Dérivée fonctionnelle

[Malo257]

Bonjour, je n'arrive pas a comprendre cette équation de la dérivée fonctionnelle
https://wikimedia.org/api/rest_v1/me...0ae77b5e918ace

Je ne comprends pas à quoi correspondent "x" et "z", l'utilisation du symbole delta et l'utilisation d'un ensemble vide. Je suppose que l'ensemble vide sert à la minimisation, par exemple, d'un potentiel énergétique.

Merci de m'aider
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[Malo257]

Correction, ce n'est pas un ensemble vide mais plutôt le symbole de phi

[Deedee81]

Salut,

Phi est manifestement une fonction avec un seul argument, qu'on peut noter x ou z, comme on veut.
Phi(x) est ainsi la valeur de la fonction pour l'argument valant x (ou une fonction d'autres arguments s'ils ne sont pas indiqués)

La dérivée fonctionnelle consiste à dériver par rapport (ici) à Phi(z) vu comme une variable.

Par conséquent, la dérivée fonctionnelle par rapport à Phi(z) consiste à dériver l'expression par rapport à la "variable Phi(z)". Or dans l'expression ce qu'on a c'est Phi(x).
Donc si x = z alors la dérivée donne 1 et si x != z, ça donne 0. Et donc on a une fonction nulle partout (en fonction de x) sauf en un point (et d'intégrale égale à 1).
Donc le résultat est delta(x-z) (la distribution de Dirac).

J'espère avoir été clair (à défaut d'avoir été formel et rigoureux)

[Malo257]

D'accord merci de votre aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Malo257]

Salut,

Phi est manifestement une fonction avec un seul argument, qu'on peut noter x ou z, comme on veut.
Phi(x) est ainsi la valeur de la fonction pour l'argument valant x (ou une fonction d'autres arguments s'ils ne sont pas indiqués)

La dérivée fonctionnelle consiste à dériver par rapport (ici) à Phi(z) vu comme une variable.

Par conséquent, la dérivée fonctionnelle par rapport à Phi(z) consiste à dériver l'expression par rapport à la "variable Phi(z)". Or dans l'expression ce qu'on a c'est Phi(x).
Donc si x = z alors la dérivée donne 1 et si x != z, ça donne 0. Et donc on a une fonction nulle partout (en fonction de x) sauf en un point (et d'intégrale égale à 1).
Donc le résultat est delta(x-z) (la distribution de Dirac).

J'espère avoir été clair (à défaut d'avoir été formel et rigoureux)

Mais dans ce cas, je ne vois pas le rapport avec le tenseur énergie-impulsion qui est, dans mon cas, défini par cette équation:https://wikimedia.org/api/rest_v1/me...2b05e47eb596eb

[albanxiii]

Il n'y en n'a pas.

Il faut prendre comme une règle de calcul plus qu'autre chose.

Alors que le tenseur énergie-impulsion est défini comme étant la dérivée fonctionnelle de l'action par rapport à la métrique, avec le coefficient qui va bien devant.
On peut aussi arriver à cette expression en utilisant le théorème de Noether et en cherchant les courants conservés sous certaines symétries (la RG n'étant pas mon domaine, je me contenterai de dire qu'en espace-temps plat, c'est par rapport aux translations. En espace-temps courbe, je ne maîtrise pas).

[Malo257]

Je penses avoir trouvé la bonne équation mais je me pose une question sur elle.
https://wikimedia.org/api/rest_v1/me...190a1289c124de
Vu que il y a une division par "delta.phi(x)" puis juste après une multiplication par "delta.phi(x)", s'annulent ils? Ni aurait il pas moyen d'enlever les deux "delta.phi(x)" et de simplifier l'équation?

[Malo257]

Et par la même, il y a un autre problème, car "delta.F[phi]" est égal à "delta.F[phi]" mais qui est différent. Elle se casse un peut la gueule cette équation. Après je n'ai que 14 ans donc je suis sans aucun doutes à côté de la plaque

[invite54165721]

ce qu'il faut bien voir c'est qu'une dérivée fonctionnelle est une dérivée dans une direction et cette direction peut
etre soit une fonction soit une distribution comme un dirac.
une telle dérivation pourra ainsi etre notée ou selon le cas.
elle agit sur une fonctionnelle F (qui associe un nombre a une fonction)

dans le cas de cette écriture incorrecte consiste a faire agir
sur
est vue comme la fonctionnele F qui a la fonction phi lui attribue sa valeur en r.
Qund a il ne faut pas le voir comme un quotient ou quelque chose comme ca,
c'est simplement une notation pour la dérivée dans la direction du dirac en r'

source "l'intégrale fonctionnelle" de Philippe Martin. excellent petit livre sur le sujet. tres cher sur amazon meme si on peut l'acheter d'occasion.

[invite54165721]

on peut aussi (d'une maniere plus simple?) utiliser cette propriété générale des dérivées fonctionnelles:



en consiérant le cas particulier
on a donc a calculer qui est selon la propriété générale égal a