Laudau développement du viriel

[invite21619b8c]

Bonjour,

Mon problème concerne un point précis du raisonnement de Laudau sur le viriel, dans son ouvrage de physique statistique, chapitre "Gaz réel" (ou "gaz non parfait" selon les éditions il me semble), partie 74: "développement suivant les puissances de la densité". On a quelque chose d'analogue sur cette page: http://www.uni-konstanz.de/FuF/Physi...ech/node3.html

On a le grand potentiel Omega = -PV = -T ln( 1 + V*x + ((V*x^2)/2!)*int(exp(-U12/T)dV2 + ((V*x^3)/3!)*int(exp(-U123/T)dV2dV3 ...

où x = exp(mu/T)*LongueurThermale^3
U12, U123, ... les potentiels d'interaction à 2 particules, 3 particules, etc...
dV1, dV2, ... les variables d'intégration sur les volumes accessibles à une particule.

Et à la ligne suivante, Landau "développe cette expression suivant les puissances de x", obtenant:

P = T*( x + int(exp(-U12/T)-1)dV2 + int(exp(-U123/T) - exp(-U12/T) - exp(-U23/T) - exp(-U13/T) + 2)dV2dV3 + ...)

2 questions: qu'est ce qui lui permet de développer en série le logarithme? Une série de Taylor, j'imagine, mais qu'est ce qui la justifie? pourquoi cette quantité est-elle inférieure à 1?
Comment obtient-il cette somme d'exponentielle dans la dernière intégrale?

Merci d'avance (et j'espère que tout ça sera lisible...)
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[ThM55]

Bonjour. C'est simplement le développement de Taylor du logarithme autour de 1:

ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4+...

Landau et Lifchitz écrivent les premiers termes du développement et regroupent les termes de même degré en ksi (ou x dans votre transcription). En effet, quand on élève au carré, il y a des doubles produit qui contribuent au terme en x^3 etc.

[invite21619b8c]

(Au passage, j'ai oubliées les puissances de x dans le dernier développement : P = T*( x + ((x^2)/2!)*int(exp(-U12/T)-1)dV2 + ((x^3)/3!)*int(exp(-U123/T) - exp(-U12/T) - exp(-U23/T) - exp(-U13/T) + 2)dV2dV3 + ...)

Certes, et merci pour la réponse, mais qu'est ce qui nous dit que le terme x dans ln(1+x) est inférieur à 1??

De plus, il n'y a a priori que deux produits contribuants au terme en x^3 :
-(1/2)* V*x * V*((V*x^2)/2!)*int(exp(-U12/T)dV2 = -(V*(x^3)/4)*(V/2)*int(exp(-U12/T)dV2) = -V*(x^3)/(3!)*int(exp(-U12/T) - 3/2 dV2)
et (V^3)*(x^3)= V*(x^3)/(3!)*int(6 dV2dV3)
Bref je ne vois pas d'où sortent deux des 3 exponentielles sur les interaction à 2 particules, ni comment ils obtiennent le +2 ...