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Réduction à un point matériel




  1. #1
    faissol

    Réduction à un point matériel

    Bonjour

    Quand on étudie le système solaire, on assimile les planètes (et le soleil) à des points matériels de masse équivalente.
    Je pense qu'on doit cela à Newton.
    Je cherche (vainement) l'approche mathématique qui justifie cela.
    Merci de m'aiguiller................... ......

    Faissol

    -----


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  3. #2
    Dynamix

    Re : Réduction à un point matériel

    Salut

    Remplacer un système par une masse ponctuelle revient à considérer que son moment d' inertie propre est nul .

  4. #3
    Black Jack 2

    Re : Réduction à un point matériel

    Bonjour,

    Attention, pour le calcul de le force de gravitation entre 2 "objets", on ne peut assimiler un "objet" à un point matériel de même masse que si l'objet est à répartition de masse sphérique.
    La position du "point matériel" est alors au centre de la sphère de l'objet réel.

    Pour le démontrer, il faut passer par le calcul intégral ...

    On voit souvent écrit que la distance d à prendre en compte (dans F = G.m.M/d²) est la distance entre les centres d'inertie des 2 masses, mais c'est faux ... sauf pour le cas particulier où les 2 "objets" sont à répartition de masse sphérique.

    En pratique cependant, si la distance entre les "objets" est très grande devant les dimensions des objets, alors les erreurs sur le calcul de F sont minimes si on assimile d à la distance entre les centres d'inertie des 2 objets.


  5. #4
    Dynamix

    Re : Réduction à un point matériel

    Citation Envoyé par Black Jack 2 Voir le message
    mais c'est faux ... sauf pour le cas particulier où les 2 "objets" sont à répartition de masse sphérique.
    Donc c' est vrai dans presque tous les cas

  6. #5
    faissol

    Re : Réduction à un point matériel

    Bonjour Dynamix. Bonjour Black.

    Merci pour vos interventions.

    Je viens de découvrir qu'il y avait une différence entre le centre de masse (= centre d'inertie) et le centre de gravité (qui implique que l'objet soit plongé dans un champ de gravité...)
    Et que ces deux points sont confondus si le champ peut être considéré comme "constant" là où se trouve l'objet......)

    Quand les deux objets sont à répartition de masse sphérique et qu'ils sont très proches (l'un contre l'autre à la limite...), est-ce toujours la distance entre les deux centres des sphères qui intervient dans la loi de Newton?

    Faissol

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Black Jack 2

    Re : Réduction à un point matériel

    Bonjour,

    "Quand les deux objets sont à répartition de masse sphérique et qu'ils sont très proches (l'un contre l'autre à la limite...), est-ce toujours la distance entre les deux centres des sphères qui intervient dans la loi de Newton?"

    La distance à mettre dans la "force de gravitation de Newton" (si ils sont un contre l'autre) est alors la somme des 2 rayons des sphères réelles.

  9. #7
    faissol

    Re : Réduction à un point matériel

    Merci pour la réponse...

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  11. #8
    Dynamix

    Re : Réduction à un point matériel

    Citation Envoyé par faissol Voir le message
    Et que ces deux points sont confondus si le champ peut être considéré comme "constant" là où se trouve l'objet......)
    Oui , dans le cas d' un champs considéré comme uniforme .

  12. #9
    faissol

    Re : Réduction à un point matériel

    Bonjour Dynamix.

    J'ai un peu réfléchi au terme constant et uniforme. C'est vrai que c'est le terme uniforme qui est le plus souvent utilisé sur le net.
    Je pense qu'il faut passer à la notion de vecteur pour préciser..........
    Disons que pour moi, cela signifie que tout point de l'objet (dont le centre de masse coïncide avec le centre de gravité) subit une force de même intensité et de même direction que tous les autres points.

    Dans le cas des deux boules une contre l'autre, je me dis intuitivement que les forces les plus importantes sont aux endroits où les boules se touchent.
    Pourtant à ces endroits, le champ gravitationnel est nul: la boule de droite tire vers la droite et la boule de gauche vers la gauche.
    Et le maximum est aux opposés. Le champ ne me paraît pas constant...

    Je cherche vainement comment Newton a montré qu'on pouvait remplacer une sphère par un point de même masse situé au centre...

    Faissol

  13. #10
    Black Jack 2

    Re : Réduction à un point matériel

    Bonjour,

    "Le champ ne me paraît pas constant..."

    Qui a dit que le champ était constant ?

    On peut remplacer,du point de vue force gravitationnelle, une boule à répartition de masse sphérique par un point matériel de même masse et situé au centre de la sphère.

    Cela n'implique évidemment pas que le champ de gravité est le même partout.

    Au point de contact des 2 boules, le champ gravitationnel est nul et c'est ce que donne le calcul qu'on le réalise à partir des vraies sphères ou bien à partir des sphères réduites en points matériels (situés aux centres des sphères)

    Et on trouvera bien un champ max aux opposés deu point de contact, et ceci qu'on le calcule à partir des vraies sphères ou bien à partir des sphères réduites en points matériels (situés aux centres des sphères)

    On aborde quelques explications sur ces liens :

    http://www.tangentex.com/SymetrieSpherique.htm

    file:///C:/Users/User/Downloads/M%C3%A9caniqueSolides%20Chapit re%2012.pdf
    ***************

    Ceci n'a rien à voir avec ce qui é été dit à propos du centre d'inertie versus centre de gravité d'un objet.

    Là c'est vrai que les 2 sont confondus ssi l'objet considéré se trouve dans un champ gravitationnel constant (en amplitude, direction et sens)

  14. #11
    Dynamix

    Re : Réduction à un point matériel

    Citation Envoyé par faissol Voir le message
    Je pense qu'il faut passer à la notion de vecteur pour préciser..........
    Je ne vois pas ce que ça apporte par rapport à un champs scalaire .

    Citation Envoyé par faissol Voir le message
    Disons que pour moi, cela signifie que tout point de l'objet (dont le centre de masse coïncide avec le centre de gravité) subit une force de même intensité et de même direction que tous les autres points.
    A condition que la densité soit uniforme .
    Dans le cas général , c' est le champs d' accélération qui est uniforme .

    Citation Envoyé par faissol Voir le message
    Dans le cas des deux boules une contre l'autre, je me dis intuitivement que les forces les plus importantes sont aux endroits où les boules se touchent.
    Pourtant à ces endroits, le champ gravitationnel est nul
    Non , le champs gravitationnel de chaque boule est maximum à leur surface .
    Il est indépendant de l' autre boule .

    Citation Envoyé par faissol Voir le message
    la boule de droite tire vers la droite et la boule de gauche vers la gauche.
    Troisième loi de Newton , dite "principe des actions réciproques" .
    Additionner ces deux actions n' a pas de sens .

    Citation Envoyé par faissol Voir le message
    Et le maximum est aux opposés.
    Pas compris

  15. #12
    Black Jack 2

    Re : Réduction à un point matériel

    Bonjour,

    Je pense qu'il faut "interpréter" certains propos de faissol.

    faissol dit :

    "Dans le cas des deux boules une contre l'autre, je me dis intuitivement que les forces les plus importantes sont aux endroits où les boules se touchent.
    Pourtant à ces endroits, le champ gravitationnel est nul"

    Je suis d'accord évidemment avec Dynamix quand il écrit :
    Non , le champs gravitationnel de chaque boule est maximum à leur surface .
    Il est indépendant de l' autre boule .

    Je présume que l'idée de faissol était de mettre une petite masse (disons quasi ponctuelle) presque "coincée" au point de contact des 2 boules.
    Si on calcule les forces de gravitation sur cette petite masse, avec la présence des 2 boules, on trouve que la force résultante est nulle ... ce qui fait dire à faissol qu'en cet endroit le champ gravitationnel est nul.

    A une toute autre échelle évidemment, si on considère la Terre et la lune :
    Il y a bien un point sur la droite joignant les centres de la Terre et la lune où, si un objet se trouvait en ce point, les forces gravitationnelles de la lune et la Terre sur l'objet s'annulent (même amplitude, même direction et sens contraire)
    **********
    faissol dit :

    "et le maximum est aux opposés."

    Là aussi, il faut interpréter.

    Si on place un objet sur une des boules en un point diamétralement opposé au point de contact des 2 boules, les forces gravitationnelles des 2 boules sur l'objet s'ajoutent et comme elles ont même direction et même sens ...
    **********

  16. #13
    faissol

    Re : Réduction à un point matériel

    Merci pour ces réponses.
    Je reviens plus tard....

    Faissol

  17. #14
    faissol

    Re : Réduction à un point matériel

    Bonjour Black Jack 2

    Je pense que vous avez raison. Pour un solide de symétrie sphérique, le centre de masse et le centre de gravité sont confondus. Quelque soit la valeur du champ gravitationnel dans lequel le corps sphérique est plongé. Champ uniforme ou variable.
    Et donc on peut remplacer le corps sphérique par un point matériel de même masse.

    C'est du à la symetrie dans les trois axes de la sphère.

    Je me penche sur les corps de forme quelconque....

    Bonne journée

    Faissol

  18. #15
    Amanuensis

    Re : Réduction à un point matériel

    Citation Envoyé par faissol Voir le message
    Pour un solide de symétrie sphérique, le centre de masse et le centre de gravité sont confondus. Quelque soit la valeur du champ gravitationnel dans lequel le corps sphérique est plongé. Champ uniforme ou variable.
    Je pense que c'est faux. Pour un champ non uniforme les deux centres (si le CdG existe) sont distincts.

    C'est facile à vérifier pour un segment massif orienté verticalement. Le calcul pour la sphère est un peu plus compliqué.

    Notons que pour des formes quelconques, le CdG n'est pas nécessairement défini...

    Un cas particulier est un champ de symétrie sphérique et encore plus particulier un objet de symétrie sphérique dans un champ de symétrie sphérique.

    Cf. https://en.wikipedia.org/wiki/Center...uniform_fields
    Dernière modification par Amanuensis ; 04/02/2019 à 12h07.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  19. #16
    Amanuensis

    Re : Réduction à un point matériel

    Corrigendum:

    C'est facile à vérifier pour un segment massif orienté verticalement. Le calcul pour la sphère est un peu plus compliqué.
    Lire: "Dans un champ parallèle non uniforme, c'est facile..."
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  20. #17
    LeMulet

    Re : Réduction à un point matériel

    Citation Envoyé par faissol Voir le message
    Champ uniforme ou variable.
    Je ne suis pas sûr que les mots soient bien employés.
    Voir ici par exemple pour le champ "uniforme" :
    http://epiphys.emn.fr/spip.php?article167

    Sinon, voir également ici pour d'autres infos.
    https://femto-physique.fr/mecanique/...-dynamique.php
    Bonjour, et Merci.

  21. #18
    Amanuensis

    Re : Réduction à un point matériel

    Je suis intervenu en supposant que "variable" signifie non uniforme (variabilité dans l'espace).

    (Cela me semble être la seule interprétation pertinente, la variabilité dans le temps n'ayant que comme seule conséquence la variabilité du CdG, ce qui ne s'applique pas si le champ est uniforme et variable dans le temps.)
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  22. #19
    LeMulet

    Re : Réduction à un point matériel

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Je suis intervenu en supposant que "variable" signifie non uniforme (variabilité dans l'espace).
    D'accord, mais vous êtes aussi d'accord pour dire que le CdG, selon la définition en physique d'un champ uniforme, ne peut l'être (considéré même) que localement (comme on le dit du champ de pesanteur par exemple), sinon ça irait à l'encontre même de la loi qui dit que l'intensité du champ de force est en 1/R2 ?
    Bonjour, et Merci.

  23. #20
    Black Jack 2

    Cool Re : Réduction à un point matériel

    Bonjour Black Jack 2

    Je pense que vous avez raison. Pour un solide de symétrie sphérique, le centre de masse et le centre de gravité sont confondus. Quelque soit la valeur du champ gravitationnel dans lequel le corps sphérique est plongé. Champ uniforme ou variable.


    Je n'ai jamais écrit cela... c'est faux.


  24. #21
    faissol

    Re : Réduction à un point matériel

    Bonjour

    Received: 29 April 2018; Accepted: 5 July 2018;
    Published online 29 August 2018.

    https://www.nature.com/articles/s415...ysicsworld.com

    GGGGGGGG.png

    Je reviens. Merci pour les infos à tous...

    Faissol

  25. #22
    faissol

    Re : Réduction à un point matériel

    Bonjour Black Jack 2

    Il y a quelque chose que je ne comprends pas bien dans ce que vous dites...
    Au message #3, vous écrivez:

    On voit souvent écrit que la distance d à prendre en compte (dans F = G.m.M/d²) est la distance entre les centres d'inertie des 2 masses, mais c'est faux ... sauf pour le cas particulier où les 2 "objets" sont à répartition de masse sphérique.

    Ma question: Dans le cas (pas particulier) où un des objets (ou les deux objets...) n'est pas à répartition de masse sphérique, quelle distance d faut-il prendre en compte?

    Faissol

  26. #23
    coussin

    Re : Réduction à un point matériel

    Citation Envoyé par faissol Voir le message
    Bonjour Black Jack 2

    Il y a quelque chose que je ne comprends pas bien dans ce que vous dites...
    Au message #3, vous écrivez:

    On voit souvent écrit que la distance d à prendre en compte (dans F = G.m.M/d²) est la distance entre les centres d'inertie des 2 masses, mais c'est faux ... sauf pour le cas particulier où les 2 "objets" sont à répartition de masse sphérique.

    Ma question: Dans le cas (pas particulier) où un des objets (ou les deux objets...) n'est pas à répartition de masse sphérique, quelle distance d faut-il prendre en compte?

    Faissol
    Ca dépend de la répartition. Faut intégrer sur le volume des objets.

  27. #24
    LeMulet

    Re : Réduction à un point matériel

    Pour compléter, dans le cas d'une symétrie sphérique, un point qui n'a pas été abordé, est la validité de la loi en d2.
    d n'est pas indépendant du diamètre de la sphère (et donc la question de la réduction à un point matériel doit prendre en compte le diamètre).

    Par exemple, si d<diamètre, il ne faut pas oublier de préciser que la loi de Newton ne s'applique qu'à la masse contenue en dessous de d (C'est même Newton qui en a fait la démonstration d'après mes souvenir, et ce théorème porte un nom que les connaisseurs retrouveront).
    Le diamètre considéré doit donc être réduit à d ("ça fait comme si" les masses au dessus de d n'existaient pas).
    Sinon, sans cette considération, il parait évident que la force d'attraction au centre de la Terre serait infinie (alors qu'elle est nulle).
    Bonjour, et Merci.

  28. #25
    Amanuensis

    Re : Réduction à un point matériel

    Pour d tendant vers 0, la gravitation selon la loi de Newton tend toujours vers l'infini, même pour un point matériel. Jamais vers 0.

    Le 0 au centre de la Terre vient de la compensation des différentes "forces d'attraction", pas d'un effet de limite.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  29. #26
    coussin

    Re : Réduction à un point matériel

    C'est le Shell Theorem, conséquence directe des lois en 1/r² : https://en.wikipedia.org/wiki/Shell_theorem

  30. #27
    Black Jack 2

    Re : Réduction à un point matériel

    Bonjour,

    Pour compléter, dans le cas d'une symétrie sphérique, un point qui n'a pas été abordé, est la validité de la loi en d²
    d n'est pas indépendant du diamètre de la sphère (et donc la question de la réduction à un point matériel doit prendre en compte le diamètre).
    Par exemple, si d<diamètre, ...


    Si, cela a été mentionné, avec d'autres mots, dans le message 6.

  31. #28
    LeMulet

    Re : Réduction à un point matériel

    Citation Envoyé par coussin Voir le message
    C'est le Shell Theorem, conséquence directe des lois en 1/r² : https://en.wikipedia.org/wiki/Shell_theorem
    Tout à fait, merci pour le rappel, c'est bien à ce théorème que je pensais.

    Citation Envoyé par Black Jack 2
    Si, cela a été mentionné, avec d'autres mots, dans le message 6.
    /../
    La distance à mettre dans la "force de gravitation de Newton" (si ils sont un contre l'autre) est alors la somme des 2 rayons des sphères réelles.
    Ce n'est pas la même chose, vous parlez de la limite réelle des objets, alors que le shell (coquillage), défini un.espace délimité par la position de l'objet (par rapport au centre), qui subi l'attraction.
    C'est une limite imaginaire.

    Citation Envoyé par Wikipedia
    Isaac Newton proved the shell theorem[1] and stated that:
    1. A spherically symmetric body affects external objects gravitationally as though all of its mass were concentrated at a point at its centre.
    2. If the body is a spherically symmetric shell (i.e., a hollow ball), no net gravitational force is exerted by the shell on any object inside, regardless of the object's location within the shell.
    https://en.wikipedia.org/wiki/Shell_theorem
    Bonjour, et Merci.

  32. #29
    Amanuensis

    Re : Réduction à un point matériel

    Citation Envoyé par LeMulet Voir le message
    alors que le shell (coquillage), défini un.espace délimité par la position de l'objet (par rapport au centre), qui subi l'attraction.
    C'est une limite imaginaire.
    Non.

    Lire les références même indiquées!!!

    (Et "shell" se traduit par "coquille", ce qui a son importance. Coquillage se dit shellfish.)
    Dernière modification par Amanuensis ; 05/02/2019 à 21h14.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  33. #30
    LeMulet

    Re : Réduction à un point matériel

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Non.

    Lire les références même indiquées!!!

    (Et "shell" se traduit par "coquille", ce qui a son importance. Coquillage se dit shellfish.)
    Carrément que ça a son importance, c'est pour ça que j'ai hésité et préféré coquillage (Mon coquillage, lui, est plein. )
    Bonjour, et Merci.

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