Seconde quantification

[Sethy]

Bonjour à tous,

Voilà, je suis chimiste et évidemment, nous avons étudié en long et en large l'équation de Schrodinger et ses solutions. Même si, la manière de nous l'enseigner fut fort différente du cheminement historique des découvreurs, il n'en reste pas moins que cette théorie (si on admet les postulats) suit une certaine logique : Equations aux valeurs propres dont les fonctions propres sont liées à des densités de présence, orthogonalité des solutions, etc.

Par contre, tout ce que je lis de la seconde quantification m'apparait comme surgir de nulle part.

Qu'il y ait un opérateur de création qui (si j'ai bien compris) permet soit d'élever une particule d'un état à l'état supérieur (ou faire vibrer une molécule sur un état d'énergie supérieur) ou d'ajouter un photon à un photon déjà existant (émission stimulée en QED), ça je peux le comprendre (tout comme l'existence de l'opérateur "dagger" qui fait l'opération inverse).

Mais par exemple que le produit de ces deux opérateurs redonne (dans le cas de l'oscillateur harmonique quantique) la valeur des niveaux d'énergie (E=(n+1/2) hv) alors ça, ça m'apparait surgir de nulle part.

Plus fondamentalement, je ne vois pas d'où l'idée de seconde quantification vient, ni ce qu'elle apporte concrètement.

J'imagine que la question est vaste, et je ne demande évidemment à quiconque de déballer tout un cours, mais si vous pouviez éclairer ma lanterne, ce serait apprécié.
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[albanxiii]

Bonjour,

La seconde quantification intervient naturellement quand on veut étudier les systèmes avec un nombre variable de particules. Il faut trouver un autre moyen que le moyen habituel (observables comme l'énergie, l'impulsion, etc.) adapté au systèmes comportant un nombre fixe de particules.

Pour faire cela, on commence par définir et construire un espace des états adapté à un nombre variable de particules. Ce sont les espaces de Fock (bon courage pour trouver une définition claire... voir mécanique quantique, tome III par Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë. Jusqu'à maintenant c'est le seul texte où j'ai vu traité ce sujet en détails, tout comme ce qui concerne les systèmes à nombre variable de particules).

Dans cet espace, on fait agir des opérateurs qui permettent de créer / annihiler une particule.
Mais alors si on veut travailler dans cet espace de Fock au lieu de l'espace des états habituels, il faut exprimer les opérateurs habituels dans cette nouvelle base. Il se trouve que cela se fait en fonction des opérateurs de création et d’annihilation. Quand on déroule les calculs, on se retrouve à travailler avec un opérateur qui remplace la fonction d'onde du système monoparticule correspondant. On passe d'une fonction d'onde du système à nombre de particules fixe à un opérateur du système à nombre de particules variable. C'est en gros ce qu'on appelle seconde quantification, dans les grandes lignes.

Une remarque : cela tient la route car on interprète le spectre de certains systèmes comme étant celui de particules identiques et indépendantes, par exemple, oscillateur harmonique ou champ électromagnétique. La notion de photon émerge de ce passage au niveau supérieur d'abstraction et de l'interprétation qu'on en fait.

[Sethy]

Tout d'abord, merci pour ces explications. Je comprends un peu mieux la raison sous-jacente (que je ne voyais pas du tout).

En ce qui concerne l'espace de Fock, les chimistes l'utilisent (mais comme un outil) dans les méthodes de résolution de l'équation Schrodinger étendue aux systèmes polyélectroniques et notamment celle de Hartree-Fock (la fonction d'onde est un proposé comme un "déterminant de Slater" conçu à partir de spin-orbitales).

Je suis assez étonné de retrouver quelque chose que je connaissais sans avoir jamais fait le lien. Aussi, je vois un peu mieux d'où viennent ces notations en vecteur "ket" avec de multiples fonctions d'onde (bien que leur compréhension reste un peu nébuleuse).