Résistance entre 2 sphères

[Physs98]

Bonsoir,

J'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre :

Soit 2 sphères métalliques de rayons a et b et distantes de d>>a,b.
On mesure une résistance R entre les sphères, quelle est la
conductivité du milieu entre les 2 sphères ?

Pour ce faire, je suis parti de R = V/I avec V = -∫E.dl et I = ∫J.dS = ∫σE.dS
Pour le calcul de E, j'ai d'abord calculer le champ E1 créé par la première sphère puis le champ E2 de la 2ème sphères puis j'ai j'ai fait E = E1 + E2 en considérant que les sphères ont des charges respectives +Q et -Q
Pour le calcul de I par contre, je ne sais pas trop comment m'y prendre... Pour E j'ai considéré une surface de Gauss, mais pour I je ne sais pas du tout ... Apparemment on peut considérer dans ce cas que I = J*S = σ*E*S mais celà ne me paraît pas du tout intuitif, étant donné que c'est une intégrale sur une surface ouvert

Merci
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[Physs98]

Pour 2 sphères concentriques, c'est plus facile car tout est symétrique et on a même pas besoin de calculer le champ E :

I = ∫J.dS = ∫σE.dS => E = I/σS

En calculant V, on écrit V = ∫E(r) dr = ∫I/σS(r) dr => R = V/I = ∫1/σS(r) dr

Et partout dans les exercices c'est comme ça, on arrive toujours à des simplifications de ce type afin de ne pas êtres obligés de calculer E.


Peut-être la question c'est dans quelles conditions peut-on écrire
I = ∫J.dS = J.S = σ.E.S => E = I/σS :

Merci !

[Resartus]

Bonjour,

Il faut exploiter le fait que d est très grand devant a et b.*

On peut alors utiliser le théorème de superposition, et le potentiel sera la somme de celui des deux sphères isolées dans un milieu infini (ce qu'on peut calculer comme limite de sphères concentriques). Il faudra ensuite prendre en compte que le courant total sortant d'une sphère sera égal à celui rentrant dans l'autre.


*Si on ne faisait pas cette supposition, le fait que les sphères soient métalliques (et donc équipotentielles) rendrait la résolution beaucoup plus difficile. Il me semble même qu'on ne sait pas le résoudre analytiquement, mais seulement par des méthodes numériques

[Physs98]

Ok je vois, merci beaucoup !

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