Mecanique Quantique ,formalisme

[Elmayl]

Bonjour

J'ai quelques questions qui me tracasse concernant la mécanique quantique,j'espère que vous pouvez m'apporter quelques éléments de réponses;

est ce que les élément du diagonale d'une observable représenté par une matrice doivent être réel ?,et sachant que la mesure d'une grandeur physique représenté par une observable A ne peut donner comme résultat que l'une des valeurs propres de A(d’après les postulats de la mécanique quantique),et l’équation au valeurs propres est donnée comme ça A|Un>=gn|Un> (gn:valeur propre)alors pourquoi on doit ajouter |Un> sachant que a mesure ne donne qu'une valeurs propre c'est-à-dire à mon avis on doit faire comme ça
A|Un>=gn

Merci d'avance
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[gatsu]

Bonjour

J'ai quelques questions qui me tracasse concernant la mécanique quantique,j'espère que vous pouvez m'apporter quelques éléments de réponses;

est ce que les élément du diagonale d'une observable représenté par une matrice doivent être réel ?,et sachant que la mesure d'une grandeur physique représenté par une observable A ne peut donner comme résultat que l'une des valeurs propres de A(d’après les postulats de la mécanique quantique),et l’équation au valeurs propres est donnée comme ça A|Un>=gn|Un> (gn:valeur propre)alors pourquoi on doit ajouter |Un> sachant que a mesure ne donne qu'une valeurs propre c'est-à-dire à mon avis on doit faire comme ça
A|Un>=gn

Merci d'avance

Salut,

cela pourrait être comme tu le dis c'est vrai mais ce n'est simplement pas comme cela que les observables sont utilisées en tant qu'objet.

Par contre, tu peux considerer la forme linéaire suivante <Un|A, qui, une fois appliquée a |Un> donne exactement le résultat que tu veux.

[coussin]

Ce n'est simplement pas comme ça que "marche" une équation aux valeurs propres. La propriété remarquable d'un vecteur propre est, justement, que quand l'opérateur agit dessus cette action redonne le même vecteur propre (à une constante multiplicative près, la valeur propre).

[Elmayl]

Merci pour vos réponses,

Ce n'est simplement pas comme ça que "marche" une équation aux valeurs propres. La propriété remarquable d'un vecteur propre est, justement, que quand l'opérateur agit dessus cette action redonne le même vecteur propre (à une constante multiplicative près, la valeur propre).

coussin y'aura t'il moyen d'expliquer ce que tu ma dit physiquement?

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Hmmm...
"Physiquement"? C'est à dire ?
Eh bien l'exemple que l'on donne en mécanique quantique est que, d'après ce que je viens de dire, une fois un système quantique dans un état propre, continuer à faire la même mesure ne change plus l'état du système. Cet état est "stable" par rapport à cette mesure (cet opérateur). D'autres mesures successives ne pourront jamais induire des transitions vers d'autres états.
C'est donc une propriété très particulière de cet état par rapport à cet opérateur.

[Noix010]

je rajouterai que pour que les valeurs propres soient réelles, il faut et il suffit que la matrice soit auto-adjointe (= hermitienne)

(pour l'équations aux valeurs propre, c'est déja bien expliqué, mais si on oubli quand même, on peut probablement se dire qu'une matrice appliquée à un vecteur donne un vecteur plutôt qu'un nombre)

[Elmayl]

Hmmm...
"Physiquement"? C'est à dire ?
Eh bien l'exemple que l'on donne en mécanique quantique est que, d'après ce que je viens de dire, une fois un système quantique dans un état propre, continuer à faire la même mesure ne change plus l'état du système. Cet état est "stable" par rapport à cette mesure (cet opérateur). D'autres mesures successives ne pourront jamais induire des transitions vers d'autres états.
C'est donc une propriété très particulière de cet état par rapport à cet opérateur.

Merci à toi coussin !c'est bien expliquer!Bravo

par contre si le système n'est pas dans un état propre d'une observable,alors que peut-on dire des mesure et des état,et est-ce-que à chaque mesure on induit des transitions vers d'autres états ?
Merci d'avance.

[gatsu]

(pour l'équations aux valeurs propre, c'est déja bien expliqué, mais si on oubli quand même, on peut probablement se dire qu'une matrice appliquée à un vecteur donne un vecteur plutôt qu'un nombre)

ca depend du type de matrice.....il n'y a pas que les matrices carrées dans la vie.

[Noix010]

Oui, quand un vecteur n'est pas un vecteur propre alors la matrice agissant sur le vecteur donne un autre vecteur.

Mais ce qui est bien avec une matrice hermitienne c'est qu'il existe une base de l'espace de Hilbert, composée de vecteurs propres. Donc on décompose un vecteur quelconque dans cette base et l'action de la matrice est de multiplier chaque composante par la valeur propre correspondante.

[gatsu]

Oui, quand un vecteur n'est pas un vecteur propre alors la matrice agissant sur le vecteur donne un autre vecteur.

c'est une vision très réductrice des matrices en general. Une matrice, en general (et grossièrement), est une representation d'une application linéaire agissant sur un espace vectoriel de depart E pour aller dans un espace vectoriel d'arrive V qui n'est pas forcement l'espace de depart. Un exemple trivial est l'ensemble des matrices "lignes" 1xN qui, lorsqu'elles agissent sur des vecteurs colonnes Nx1, donnent un nombre reel (qui est un membre d'un espace vectoriel également).

Le fait que les observables en mécanique quantique soient des endomorphismes est un aspect de la modélisation a ne pas oublier et est la raison pour laquelle cette discussion autours des valeurs propres fait sens.

[Noix010]

et c'

est la raison pour laquelle cette discussion

sur les matrices rectangulaire ne fait pas sens

[gatsu]

et c' sur les matrices rectangulaire ne fait pas sens

si tu n'as pas compris que la question de depart demandait en substance "pourquoi modélise-t-on les observables comme des endomorphismes (et non pas comme des formes par exemple)", je n'y suis pour rien. Descend de ton piédestal trois secondes, réfléchis et reviens te moquer de moi après.

Coussin a donne une très bonne explication de pourquoi le formalisme a été choisi tel qu'on l'utilise encore actuellement et ce que cela peut vouloir dire d'un point de vue modélisation, pas besoin d'en rajouter en enfonçant des portes ouvertes et des faussetés du genre

on peut probablement se dire qu'une matrice appliquée à un vecteur donne un vecteur plutôt qu'un nombre

[Elmayl]

et si on a une matrice par exemple de taille 3 X 3,dont les élément du diagonale principale sont un nombre quelconque 'a' et et les deux autres élément sont nul '0' alors peut-on dire sans calcul que cette matrice possède 3 valeurs propre :a,0,0 ,et la valeurs propre 0 est dégénéré deux fois ?

Merci d'avance

[Noix010]

Non, sauf si les autres composantes hors diagonales sont nulles aussi (i.e. elle est diagonale)

Example: 0 n'est même pas valeur propre



Ou si l'on sait que la matrice est triangulaire supérieure, alors on peut multiplier les éléments diagonaux et c'est sensé être égal au déterminant. S'il y a un zéro, ou peut dire que 0 est valeur propre

[Elmayl]

Non, sauf si les autres composantes hors diagonales sont nulles aussi (i.e. elle est diagonale)

Example: 0 n'est même pas valeur propre



Ou si l'on sait que la matrice est triangulaire supérieure, alors on peut multiplier les éléments diagonaux et c'est sensé être égal au déterminant. S'il y a un zéro, ou peut dire que 0 est valeur propre

J'ai pas compris

[Noix010]

Bon, cette matrice correspond bien à ta description, (a, 0, 0) sur la diagonale?

a est bien une valeur propre, mais 0 n'est n'est pas une.

Pour le vérifier, écrivons la définition de 0 valeur propre: il existe un vecteur non nul tel que



Le calcul explicite montre que x, y et z doivent être nul. Il n'y a pas de vecteur propre (par définition non nul) vérifier l'équation de la valeur propre.

[Elmayl]

dans un exemple qui ma tracasser dans une base de 3 vecteurs, ils ont trouver 2 valeurs propres dont 1 est dégénéré (faut trouver 3 vecteurs propres car on est dans une base de 3 vecteurs,alors une valeur propre est forcement dégénéré de 2),mais le problème c'est que je n'arrive pas à trouver 3 vecteurs propre,je trouve à chaque fois que 2,chaque vecteurs propre à chaque valeurs propre ,et je ne trouve pas la 2eme vecteurs propre qui correspond à la aleur propre dégénéré.
j'espère que vous pouvez m'apporter quelques éléments de réponse,je suis totalement perdu.avec la matrice est:
....|0 a 0|
A=|a 0 0|
....|0 0 a|

Merci d'avance.

[gemozor]

Bonjour à toi,

Peut être que le plus simple serait que tu nous montres ton exemple.

edit : exemple donné au même moment que ce message...

Cordialement,

[Noix010]

la ce n'est plus de la théorie.

Quoique.... encore un détail théorique: les espaces propres (espace de vecteurs propres) sont orthogonaux. Si tu connais deux vecteurs propres, il te suffit de prendre un vecteur orthogonal à ceux la.

[Elmayl]

la ce n'est plus de la théorie.

Quoique.... encore un détail théorique: les espaces propres (espace de vecteurs propres) sont orthogonaux. Si tu connais deux vecteurs propres, il te suffit de prendre un vecteur orthogonal à ceux la.

et je pense que ça sera un peu difficile de connaitre exactement cette vecteurs propres,de plus on sait pas quelle valeurs est dégénéré.

[Noix010]

Bon, bah, je vais devoir le faire alors (je te laisse vérifier si c'est vrai):

Dans ton example, message #17:
- le vecteur (0, 0, 1) est vecteur propre avec valeur propre "a"
- on considère la matrice agissant dans l'orthogonal à ce vecteur (ici c'est le sous-espace engendré par (1, 0,0) et (0, 1,0)), elle devient .

(1,1) est un vecteur propre de valeur propre "a"

(-1,1) est un vecteur propre de valeur propre "-a"

(Soit on devine tous les vecteurs propres, soit dès que l'on en a deux, il suffit de prendre un vecteur orthogonal aux deux autres. Tu peux vérifier que les trois vecteurs sont mutuellement orthogonaux.

Si on sait a priori qu'un vecteur est un vecteur propre, on trouve facilement la valeur propre associée en appliquant juste la matrice dessus)