Formalisme mécanique quantique

[Soldina]

Bonjour,

J'ai quelques questions sur mon cours concernant la mécanique quantique.

Premièrement :

On se place dans un espace de Hilbert dont une base orthonormée est constituée des vecteurs d'état ket(phi_n,l) avec n, l des entiers naturels. Soit  une observable agissant sur cet espace. On suppose que les ket(phi_n,l) sont les vecteurs propres de cette observable associés aux valeurs propres a_n. Est-ce que l'on peut écrire, connaissant cette hypothèse, que :
 = (somme sur n) des a_n (somme sur l) de ket(phi_n,l)*bra(phi_n,l) ? En gros, je voudrais décomposer  sur la base des ket(phi_n,l) mais je ne suis pas trop sûr. Et réciproquement, est-ce que si j'écris cette décomposition, je peux dire que les ket(phi_n,l) sont bien les vecteurs propres de  associés aux valeurs propres a_n ?

Deuxièmement :

On fait une mesure sur un état ket(psi) au moyen d'une observable Â. Quels résultats obtient-on avec certitude ?
Je me suis demandé : si le ket(psi) est un état propre de Â, on doit obtenir la valeur ket(psi)Âbra(psi) (c-à-d la valeur moyenne de Â). Est-ce vrai ? Ou bien obtient-on toujours, pour tout ket(psi) la valeur comprise entre [ket(psi)Âbra(psi) - variance de  ; ket(psi)Âbra(psi) + variance de Â] ?

Merci pour vos réponses !
-----

[zTony]

Bonjour,

Vous pouvez écrire :
On travaille sur l'espace de Hilbert

Réciproquement, si vous pouvez l'écrire :

Alors Il suffit d'appliquer les potentiels vecteurs propres en utilisant les relations du produit scalaire pour une famille orthonormale de vecteurs pour remarquer que ce que vous dites est vrai.


Concernant votre seconde question, d'après le 3ème postulat de la mécanique quantique, on doit forcément obtenir une valeur propre de Â.


Je suis au début de ma formation en mécanique quantique, désolé si j'ai dit une bêtise quelque part.

Joyeux Noël,
zTony

[albanxiii]

Bonjour,

Ket : | \varphi \rangle qui donne avec les balises tex .
Bra : \langle \varphi | qui donne avec les balises tex .

[Soldina]

Merci pour vos réponses.

@zTony : d'après votre réponse, j'en déduis que les deux propositions sont toujours vraies, que les ket phi soient vecteurs propres ou non ? Ou bien cela est-ce seulement vrai quand ce sont les vecteurs propres de l'observable ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[zTony]

Bonjour,

Non, tu ne peux l'écrire que si que si les sont vecteurs propres de .

Je reprend mon raisonnement.
Supposons que ce ne soient pas des vecteurs propres.
Par l'absurde, supposons que A puisse s'écrire :

Dans ce cas:

Donc donc est vecteur propre de associé à la valeur propre .
Ce qui est absurde.


Autrement dit, il y a équivalence entre et les forment une BON de vecteurs propres de .

Par contre, si tu te donnes une base orthonormale de indexée par ( est un espace de Hilbert séparable) : , alors tu peux écrire :


Si tu te représentes ton opérateur A par une matrice (dans le cas où H est de dimension fini bien entendu), tout cela devient assez évident.
Si tu peux écrire , c'est que si tu te places dans cette base, ta matrice est diagonale donc évidemment est diagonalisable dans cette base orthonormale.
Et ma formule du dessus n'est que la somme de tous les coefficients de la matrice avec


albanxiii : Merci pour la notation des kets et des bras en latex !

[Soldina]

Merci beaucoup pour vos réponses, c'est très clair.

[zTony]

De rien !
Bonne continuation !!