ?

[jacknicklaus]

Ok alors je ne me suis peut-être pas exprimé clairement et le problème est peut-être trop problématique...

J'ai au départ plusieurs ondes de paramètres différents (donc la formule avec même amplitude ne marche pas) :
f1=a1sin(w1t+p1)
f2=a2sin(w2t+p2)
f3=a3sin(w3t+p3)
...

Je voudrais une relation qui me donne l'addition des deux premiers sinus en fonction de a1, a2, w1, w2, p1 et p2 :
f'=f1+f2 où f' est de la forme a'sin(w't+p')

impossible.

[Gwinver]

Bonsoir.

Il faut relire le post de Ansset (#7):

Pour deux ondes c'est facile puisque
sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) ( si amplitude constante )
avec a=w1t+t1 et b=w2t+ t2

La somme deux sinus n'est pas un simple sinus, mais un produit sin x cos qui mélange les fréquences et les phases. Et ici c'est simpeel car les deux amplitudes sont égales.
Ajouter un troisième sinus devient très compliqué.

[jcolaux]

Bonsoir,
personnellement, je pense que le plus simple, si tu veux simplement visualiser l'allure de l'onde résultante, est d'utiliser un tableur. C'est aussi une façon simple de voir rapidement l'effet d'une modification de fréquence ou d'amplitude d'un des signaux.
Bon travail et bon courage!

[Outini]

Ok alors j'ai ça :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Battem...A9monstrations
qui montre qu'il est possible (avec la même amplitude) d'obtenir une forme a*cos(wt+p) ... (où "a" est un sinus oui mais ce n'est pas un problème car on peut réutiliser ce résultat pour la somme avec la prochaine onde)
Il me faudrait le même type de relation en prenant en compte l'amplitude (si ça peut aider toutes les amplitudes que j'obtiendrai seront des multiples du type : 1 ; 0.25 ; 0.0625 ; etc)
Si on peut le faire avec deux fonctions, alors je pourrai le faire avec toutes à l'aide de la programmation...

[Outini]

Bonsoir,
personnellement, je pense que le plus simple, si tu veux simplement visualiser l'allure de l'onde résultante, est d'utiliser un tableur. C'est aussi une façon simple de voir rapidement l'effet d'une modification de fréquence ou d'amplitude d'un des signaux.
Bon travail et bon courage!

Merci oui je ne choisit pas python par plaisir mais parce que le programme derrière est assez conséquent, trop pour un tableur...Mais un tableur ne résoudrait pas le problème : je ne saurais pas quelle formule taper non plus (à moins de le faire point par point je l'ai déjà tenté par programmation mais le temps de calcul devient considérable)

[ansset]

tu peux aussi simuler directement une simu avec wolfram alpha.
ici juste 3 sinus de fréquences et amplitudes diffs ( même avec la même phase pour faire simple )
pas grand chose à voir avec une seule sinusoïdale..
http://www.wolframalpha.com/input/?i...(2t)%2B4sin(4t)

[ansset]

j'en rajoute une pour voir comment tout ça devient encore moins sinusoïdal
http://www.wolframalpha.com/input/?i...(4t)%2Bsin(10t)

[Outini]

OK oui je vois... Ce que je voudrais c'est faire la même chose que sur le site...comme je le vois ce n'est effectivement pas sinusoïdal donc il est vain de chercher une expression du type asin(wt+p) où a est seulement un sinus ...Mais si le site y arrive, il y a bien une méthode non ?

[ansset]

OK oui je vois... Ce que je voudrais c'est faire la même chose que sur le site...comme je le vois ce n'est effectivement pas sinusoïdal donc il est vain de chercher une expression du type asin(wt+p) où a est seulement un sinus ...Mais si le site y arrive, il y a bien une méthode non ?

quel site ?

[Outini]

Celui que vous m'avez envoyé : wolfram alpha...

[ansset]

wolfram utilise plusieurs méthodes dont le calcul formel.
plutôt difficile à implémenter.
dans le cas de traçage de courbe , le mieux ( car le plus simple ) que tu puisses faire est simplement d'additionner les termes:
avec une discrétisation de t suffisante.

bon courage si tu cherches une solution analytique générale. ( mais pourquoi pas )
il te faut passer par les séries de Fourier évoquées plus haut.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Série_de_Fourier

[Outini]

D'accord merci je comprends oui je vais additionner les termes alors... Dommage l'expression de la courbe finale m'aurait bien été utile pour la suite mais je vais tenter de faire sans... À moins que quelqu'un ne me montre comment faire avec les séries de Fourier.
Mais vous m'avez déjà bien aidé merci à tous !

[f6bes]

Tout d'abord merci d'avoir répondu si rapidement,

Mon objectif final pour le reformuler est de simuler ce qu'il se passe dans mon montage, en l'occurrence (pour simplifier) plusieurs ondes sinusoïdales interfèrent, mon récepteur captera donc une onde f, qui sera le résultat de l'addition des ondes qui la composent. Il se trouve que mon programme calcule l'amplitude, la fréquence et le déphasage de chacune de ces '' sous-ondes '', mon objectif est d'avoir l'équation de l'onde finale f à partir des paramètres de ces différentes ondes.

Peut-être est-ce finalement plus un problème d'ordre mathématique ?

Bjr à toi,
On ne sait rien de la sélectivité du.."récepteur" !
On ne sait rien sur l'écart en fréquence de ces différentes ondes ! (essaye donc d " d'additionner" 100khz et 10 Mhz )
On ne sait rien du déphasage éventuel entre les ondes.

Ca fait beaucoup de choses...inconnues.
Bonne journée

[Outini]

On ne sait rien de la sélectivité du.."récepteur" !

C'est un récepteur à ultrasons classique du labo du lycée...Mais cela nous importe peu car je cherche pour l'instant à étudier le phénomène sans ces caractéristiques techniques, de façon plutôt mathématique, c'est pour ça que je me demandais si cette discussion n'avais pas plutôt sa place dans la rubrique mathématique...

On ne sait rien sur l'écart en fréquence de ces différentes ondes ! (essaye donc d " d'additionner" 100khz et 10 Mhz )
On ne sait rien du déphasage éventuel entre les ondes

Je peux vous donner un exemple de liste type des ondes brute avec en [0] l'amplitude, en [1] la fréquence et en [2] le déphasage...

[[0.25, 250.0, 15707.963267948964], [0.25, 1000, 25132.741228718343], [0.0625, 6
2.5, 19634.954084936206], [0.0625, 62.5, 19634.954084936206], [0.0625, 250.0, 40
840.70449666731], [0.0625, 250.0, 40840.70449666731], [0.015625, 15.625, 20616.7
01789183015], [0.015625, 15.625, 20616.701789183015], [0.015625, 15.625, 20616.7
01789183015], [0.015625, 15.625, 20616.701789183015], [0.015625, 62.5, 44767.695
313654556], [0.015625, 62.5, 44767.695313654556], [0.015625, 62.5, 44767.6953136
54556], [0.015625, 62.5, 44767.695313654556], [0.0625, 62.5, 19634.954084936206]
, [0.0625, 250.0, 21991.14857512855], [0.015625, 15.625, 20616.701789183015], [0
.015625, 15.625, 20616.701789183015], [0.015625, 62.5, 25918.13939211579], [0.01
5625, 62.5, 25918.13939211579], [0.0625, 250.0, 40840.70449666731], [0.0625, 100
0, 50265.48245743669], [0.015625, 62.5, 44767.695313654556], [0.015625, 62.5, 44
767.695313654556], [0.015625, 250.0, 65973.44572538565], [0.015625, 250.0, 65973
.44572538565], [0.015625, 62.5, 25918.13939211579], [0.015625, 250.0, 28274.3338
82308136], [0.015625, 62.5, 25918.13939211579], [0.015625, 250.0, 28274.33388230
8136], [0.015625, 250.0, 65973.44572538565], [0.015625, 1000, 75398.22368615503]
, [0.015625, 250.0, 65973.44572538565], [0.015625, 1000, 75398.22368615503], [0.
015625, 15.625, 20616.701789183015], [0.015625, 62.5, 21205.750411731104], [0.01
5625, 62.5, 25918.13939211579], [0.015625, 250.0, 28274.333882308136], [0.015625
, 62.5, 44767.695313654556], [0.015625, 250.0, 47123.8898038469], [0.015625, 250
.0, 65973.44572538565], [0.015625, 1000, 75398.22368615503]]

Mais bon...vous sous-entendez que la relation ne fonctionnerait qu'avec un certain écart entre les fréquences ?

[f6bes]

Remoi,
Le probléme de départ, c'est qu'on ne sait PAS de quel types d'ondes il s'agit ? Ondes Electromagnétiques OU mécaniques ?
Ca fait tout de meme une sacré différence.
Toi tu sais de quoi il retourne exactement, le lecteur...n'en sait strictement rien.

Etant surtout "fan" des OEM, je suis parti sur cette hypothése. (pas la bonne)
Bonne journée

[ansset]

bon vu ton tableau , tu dois pouvoir faire "qcq chose ".
je vois que tu as des ondes par paquet d'ondes de même fréquence ( même déphasées et d'amplitude diff ):15,625 ; 62,5 ; 250 et 1000
l'addition de 2 ondes de ce type donne une onde sinusoïdale simple :
http://w3.gel.ulaval.ca/~lehuy/gel16132/som_sinus.pdf
donc il en va de même pour l'addition de n ondes de même fréquence.
tu peux donc déjà regrouper toutes tes ondes en 4 ondes de fréquences diff.

[yvon l]

Bonjour,
Ton problème me fait penser à la numérotation de type DTMF (dual tone multi frequency) utilisé en téléphonie fixe classique.
A chaque touche d'un téléphone correspond à un couple de deux fréquences audibles parmi 8 qui sont émises simultanément (qui s'ajoutent). Par exemple
la touche 1: 1209 hz et 697 hz.
Le problème est de retrouver ces fréquences à la réception.
Voir par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Code_DTMF

[Outini]

bon vu ton tableau , tu dois pouvoir faire "qcq chose ".
je vois que tu as des ondes par paquet d'ondes de même fréquence ( même déphasées et d'amplitude diff ):15,625 ; 62,5 ; 250 et 1000
l'addition de 2 ondes de ce type donne une onde sinusoïdale simple :
http://w3.gel.ulaval.ca/~lehuy/gel16132/som_sinus.pdf
donc il en va de même pour l'addition de n ondes de même fréquence.
tu peux donc déjà regrouper toutes tes ondes en 4 ondes de fréquences diff.

Oui j'avais vu ça sur wikipédia ! https://fr.wikipedia.org/wiki/Battem...AAme_amplitude
Mais à la fin j'obtiens quand même des ondes de fréquences différentes à additionner...Ca simplifie peut-être mais ça ne résoud pas le problème.

Ton problème me fait penser à la numérotation de type DTMF (dual tone multi frequency) utilisé en téléphonie fixe classique.
A chaque touche d'un téléphone correspond à un couple de deux fréquences audibles parmi 8 qui sont émise pour simultanément (qui s'ajoutent). Par exemple
la touche 1: 1209 hz et 697 hz.
Le problème est de retrouver ces fréquences à la réception.
Voir par exemple : https://fr.wikipedia.org/wiki/Code_DTMF

D'accord oui je vois le rapport mais ils n'expliquent pas comment on additionne les deux signals ?

[yvon l]

D'accord oui je vois le rapport mais ils n'expliquent pas comment on additionne les deux signals ?

Pourtant, c'est expliqué dans le paragraphe suivant (voir lien):
Génération des DTMF

[Sethy]

Pour ma part, je suis bien content que l'addition d'ondes sinusoïdales ne donne pas une onde sinusoïdale ...

Sinon radio, disques & concerts seraient bien monotones (au propre comme au figuré d'ailleurs).

[ansset]

Oui j'avais vu ça sur wikipédia ! https://fr.wikipedia.org/wiki/Battem...AAme_amplitude
Mais à la fin j'obtiens quand même des ondes de fréquences différentes à additionner...Ca simplifie peut-être mais ça ne résoud pas le problème.

D'accord oui je vois le rapport mais ils n'expliquent pas comment on additionne les deux signals ?

je t'ai donné une formule pour l'addition d'ondes de même fréquence , pas de même amplitude, mais si certaines sont de même amplitudes, cela simplifie les calculs ou programmes.
je n'ai pas regardé si il y avait moins de 4 amplitudes différentes.

de toute façon, à la fin il te restera qcq ondes différentes ( 4 avec mon approche )
et je t'ai aussi donné la formule pour additionner 2 ondes qcq.
ensuite, pourquoi veux tu absolument que ce soit "simple".

ps : il y a effectivement peu d'amplitudes différentes , donc le regroupement est "au choix".