Condition suffisante pour avoir un écoulement irrotationnel

[Rafaelle55]

Bonjour,

Sur ce cours : http://www.groupes.polymtl.ca/mec427...Flu2014-4a.pdf
On peut voir à la diapo 138 que si un fluide est non visqueux, alors il est irrotationnel.
Cependant, dans mon cours, il est indiqué que la densité doit être constante (fluide incompressible) et que la viscosité doit être nulle.

Du coup, je ne comprends pas si la condition dans mon cours est trop "forte".
Remarque : peut-être les conditions changent entre 2D et 3D ? Mais je travaille en 2D dans mon cours ...

Bien à vous,
-----

[obi76]

Bonjour,

2D ou 3D c'est le même principe. Détaillons un peu :
- s'il est incompressible et non dilatable, alors sa masse volumique est constante. Donc, via la conservation de la masse, ça veut dire qu'il est à divergence de vitesse nulle. Et de plus s'il n'est pas visqueux, il est à rotationnel nul.
- s'il est compressible ET dilatable (cas assez rare, mais je ne pense pas que vous en soyez là), alors il peut être à divergence non nulle. Pour le rotationnel : imaginez que le fluide se dilate, localement jepense qu'on peut trouver une topologie de dilatation qui entraine un rotationel non nul (à confirmer).
- s'il est compressible, même cas que s'il est dilatable (sauf que la vitesse du son n'est plus infinie : c'est celle du milieu).

En résumé : si incompressible dans votre cours est à prendre dans le sens non dilatable (fort probable), alors il est à rho constant et la question ne se pose pas.

[Rafaelle55]

- s'il est incompressible et non dilatable, alors sa masse volumique est constante. Donc, via la conservation de la masse, ça veut dire qu'il est à divergence de vitesse nulle. Et de plus s'il n'est pas visqueux, il est à rotationnel nul.

Je considère des fluides non dilatables (en fait je n'en jamais parlé, donc je suppose qu'on va commencer par des choses simples). Pour votre explication, j'ai un petit problème. On a la divergence de la vitesse = 0 donc la vitesse est le rotationnel de fonctions de courant qui est définie à une constante près, mais je ne vois pas quoi d'autre faire. Peut être, utiliser l'équation de Navier-Stokes pour prouver que le rotationnel est égal à 0 s'il n'y a pas de forces de viscosité?


Petite anecdote marrante, avant de poster, j'avais fait des recherches et j'étais déjà tombé sur un de vos posts d'il y a 4 ans (Obi76), mais ce n'était pas exactement la même question.

[obi76]

Je considère des fluides non dilatables (en fait je n'en jamais parlé, donc je suppose qu'on va commencer par des choses simples). Pour votre explication, j'ai un petit problème. On a la divergence de la vitesse = 0 donc la vitesse est le rotationnel de fonctions de courant qui est définie à une constante près, mais je ne vois pas quoi d'autre faire. Peut être, utiliser l'équation de Navier-Stokes pour prouver que le rotationnel est égal à 0 s'il n'y a pas de forces de viscosité?

Je vous avoue ne jamais avoir essayé de le démontrer (la méca flu analytique montre très vite ses limites, en fait c'est même plutot l'inverse : il n'y a que quelques cas d'école qu'on sait résoudre, moyennant de très grosses approximations). Je me suis tourné vers la CFD. Donc là je n'ai pas de réponse à vous donner, et j'en suis désolé (de mes loingtains souvenirs il était effectivement question d'une grandeur qui dérive d'un potentiel, et le fait que div(rot) = 0)...

Petite anecdote marrante, avant de poster, j'avais fait des recherches et j'étais déjà tombé sur un de vos posts d'il y a 4 ans (Obi76), mais ce n'était pas exactement la même question.

Comme quoi... vous avez le lien vers la conversation en question (voir si je n'ai pas trop écrit de bêtises) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Rafaelle55]

Je vous avoue ne jamais avoir essayé de le démontrer (la méca flu analytique montre très vite ses limites, en fait c'est même plutot l'inverse : il n'y a que quelques cas d'école qu'on sait résoudre, moyennant de très grosses approximations). Je me suis tourné vers la CFD. Donc là je n'ai pas de réponse à vous donner, et j'en suis désolé (de mes loingtains souvenirs il était effectivement question d'une grandeur qui dérive d'un potentiel, et le fait que div(rot) = 0)...




Comme quoi... vous avez le lien vers la conversation en question (voir si je n'ai pas trop écrit de bêtises) ?

Est-il possible de comprendre "physiquement" l'hypothèse d'incompressibilité? Je ne vois pas trop pourquoi l'absence de viscosité ne suffit pas comme indiqué dans le lien que j'ai donné.


Je n'ai malheureusement plus en tête ce que j'ai écrit pour trouver le topic en question, sorry! :/

[obi76]

Est-il possible de comprendre "physiquement" l'hypothèse d'incompressibilité? Je ne vois pas trop pourquoi l'absence de viscosité ne suffit pas comme indiqué dans le lien que j'ai donné.

Par exemple, si vous faites passer de l'air très rapidement dans une tuyère, il va accélérer, mais il va aussi se compresser. Si vous prenez une chambre de combustion dans un moteur : le piston monte, le volume se réduit : la masse volumique augmente : il se compresse. Ce sont 2 exemples de compression d'un gaz. Si vous regardez l'air qui circule autour d'une voiture, il est "libre" de se déplacer un peu comme il veut, et sa température ne bouge pas, et il est à pression atmosphérique partout. Si vous appliquez l'équation des gaz parfaits(P/rho = RT/M), alors rho ne bouge pas : on peut le considérer comme incompressible.
Après, comme je vous l'ai dit, s'il est non visqueux et compressible, je ne sais pas trop si le rotationnel peut être non nul.

Je n'ai malheureusement plus en tête ce que j'ai écrit pour trouver le topic en question, sorry! :/

Je l'ai retrouvé, c'est bon

[azizovsky]

Est-il possible de comprendre "physiquement" l'hypothèse d'incompressibilité? Je ne vois pas trop pourquoi l'absence de viscosité ne suffit pas comme indiqué dans le lien que j'ai donné.

pour établir les équation d'Euler , on fait l'hypothèse de l'absence de viscosité https://fr.wikipedia.org/wiki/Fluide_parfait , qui donne l'équation de continuité qui sort d'une intégrale triple nulle, i.e , la densité peut dépendre de (x,y,z) , et la dérivée totale de la densité donne :



équation de continuité équivalente à (1):

on remplace la première dans la 2ème : d'où:



si condition d'incompressibilité ........

(1): div( fA)=fdivA+(grad f).A

[Rafaelle55]

Pardon, je me suis mal exprimée.

La question était pourquoi l'hypothèse d'incompressibilité est nécessaire à avoir un écoulement irrotationnel (et pourquoi l'absence de viscosité ne suffit pas), je vois ce que veut dire incompressible!

[azizovsky]

Je crois que obi76 à dit l'important (spécialiste du domaine d'après...).

-Absence de viscosité ---> équations d'Euler .
-incompressibilité --------> div V=0
-pas de tourbillons ------> V=grad(phi) , le champ de vitesse dérive d'un potentiel .(laplacien de phi est nul)