Exo sur relativité restreinte

[inviteda391752]

Svp un exercice de relativité qui veut me troublè. aidez moi!
VOYAGE VERS ANDROMÈDE
Exercice :
La galaxie d'Andromède est situé à 2,3millions d'année-lumiere de la terre.On considère que la terre et Andromède sont des points sans mouvement relatif. On décide de visiter Andromède grâce à une fusée voyageant à vitesse constante depuis la terre jusqu'à Andromède.
1) Si le temps mis pour faire le voyage est de 2,31millions années pour les observateurs terrestre , qulle est la vitesse de la fusée ? Quelle est la durée du voyage pour les passagers de la fusée ? Seront-ils encore vivant à la fin du voyage ?
2)On considère que le voyage en fusée n'excède pas 20 ans pour les passagers . Quelle est la vitesse minimale à communiquer à la fusée pour réaliser ce projet ? Combien de temps dure ce voyage pour un observateur terrestre ?
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[JPL]

Lis d’abord EXERCICES et FORUM et fais ce qui y est demandé. Tu auras de l’aide ensuite.

Rappel de la charte du forum :

La courtoisie est de rigueur sur ce forum : pour une demande de renseignements bonjour et merci devraient être des automatismes.

[jacknicklaus]

Cher Einstein,

il ne fait pas de doute que vous connaissez M Lorentz. Sa "transformation" éponyme jouit d'un certain succès auprès de tout étudiant en relativité.

avec toute mon admiration
cordialement
JN

[lodeli]

Coucou, c'est remoi

juste une petite question (vous n'êtes pas obligé de répondre)
si un voyageur quitte la terre en l'an 2000, qu'il voyage pendant 10 ans et que son temps propre évolue deux fois moins vite que celui de la terre.

Que se passe-t-il ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

si un voyageur quitte la terre en l'an 2000, qu'il voyage pendant 10 ans et que son temps propre évolue deux fois moins vite que celui de la terre.

Bonjour,
Un exercice simple qui aiderait peut être le demandeur : Le voyageur se déplace pendant 10 ans pour lui, je suppose, il se passe donc 20 ans dans le référentiel terrestre.
Le rapport 2 permet de calculer la vitesse = 86,6 de c
Dans le référentiel de départ le voyageur a parcouru 20*0,866 soit 17,32 années-lumière.
Il a accéléré, voyager 10 ans, ralenti et se retrouve à 17,32 al de la Terre.
Il faut remarquer que pour le voyageur, l'espace s'est contracté d'un facteur 2 pendant le voyage, pour retrouver son aspect normal après l'arrêt.

Quelles questions cela vous pose ?

[lodeli]

j'ai oublié de préciser qu'il revenait sur terre

[phys4]

Pour le retour, il suffit de doubler : à la même vitesse il reviendra sur Terre en dix ans pour lui, et en 20 ans pour la Terre :
Nous serons en 2040, puisque le calendrier c'est la Terre qui le gère, le voyageur n'aura lui vieilli que de 20 ans pendant son aller-retour.

Il faut bien comprendre ce problème simple, posé à l'origine par Langevin, avant d'aller plus loin dans ce domaine.
Le point suivant pour bien comprendre, c'est d'examiner les signaux échangés au cours du voyage.

[mach3]

Coucou, c'est remoi

juste une petite question (vous n'êtes pas obligé de répondre)
si un voyageur quitte la terre en l'an 2000, qu'il voyage pendant 10 ans et que son temps propre évolue deux fois moins vite que celui de la terre.

Que se passe-t-il ?

j'ai oublié de préciser qu'il revenait sur terre

L'énoncé n'est pas complet. 10 ans pour qui? les gens restés sur Terre? ou le voyageur. On a prendre 10 pour la Terre dans ce qui suit.

Il y a trois façons complémentaires traiter le problème:
-l'approche géométrique (on utilise le théorême de pythagore et/ou la trigonométrie version Minkowski, pas de référentiel, pas de coordonnées)
-l'approche observationnelle (on utilise l'effet Doppler)
-l'approche par les référentiels et les systèmes de coordonnées

Considérons trois évènements :
A : départ de la Terre
B : demi-tour à la moitié du voyage
C : retour sur Terre
Considérons que la Terre est en mouvement rectiligne uniforme (on pourrait prendre en compte son vrai mouvement, mais ça n'apporterait rien, surtout que dans notre cas l'effet serait négligeable) et que le voyageur, en dehors des phases de départ, de retour et d'arrivée qui seront considérée comme des accélérations instantanées (on pourrait très bien traiter des phases d'accélérations "raisonnables" pour le départ, le demi-tour et l'arrivée, cela se fait très bien, mais c'est une complication inutile pour l'instant), est également en mouvement rectiligne uniforme entre A et B, puis entre B et C.

approche géométrique

l'intervalle AC vaut 10 ans, les intervalles AB et BC valent 2.5 ans chacun. On ajoute l'évènement D, tel que AD est colinéaire à AC et orthogonal à DB. On peut montrer facilement que l'intervalle AD vaut 5 ans (démo sur demande).
Le théorème de Pythagore dans le triangle ADB rectangle en D donne AB²=AD²+DB², donc DB²=AB²-AD²=2.5²-5²=-25*3/4=-18.75. DB est donc un intervalle de genre espace qui vaut 2.5√3 ~4.33 années-lumières (la racine de 18.75).
La tangente hyperbolique de l'angle hyperbolique DAB est donné par le rapport du coté opposé sur le coté adjacent à l'angle : DB/AD = √3/2. C'est la vitesse relative entre la Terre et le voyageur pour l'aller, qui est donc de ~0.866 années-lumières par an, soit à peu près 260 000 km/s.
De façon similaire on montre que la vitesse relative entre la Terre et le voyageur est la même pour le retour (mais orientée dans le sens inverse).
lodeli geometrique.png

approche observationnelle

durant 2 ans et demi, le voyageur va voir la Terre s'éloigner de lui à 260 000km/s. Le délai de propagation des images de la Terre (elles voyagent à la vitesse de la lumière) vers le voyageur fait que sur ces deux ans et demi il ne verra que 8 mois s'écouler sur Terre, en effet, avec une telle vitesse d'éloignement, l'effet Doppler ralenti ce qu'on voit de la Terre d'un facteur ~3.73. Ensuite, durant 2 ans et demi, le voyageur voit la Terre s'approcher de lui à 260 000km/s. L'effet Doppler s'inverse, en deux ans et demi, il voit 2.5x3.73=9 ans et 4 mois d'écouler sur Terre. Ce qui, avec les 8 mois vu pendant l'aller, nous fait bien 10 ans au total
Inversement, durant 9 ans et 4 mois, les personnes restées sur Terre voient le voyageur s'éloigner à 260 000 km/s et l'effet Doppler fait qu'ils voient, pendant ces 9 ans et 4 mois, 2 ans et demi s'écouler dans le vaisseau. Puis durant 8 mois, les personnes restées sur Terre voient le voyageur s'approcher à 260 000 km/s, l'effet Doppler s'inverse, en 8 mois, ils voient 2 ans et demi s'écouler pour le voyageur
lodeli doppler.png
(Pour ces schémas on a ajouté un évènement E qui est le départ d'un signal lumineux de la Terre de façon à ce qu'il atteigne le vaisseau au moment de son demi-tour et un évènement F qui est la réception par la Terre d'un signal lumineux émit par le voyageur au moment où il fait demi-tour (les trajets des signaux étant matérialisés par les flèches jaunes))

enfin l'approche par les référentiels/les coordonnées

On considère 3 référentiels.
R1 dans lequel la Terre est immobile, la datation étant le calendrier terrestre (choix arbitraire) et l'origine spatiale la Terre
R2 dans lequel le voyageur est immobile durant l'aller, la datation étant telle qu'elle coïncide avec celle de R1 en l'évènement A (choix arbitraire) et l'origine spatiale coincidant avec le vaisseau pendant l'aller
R3 dans lequel le voyageur est immobile durant le retour, la datation étant telle qu'elle coincide avec celle de R1 en l'évènement C (choix arbitraire) et l'origine spatiale coincidant avec le vaisseau pendant le retour
Dans R1, les dates et lieux de évènements sont :
A : janvier 2000, à l'origine de l'espace
B : janvier 2005, à 4.33 AL de l'origine
D : janvier 2005, à l'origine de l'espace
C : janvier 2010, à l'origine de l'espace

Dans R2 :
A : janvier 2000, à l'origine de l'espace
B : juin 2002, à l'origine de l'espace
D : janvier 2010, à 8.66 AL de l'origine
C : janvier 2020, à 17.32 AL de l'origine

Dans R3 :
A : janvier 1990, à 17.32 AL de l'origine
B : juin 2007, à l'origine de l'espace
D : janvier 2000, à 8.66 AL de l'origine
C : janvier 2010, à l'origine de l'espace

Le passage de l'un à l'autre se faisant par les transformations de Lorentz (on développera le calcul sur demande).
lodeli R1.png
lodeli R2.png
(vous me ferez grâce du schéma pour R3...)

m@ch3

[lodeli]

merci pour vos réponses quintessenciées

[lodeli]

bonjour mach3

Quand j'ai vu votre réponse, j'ai d'abord cru à une blague. En approfondissant j'ai compris que ça n'était pas du tout le cas, mais au contraire qu'il s'agissait d'une étude sérieuse et approfondie.

Je souhaiterais toutefois faire un commentaire dans la lignée de ce que j'ai pu dire sur le site et qui m'a valu une quasi expulsion. Comme je ne souhaite relancer la situation, je m'en remets à vous et je vous demande l'aval pour faire ce commentaire.

Merci de me répondre

[phys4]

Il faut éviter les commentaires absurdes fabriquées à partir de théories personnelles.
Pour les exemples données ici, il y a une remarque qui devrait vous intéresser : comment apparait la dissymétrie des durées, ce qui fait que les durées sont différentes alors que les repères et les effets Doppler apparaissent parfaitement symétriques ?
J'ai volontairement laissé de coté cet aspect, pour vous laisser le loisir d'évoluer lentement, mais après l'exposé complet de "mach3", il devient nécessaire de faire ressortir ce point.

Vous remarquerez que c'est le mobile accéléré qui a toujours le temps propre le plus court, bien que l'accélération n'apparaisse pas dans les relations. L'accélération n'a pas d'effet direct, elle n'agit que par la variation de vitesse.
Si l'on prend le cas de l'effet Doppler, les effets semblent complétement symétriques, mais il ya une différence dans les durées qui provient d'un fait simple : pour le mobile qui change de vitesse, l'effet Doppler s'inverse exactement avec la variation de vitesse. Pour l'observateur fixe, l’effet Doppler s'inverse quand il reçoit l'information que le mobile a changé de vitesse. C'est ce qui fait toute la différence.
C'est identique pour un déplacement sur un cercle : si je considère un observateur fixe sur le cercle et un mobile qui fait le tour du cercle, l'échange de signaux se fait avec une variation continue de fréquence qui dépend de l'angle du signal avec la vitesse du mobile. Alors que l'échange peut paraitre symétrique, la fréquence change pour le mobile à mesure qu'il change de vecteur vitesse, alors que l'observateur fixe ne voit le changement de fréquence qu'au retour du signal.

[lodeli]

Petit problème de jumeaux

La terre tourne à 1500 km/h
un voyageur tourne en avion à 1500 km/h en sens inverse de la terre.
Son jumeau est resté sur terre ; le voyageur va donc vieillir moins vite que son frère.
Par rapport à un observateur extérieur à la terre, le voyageur va faire du surplace alors que le terrien va se déplacer à 1500 km/h

Question :
qui est le plus jeune ?

[phys4]

La terre tourne à 1500 km/h
un voyageur tourne en avion à 1500 km/h en sens inverse de la terre.
Son jumeau est resté sur terre ; le voyageur va donc vieillir moins vite que son frère.
Par rapport à un observateur extérieur à la terre, le voyageur va faire du surplace alors que le terrien va se déplacer à 1500 km/h

Question :
qui est le plus jeune ?

Je pense avoir déjà répondu à cette question, vous pouvez examiner l'échange de signaux entre un observateur sur un disque fixe, et un voyageur faisant le tour du disque : celui qui fait le tour du disque reçoit sure tour plus de secondes de celui qui reste fixe, son temps propre est donc plus court, comme d'habitude.
Un petit malin pourrait s'amuser à faire tourner le disque, pour inverser le rôle des observateurs, mais cela ne fonctionne pas. Comme pour le problème de Langevin, on utilise plus ou moins implicitement un repère inertiel.
La lumière a une vitesse et une fréquence constante dans un repère inertiel, si le repère n'est pas inertiel, ce n'est plus vrai : en repère accéléré la fréquence change, la lumière ne se déplace plus en ligne droite et sa vitesse peut même changer !
Or le disque tournant n'est pas un repère inertiel, ce qui casse la symétrie.
C'est donc celui qui reste fixe sur une Terre qui tourne qui est le véritable voyageur et dont le temps propre est plus petit.

[Deedee81]

Salut,

La réponse a été donnée. Juste un commentaire complément.

A noter qu'il y a un soucis énorme à prendre un référentiel tournant en RR. On montre facilement que la synchronisation d'Einstein est incohérente (y avait un beau article à dessus sur le net à une époque, mais il a malheureusement disparu). Cela introduit un "time gap" lors d'un tour complet, ce qui complique singulièrement les choses et conduit à des paradoxes si on en tient pas compte.
C'est d'ailleurs pour cela qu'avec des référentiels accélérés (comme un référentiel tournant) il est préférable de travailler avec les formes locales : la forme différentielle de l'intervalle, intégration étou étou.

Il est à noter d'ailleurs qu'il y a là une différence énorme entre un espace-temps euclidien et un espace-temps de Minkowski.
Si l'on réalise un tranche spatiale dans l'espace euclidien, pour un référentiel tournant et à quatrième coordonnée constante, on obtient un plan euclidien.
Mais ça ne marche pas avec Minkowski, on obtient un espace à deux dimensions hyperbolique avec une coupure (le time gap).
C'est un des cas les plus jolis et les plus difficiles à traiter avec la RR (l'autres du même style est le repère de Rindler).

La géométrie de Minkowski n'est pas très compliquée mais elle contient des pièges sacrément contre-intuitif pour nous pauvres humains coincés dans notre vision euclidienne !

[Deedee81]

On montre facilement que la synchronisation d'Einstein est incohérente (y avait un beau article à dessus sur le net à une époque, mais il a malheureusement disparu).

Ah ! Mais ils en parlent dans wikipedia, c'est déjà ça
https://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_Sagnac

[mach3]

Demande de précisions :

La terre tourne à 1500 km/h : c'est la vitesse d'un point de la Terre de latitude +-25° par rapport à un référentiel où le centre de la Terre est immobile et qu'on va considéré comme galiléen?
un voyageur tourne en avion à 1500 km/h en sens inverse de la terre. : vu la suite, c'est une vitesse par rapport à la surface de la Terre, choisie pour faire en sorte que le voyageur possède une vitesse nulle par rapport au référentiel galiléen sus-cité?

Son jumeau est resté sur terre ; le voyageur va donc vieillir moins vite que son frère.

incorrect si la réponse aux deux précisions est OUI.

Par rapport à un observateur extérieur à la terre, le voyageur va faire du surplace alors que le terrien va se déplacer à 1500 km/h

Le voyageur à une vitesse nulle par rapport au référentiel galiléen où le centre de la Terre est immobile et le terrien à une vitesse de 1500km/h dans ce même référentiel galiléen (l'observateur extérieur, pas extérieur, osef).

qui est le plus jeune ?

Conclusion immédiate que vous devriez être capable de faire correctement si vous avez digéré la copieuse prose dont je vous ai abreuvé en privé.

m@ch3

[lodeli]

incorrect si la réponse aux deux précisions est OUI.

Si les 2 réponses sont "oui", on est dans le cas idéal de la RR. Donc le voyageur est plus jeune que son jumeau terrien (dans le référentiel du terrien)

Le voyageur à une vitesse nulle par rapport au référentiel galiléen où le centre de la Terre est immobile et le terrien à une vitesse de 1500km/h dans ce même référentiel galiléen (l'observateur extérieur, pas extérieur, osef).

Donc dans ce cas c'est le terrien qui est le plus jeune.

Encore un cas qui conduit à des réponses contradictoires suivant le choix des référentiels.

[mach3]

Si les 2 réponses sont "oui", on est dans le cas idéal de la RR. Donc le voyageur est plus jeune que son jumeau terrien (dans le référentiel du terrien)

non, on n'est pas dans le "cas idéal de la RR" (WTM). Le référentiel terrestre n'est pas galiléen.

Donc dans ce cas c'est le terrien qui est le plus jeune.

C'est le terrien qui est le plus jeune parce que sa ligne d'univers n'est pas une droite mais une hélice, alors que la ligne d'univers du voyageur est une droite (et ceci indépendamment du référentiel ou du système de coordonnée, c'est intrinsèque).
En géométrie de Minkowski, une droite de genre temps entre deux évènements est toujours plus longue qu'une autre courbe entre ces deux évènements (comme par exemple une hélice). La différence entre une ligne d'univers droite et une ligne d'univers courbe est intrinsèque, c'est analogue au rayon de courbure d'une ligne en géométrie euclidienne (sauf qu'au lieu d'être la distance au centre d'un cercle, c'est l'intervalle au centre d'une hyperbole), et ça se mesure concrètement avec un accéléromètre (il ne mesure rien si sa ligne d'univers est droite, mais mesure quelque chose si sa ligne d'univers est courbe) qui donne l'inverse du "rayon" de courbure (à un facteur c ou c² près, ça dépend des unités après). Précisons qu'ici on néglige totalement la gravitation, on n'est pas en RG, et vu les difficultés que vous rencontrez en RR, parler de RG serait probablement contre-productif.

Encore un cas qui conduit à des réponses contradictoires suivant le choix des référentiels.

encore un cas qui conduit à des réponses contradictoires pour ceux qui n'ont pas compris la spécificité des référentiels inertiels, n'ont peut-être même pas vraiment compris ce qu'est un référentiel et feraient mieux d'aborder la RR sans notion de référentiel, c'est-à-dire sous l'angle purement géométrique. Pour les autres la réponse est nette et sans équivoque : le voyageur vieillit plus vite pour ce cas.

m@ch3