Réduction à un point matériel

[Amanuensis]

Carrément que ça a son importance, c'est pour ça que j'ai hésité et préféré coquillage (Mon coquillage, lui, est plein. )

Mauvais choix. Évident quand on comprend le sujet.
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[LeMulet]

Mauvais choix. Évident quand on comprend le sujet.

Je sais pas, pour l'instant j'ai juste vu que pour vous l'intensité de la force gravitationnelle tend vers l'infini lorsque d tend vers 0... mais que blablabla, "pas d'effet de limite" (ce dont je n'ai pas parlé).

Pour d tendant vers 0, la gravitation selon la loi de Newton tend toujours vers l'infini, même pour un point matériel. Jamais vers 0.

Le 0 au centre de la Terre vient de la compensation des différentes "forces d'attraction", pas d'un effet de limite. .

Mais concrètement, si on vous demande de nous donner la force d'attraction gravitationnelle sur un objet de masse m avec M la masse de la Terre, lorsque d=100 m, vous nous proposez quelle formule ?
Une formule plus un blabla (il faut encore recalculer la compensation des différentes forces d'attraction) ou alors une formule tout court qui précise bien de quels éléments il est question dans la formule ?

Pour ma part je précise juste que Newton y a pensé (il n'a donc jamais pensé qu'il puisse y avoir une singularité au centre de la Terre...) et a même de ce fait cherché un théorème qui rend sa formule valide dans tous les cas.
Et si je le précise c'est que cette formule générale a un rapport avec la question de "la" masse ponctuelle dont il est question dans cette formule.

[faissol]

Bonjour

J'ai lu le théorème de la coquille (Shell theorem). Cela devient vraiment intéressant. Merci pour les tuyaux.
Et je dois encore relire et retravailler.

Il y a une question (idiote probablement) qui m'est venue.......
Je vous la soumets. Merci de ne pas me traiter d'idiot.......

Newton montre que quand on a une masse sphérique symétrique (creuse ou pleine) qui exerce son action sur un point matériel, on peut la remplacer par une masse ponctuelle de même masse. L'action (la force) sera la même sur le point matériel
Mais Newton ne montre pas que quand un point matériel exerce son action sur une masse sphérique symétrique (creuse ou pas), la résultante des forces se trouve au centre géométrique de la masse sphérique......
Je me trompe?

Faissol

[Dynamix]

la résultante des forces se trouve au centre géométrique de la masse sphérique......

La résultante des force n' a pas de position .
Par convention , on représente la flèche sur l' axe de moment nul , mais on peut la placer n' importe ou sur cet axe .

[Amanuensis]

Newton montre que quand on a une masse sphérique symétrique (creuse ou pleine) qui exerce son action sur un point matériel, on peut la remplacer par une masse ponctuelle de même masse. L'action (la force) sera la même sur le point matériel
Mais Newton ne montre pas que quand un point matériel exerce son action sur une masse sphérique symétrique (creuse ou pas), la résultante des forces se trouve au centre géométrique de la masse sphérique......

De par l'égalité de l'action et la réaction, ainsi que l'hypothèse d'instantanéité de l'effet, les équations sont les mêmes dans le premier cas et dans le second. Par conséquence uand on prouve l'un on prouve l'autre.

[faissol]

Bonjour Dynamix et Amanuensis.

Merci pour vos réponses. Pleines de bons sens. J'apprécie.
Je fais une petite digression. Aussi courte que possible.
Il y a longtemps, Aristote a eut des idées. Elles ont tenu très longtemps. (Je note que les mathématiciens ont calculé les trajectoires des planètes (épicycle et déférant) avec une terre immobile. Extraordinaire sans machine à calculer ni ordinateur).
Avec Galilée et Copernic, on a évolué. La terre tourne autour du soleil.
Newton a ajouté le pourquoi et développé le côté mathématique. Il y a eut aussi des idées qui n'ont pas tenu longtemps: Les tourbillons de Descartes.
Newton, c'est il n'y a pas longtemps. Et depuis, on a une nouvelle théorie de la gravitation................... .............................. ....
Il me semble que çà va un peu vite. Et qu'il y a des points délicats.
La lune tourne autour de la terre. Mais elle subit deux forces égales et opposées. La force d'attraction et la force centrifuge.
On essaie depuis Cavendish de déterminer la constante de gravitation. Et les mesures ne convergent pas vers une valeur.
Fin de la digression.

Dynamix
Quand on tire une brouette, elle vous suit. Si on la pousse, le moindre écart conduit à un déséquilibre. La stabilité dépend donc de l'endroit où on place la résultante.

Amanuensis
Oui, l'action égale la réaction. Je vais très loin dans mes réflexions:
La loi de Newton est : F=G .m1.m2/d². Et elle "marche" bien. Surtout pour le système solaire et des objets à la surface de la terre. d, c'est la distance entre les centre de masse des deux objets.
Je modifie un peu la loi de Newton..... F=G.m1.m2/(d1.d2). d1, c'est la distance entre le centre de masse de la masse 1 et le centre de gravité de la masse 2. Et vice versa.
Que faudrait-il faire?
Reprendre les 200 mesures de G faites depuis Cavendish. Et voir si çà tient la route. Je pense que dans quelques centaines d'années, on y verra plus clair. En attendant, c'est juste une idée farfelue.....

Faissol

[Amanuensis]

La lune tourne autour de la terre. Mais elle subit deux forces égales et opposées. La force d'attraction et la force centrifuge.

Non. Une seule, ou même aucune. (Si la Lune "subissait deux forces égales et opposées" elle serait immobile, ce qui fait sens uniquement dans un référentiel "lunaire" ou sélenocentrique, et alors la Lune ne tourne pas autour de la Terre, c'est la Terre et le Soleil qui tournent autour de la Lune.)

Et les mesures ne convergent pas vers une valeur.

???

Notons que GM (pour un objet quelconque) est mesuré de manière bien plus précise que G. La difficulté à obtenir une valeur précise de G est due principalement à la difficulté à mesurer précisément les masses en kg.

On mesurerait les masses par GM (donc en m³/s²) ou par GM/c² (donc en mètres), le problème de la mesure de G disparaîtrait. (En fait le problème serait remplacé par celui des mesures de rapport de masse entre une masse étalon et une masse à mesurer. Avec la nouvelle définition du kg, le problème se déplace en une mesure précise d'une masse de 1 kg en fonction de h et c.)

[LeMulet]

Newton a ajouté le pourquoi et développé le côté mathématique. Il y a eut aussi des idées qui n'ont pas tenu longtemps: Les tourbillons de Descartes.

En fait, contrairement à l'idée simpliste que l'on retrouve dans bon nombre de discours, les "tourbillons" que l'on peut associer au concept d'éther n'ont pas été abandonnés si rapidement (ni même complètement).
Newton postulait déjà un éther, nécessaire à l'interaction à distance.
Ensuite, bien d'autres, dont surtout Lorentz, et même Einstein ! ont continué à défendre le concept d'éther, qui avec la validation de la théorie de la relativité a néanmoins été reprécisé (la vieille conception de l'éther possédant une "position" a donc été effectivement invalidée par la théorie).

Einstein conclut son exposé sur l'éther par le résumé suivant :

« Nous pouvons résumer comme suit : selon la théorie de la relativité générale, l'espace est pourvu de propriétés physiques, et dans ce sens, par conséquent, il existe un éther. Selon la théorie de la relativité générale, un espace sans éther est impensable, car dans un tel espace non seulement il n'y aurait pas de propagation de la lumière, mais aussi aucune possibilité d'existence pour un espace et un temps standard (mesuré par des règles et des horloges), ni par conséquent pour les intervalles d'espace-temps dans le sens physique du terme. Cependant, cet éther ne peut pas être conçu comme pourvu des qualités des medias pondérables et comme constitué de parties ayant une trajectoire dans le temps. L'idée de mouvement ne peut pas lui être appliqué. »

https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89ther_(physique)

[phys4]

Newton montre que quand on a une masse sphérique symétrique (creuse ou pleine) qui exerce son action sur un point matériel, on peut la remplacer par une masse ponctuelle de même masse. L'action (la force) sera la même sur le point matériel
Mais Newton ne montre pas que quand un point matériel exerce son action sur une masse sphérique symétrique (creuse ou pas), la résultante des forces se trouve au centre géométrique de la masse sphérique......

Newton ne montre pas la réciproque, car elle n'existe pas, l'effet sur une sphère ne correspond pas à l'action sur une masse identique sitiée au centre. C'est un cas limite d'un objet très loin, ce qui rend le champ d'accélération uniforme : dans ce cas seulement la somme des forces correspond à une force unique sur la masse située au barycentre.

La loi de Newton est : F=G .m1.m2/d². Et elle "marche" bien. Surtout pour le système solaire et des objets à la surface de la terre. d, c'est la distance entre les centre de masse des deux objets.
Je modifie un peu la loi de Newton..... F=G.m1.m2/(d1.d2). d1, c'est la distance entre le centre de masse de la masse 1 et le centre de gravité de la masse 2. Et vice versa.

Cela entraine aussi que la distance qui intervient dans la formule n'est pas la distance des centre de masses, l'approximation valable aux grandes distances ne peut pas s'appliquer à deux masses proches.

[Amanuensis]

Annulé ...

[faissol]

Bonjour

Grand merci pour vos interventions.
Mais je ne suis pas bien avancé.
Deux sphères qui se touchent. C'est quoi la force entre les deux.
Les avis sont partagés..................

Beaucoup disent que si les formes sont quelconques (pas sphériques donc) il faut intégrer.
Je suis allé voir les explications de Newton.
Si j'ai bien compris, la formule est valable pour deux "points matériels" de masse m1 et m2.
Points matériels qui n'ont pas de dimension. Donc le centre de masse égale le centre de gravité..........

Et je m'attendais à trouver chez Newton une belle intégrale sur le volume de la sphère. J'ai été un peu déçu.

Et donc en attendant mieux, la formule de Newton est "valable" quand les distances entre les deux corps sont grandes par rapport à leur dimensions.

Je me suis bien lancé dans quelques calculs....

Bonne journée.

Faissol

[coussin]

Vous devez clarifier ce que vous voulez dire par "qui se touchent". 2 sphères qui se touchent, c'est 1 objet unique. Pas 2.
Sur des distances de l'ordre du nanomètre, les interactions gravitationnelles sont complètement négligeables devant les interactions électrostatiques. C'est un exercice bateau qu'on donne à tout étudiant en physique.

[Lortagem]

Je me permets juste d'intervenir sur cette discussion afin de recevoir des alertes quand de nouveaux messages seront postés. Je confesse en effet être stupéfait par la sagacité de certains membres de ce forum, comme ces messieurs faissol et LeMulet, dont l'expertise certaine et la compréhension profonde des sujets ici traités n'a d'égale que la rigueur de leur méthodologie intellectuelle. Qu'on me pende si leur pensées ne sont pas publiées dans Classical and Quantum Gravity d'ici la fin de l'année.

[Black Jack 2]

Bonjour,

Je ne pense pas que l'assimilation d'un objet à répartition de masse sphérique à un point matériel de même masse situé au centre de la sphère est une approximation seulement valable aux grandes distances

C'est correct quelle que soit la distance. (distance qui doit évidemment être >= R1+R2 (rayons des 2 sphères)

La démonstration fait appel au théorème de Gauss, on en parle dans les chapitres 3 et 4 de ce lien :

http://physiquesup4.blog.free.fr/pub...ravitation.pdf

[coussin]

On a déjà cité le Shell Theorem dans ce fil.
La question a dérivé sur les formes quelconques et/où les densités de masse non homogènes. Cas pour lesquels une formule "toute faite" n'existe pas et un calcul intégral doit être fait.

[phys4]

Deux sphères qui se touchent. C'est quoi la force entre les deux.
Les avis sont partagés..................

Beaucoup disent que si les formes sont quelconques (pas sphériques donc) il faut intégrer.
Je suis allé voir les explications de Newton.
Si j'ai bien compris, la formule est valable pour deux "points matériels" de masse m1 et m2.

Pour des sphères, vous pouvez appliquer à n'importe quelle distance,
mais vous avez essayer d'appliquer à des objets quelconques : c'est autre chose.

[Amanuensis]

Je ne pense pas que l'assimilation d'un objet à répartition de masse sphérique à un point matériel de même masse situé au centre de la sphère est une approximation seulement valable aux grandes distances

Faut être plus précis que cela. Dans le cas d'une sphère homogène dans un champ parallèle non uniforme, on ne peut pas assimiler la sphère à un point matériel (ou, en d'autres termes, le centre de gravité n'est pas confondu avec le centre de masse. (Cas déjà cité...))

Pas clair que cela ait une application pratique, mais cela met en garde contre une trop grande généralisation.

Pour des sphères, vous pouvez appliquer à n'importe quelle distance,

S'il n'y a que des sphères...

[faissol]

Bonjour.

Savoir qu'une explication sur la gravitation se cache dans le théorème du coquillage (shell theorem), fallait le savoir.
Un grand merci..................

Intuitivement, il me semble que Amanuensis a raison. Si çà marche dans un sens, çà marche dans l'autre. Si on remplace une sphère agissant sur un point matériel par un point matériel, alors on peut aussi remplacer un sphère sur laquelle agit un point matériel par un point matériel...........
Mais j'ai aussi noté la remarque de Phys 4. Newton a montré dans un sens. Pas dans l'autre............

J'ai donc essayé de me faire ma propre opinion.
Soit 3 points matériels. A, B, C. B et C ont la même masse. Ils sont reliés mécaniquement par une tige de masse négligeable.
Peut-on remplacer les deux masses B et C par une seule. Quelle masse a-t-elle et où se trouve-t-elle?

Le problème paraît simple. Il est linéaire, à une seule dimension.

On peut calculer la force exercée par l'objet A sue l'objet BC. OK.

Puis on peut choisir une masse quelconque et calculer une distance. Ou l'inverse.
Là, je retiens une masse. La masse de B + la masse de C. Avec dans l'idée d'avoir la même accélération (instantanée).
Problème résolu. Quoique.
Où se trouve le centre de masse du premier système. L'objet A et l'objet BC (les deux masses relièes).
Et où se trouve le centre de masse du second système. L'objet A et la masse de remplacement......

J'ai l'habitude d'utiliser excel pour tous ces calculs. Et de faire varier les variables. Pour voir.
J'ai gardé r constant. Et fais varier d.
Quand d est élevé, les centres de masses (des deux systèmes) sont confondus (précision des calculs).
Si d est petit, les centres de masse ne sont plus confondus.

Le comportement dynamique des deux systèmes est équivalent si d est élevé.
Pas si d est petit.....................

Je continue mes petits calculs.

Bonne journée

[Black Jack 2]

Bonsoir,

Avec ton dessin :

En appelant M la masse de A (supposé ponctuel ou à répartition de masse sphériques) et m/2 la masse de B et m/2 la masse de C (B et C ponctuel ou à répartition sphérique de masse)

On trouve : F(A-BC) = GMm/2 * (1/d² + 1/(d+r)²)

Soit donc équivalent à F = GMm/(2/(1/d² + 1/(d+r)²))

Donc c'est équivalent (pour la force de gravitation entre A et BC) si on remplace l'objet BC par un objet ponctuel de masse m à la distance D = RCarrée[2/(1/d² + 1/(d+r)²)]

soit D = (d.(d+r))/RC(d² + r²/2 + d.r)

Donc, du point de vue de la force de gravitation, on peut remplacer le système du dessin par : une masse M ponctuelle (objet A) , une masse m ponctuelle (objet BC), à la distance D = (d.(d+r))/RC(d² + r²/2 + d.r) de A.

Et ceci quels que soient M, m , d et r avec la restriction que d minimum doit tenir compte des dimensions physiques réelles des 2 "objets".

*****
On peut toujours remplacer (pour les forces de gravitation) remplacer un objet à répartition de masse sphérique par un point matériel de même masse, point concentré au centre de la sphère.

Si un ou les deux objets ne sont pas à répartition sphérique de masse, il faut calculer au cas par cas si on a besoin de précision (comme fait ci-dessus), ou bien si d > > que les dimensions des objets, on "oublie" ce calcul (parfois très difficile) et on calcule comme si les objets étaient à répartition de masse sphérique ou ponctuels, car cela n'entraînera pas des erreurs "notables" sur les résultats.

[faissol]

Bonjour Black Jack 2

Tout à fait d'accord : du point de vue de la force de gravitation, on peut remplacer le système du dessin par .................
Du point de vue de la force de gravitation.
Voyons maintenant çà d'un point de vue dynamique.
Le centre de masse (le point du système qui serait au repos ou en mouvement rectiligne uniforme.....) du système du dessin n'est pas le même que le centre de masse du système de remplacement à une seule masse.
Et leur évolution dynamique ne sera pas semblable.

J'ai commencé à calculer les énergies.

Bonne journée.

Faissol

[faissol]

Bonjour

Newton a montré (shell theorems) qu'en matière de gravitation, une sphère pouvait être remplacée par un point matériel de même masse situé au centre de la sphère. J'ai noté la remarque de Phys 4. Une sphère qui agit sur un point matériel. Et celle de Amanuensis. Cà marche dans les deux sens.....

Donc. Je prends deux sphères de matière situées à la distance d l'une de l'autre. Et je les fais orbiter une par rapport à l'autre. Pour que la distance d ne varie pas. Les formules de Newton permettent de quantifier ce phénomène.

m1. omega². r1 = m2.omega². r2 = G.m1.m2/d²
d=r1+r2

Je note quelque chose qui me dérange
Dans "G.m1.m2/d²", on utilise "le shell theorem". On a remplacé les sphères par des points matériels.
Mais dans "m1. omega². r1 et m2.omega². r2" on fait la même chose.
Or la répartition de la force gravitationnelle n'est pas la même que la répartition de la force centrifuge.
Question:
A-t-on montré que le centre d'action de la force centrifuge était, dans le cas d'une sphère, le centre de celle-ci?

Bonne journée.

Faissol.

[faissol]

Bon bon bon bon.

Question idiote de ma part.... J'ai trouvé.

Faissol