Qu'est-ce qu'une variable cachée ?

[Pio2001]

Bonjour,
J'aimerais, pour mieux saisir le sens du théorème de Bell, comprendre exactement ce que c'est qu'une variable cachée.

Le théorème de Bell dit que les résultats de la mécanique quantique sont incompatibles avec toute théorie à variables cahcées locales. Et il y a plusieurs démonstrations de ce résultat : Bell, CHSH, et GHZ notamment.

Il faut donc regarder, dans ces démonstrations, comment la notion de variable cachée est introduite, et à quel moment on l'utilise. Car c'est précisément cela qui conduit à la conclusion.

J'avais dans l'idée qu'une variable cachée pouvait, dans la démonstration CHSH, être n'importe quelle information de laquelle dépendrait le résultat d'une mesure binaire.
La violation de l'inégalité signifierait alors soit que la localité est violée (le résultat en A dépend de ce qui est fait en B), soit que le résultat ne dépend de rien, autrement dit il n'existe pas de fonction attribuant, à une variable cachée lambda et à un type de mesure effectuée, un résultat donné.

Est-ce que c'est bien cela ?
Est-ce la même chose dans la démonstration GHZ ? (Apparemment, la démonstration de Bell n'est pas aussi complète que la démonstration CHSH).
Quel sens physique donne-t-on à cela ?
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[invite69d38f86]

Quand t'es dans le désert depuis trop longtemps tu't demandes a quoi ca sert...

[invite1ef094fd]

Bonjour,

J'exprimerais la chose différemment :

La violation de l'inégalité signifierait alors soit que la localité est violée (le résultat en A dépend de ce qui est fait en B),

Je dirais que la violation des inégalités de Bell signifie qu'il ne peut y avoir de variables cachées locales.

soit que le résultat ne dépend de rien, autrement dit il n'existe pas de fonction attribuant, à une variable cachée lambda et à un type de mesure effectuée, un résultat donné.

J'aurais dit que le résultat n'impose pas l'existence de variables cachées.

La conclusion étant que la violation des inégalités de Bell est compatible avec l'existence de variables cachées à conditions qu'elles soient non locales, ces dernières n'étant ni interdites, ni imposées.

Quel sens physique donne-t-on à cela ?

C'est la bonne question !

Cordialement,

[Pio2001]

Up !

Quand on parle de "variable cachée" dans le théorème de Bell, mathématiquement, cela représente quel objet ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d38f86]

c'est le réel lambda que l'on trouve ici
ou tout autre objet (vecteur etc) qui déterminerai A et B et sur lequel on peut intégrer

[Deedee81]

Salut,

Quand on parle de "variable cachée" dans le théorème de Bell, mathématiquement, cela représente quel objet ?

Les variables cachées sont :
- un ensemble de grandeurs physiques associées à un système modélisées par un ensemble de variables mathématiques de nature quelconque.
- ces grandeurs ne sont pas observées directement (en principe non observable bien que ce ne soit pas une exigence stricte) et ne sont pas décrites par la MQ
- le résultat d'une mesure, par exemple, du spin est totalement déterminé par l'état quantique S de spin et ces variables L selon une certaine fonction f(S,L).
- les variables sont locales si elles sont définies localement (particule par particule) et non globalement (pour une paire de particules par exemple).

Notons qu'outre Bell, les variables cachées sont aussi extrêmement contraintes par le théorème de Kochen-Specker.
Mais au moins si elles sont non locales et pour la MQ non relativiste, ça peut marcher (Bohm).

[Pio2001]

c'est le réel lambda que l'on trouve ici
ou tout autre objet (vecteur etc) qui déterminerai A et B et sur lequel on peut intégrer

Merci !
On peut lire dans le paragraphe expliquant l'inégalité de Bell (1971) :

λ is assumed to be drawn from a fixed distribution of possible states of the source, the probability of the source being in the state λ for any particular trial being given by the density function ρ(λ), the integral of which over the complete hidden variable space is 1

On considère que λ est sélectionné parmi une distribution fixée d'états possible de la source, la probabilité que la source soit dans l'état λ pour une mesure donnée étant donnée par la fonction densité ρ(λ), dont l'intégrale sur l'espace complet des variables cachée est 1.

J'en déduis que si on choisit de rejeter la notion de variable cachée, cela revient à dire que la source ne peut pas toujours être dans un "état défini" lors d'une mesure.

Salut,
Les variables cachées sont :
- un ensemble de grandeurs physiques associées à un système modélisées par un ensemble de variables mathématiques de nature quelconque.

D'accord. C'est synonyme de ce qu'on a vu au-dessus.
Si on suit cette formulation, rejeter la notion de variable cachée reviendrait donc à dire qu'un système donné ne peut pas toujours "avoir de grandeurs physiques associées".

- ces grandeurs ne sont pas observées directement (en principe non observable bien que ce ne soit pas une exigence stricte) et ne sont pas décrites par la MQ

Ne sort-on pas ici du contexte de l'inégalité de Bell ? Dans l'inégalité de Bell, les variables cachées sont indépendantes de la mécanique quantique.

- le résultat d'une mesure, par exemple, du spin est totalement déterminé par l'état quantique S de spin et ces variables L selon une certaine fonction f(S,L).

Ah oui, en effet, il y a l'existence de cette fonction qui est supposée.
L'hypothèse des variables cachées revient donc à dire qu'on suppose que tout système se trouve dans un état physique donné lorsqu'on fait une mesure sur lui, et aussi que le résultat de cette mesure est fonction de cet état (moyennant la possibilité pour les appareils de mesure d'avoir aussi des variables cachées, c'est pris en compte dans la démonstration).

- les variables sont locales si elles sont définies localement (particule par particule) et non globalement (pour une paire de particules par exemple).

Ce n'est pas très clair, car cela implique de définir ce qu'on entend par "particule", et de distinguer ce concept de celui de "paire de particules". Ce qui n'est pas trivial. Par exemple un proton est-il une particule, un triplet de particules, ou un triplet de paticules liées par une myriade de gluons ?

Dans le lien donné par Alovesupreme, la partie correspondante est :

assumption of independence of the two sides, enabling us to obtain the joint probabilities of pairs of outcomes by multiplying the separate probabilities, for any selected value of the "hidden variable" λ

J'ai ressorti de mes papiers l'article de John Bell "Introduction to the Hidden Variable Question". Il précise à ce sujet, en introduisant la démonstration de l'inégalité CHSH :

But our notion of locality requires that A does not depend on b, nor B on a.
[NDT : où A et B sont les résultats de mesure +/-1 et a et b le réglage des appareils de mesure... Désolé, je ne sais pas comment écrire "b chapeau", avec un accent circonflexe sur le b]

La notion de localité (qui, rappelons-le est celle qui nous intéresse dans "la MQ n'est pas compatible avec une théorie à variables cachées locales") consiste donc à dire qu'on peut faire une mesure A sans que le résultat puisse dépendre de ce qui se passe en B, où l'on fait une autre mesure.

Ce qui est encore assez flou pour moi, c'est ce qui se passe si λ est dépendant du temps. λ ne peut-t-il pas changer entre le moment où la source émet les particules, et le moment où on réalise les mesures, de sorte qu'on se retrouve avec une valeur de λ différente en A et en B ?
Je suppose que l'on résoud ce cas en considérant que le λ initial détermine tout ce qui va se passer ensuite jusqu'à la mesure. Il faut donc s'assurer que les particules soient complètement isolées jusqu'à leur mesure.
Mais au moment de la mesure, les particules peuvent interagir avec leur environnement (qui est l'appareil de mesure). Ah oui, mais cet environnement local, on peut l'inclure entièrement dans les variables a-chapeau et b-chapeau, qui décrivent les états des appareils de mesures respectifs, n'est-ce pas ?

La contrainte de localité est donc que les deux particules que l'on mesure ne puissent pas communiquer ou s'influencer entre le moment où elles sont émises et le moment où les mesures sont terminées.

Notons qu'outre Bell, les variables cachées sont aussi extrêmement contraintes par le théorème de Kochen-Specker.
Mais au moins si elles sont non locales et pour la MQ non relativiste, ça peut marcher (Bohm).

Le théorème de Kochen-Specker montre l'incompatibilité de la mécanique quantique avec toute description à variables cachées non contextuelles, je crois.
Ici, on n'a considéré que des variables cachées décrivant l'état d'un système, c'est-à-dire non contextuelles, justement. Mais dans le théorème de Bell, on considère à un moment la posibilité que les appareils de mesure aient eux-mêmes des variables cachées, et on en tient compte. Donc le théorème de Bell rejette toutes les variables cachées locales en MQ, et le théorème de KS toutes les variables cachées non contextuelles en MQ.

Donc, si on combine Bell et KS, la MQ n'est compatible qu'avec des variables cachées à la fois contextuelles et non locales.

Au passage, les variables cachées de Bohm sont-elles compatibles avec le théorème de Kochen-Specker ?

[Deedee81]

Salut,

Je suis d'accord que j'ai écrit ma définition au vol. Elle mérite quelques raffinements.

Au passage, les variables cachées de Bohm sont-elles compatibles avec le théorème de Kochen-Specker ?

Oui, mais ça impose de grosses contraintes.

[Pio2001]

Merci !
S'il n'y a pas d'autre intervention, je prendrai le temps de faire une synthèse.

[invite69d38f86]

si on a compris ce qu'est une variable cachée, il reste a préciser ce que signifie mathématiquement une variable locale.
quelles sont le genre de formules ou il lui est interdit d'apparaitre par exemple.
pour le th de bell, ou apparait la localité? etc

[Deedee81]

Salut,

si on a compris ce qu'est une variable cachée, il reste a préciser ce que signifie mathématiquement une variable locale.
quelles sont le genre de formules ou il lui est interdit d'apparaitre par exemple.
pour le th de bell, ou apparait la localité? etc

Dans le théorème de Bell, on a une paire de particules (intriquées) et cela se traduit par le fait que chaque particule a son propre jeu de variables cachées.
Mais il doit y avoir moyen de trouver une formulation plus générale.

[invite69d38f86]

je ne le crois pas
dans le lien donné plus haut a Pio on a une seule varianle lambda pour a et b.

[Deedee81]

je ne le crois pas
dans le lien donné plus haut a Pio on a une seule varianle lambda pour a et b.

Tu as raison, il y a quelque chose qui m'échappe dans cette démo. Ce n'est pas ce que moi j'avais lu.

[invite69d38f86]

il y a deux algorithmes pour trouver les résultats de mesures pour bob et alice A(a,lambda) et B(b,lambda)
ce que je vois la de local c'est que dans chacun d'eux il n'y a que des parametres locaux a pour bob et b pour alice;
par exemple l'angle entre a et b n'intervient pas dans les formules.

[Pio2001]

si on a compris ce qu'est une variable cachée, il reste a préciser ce que signifie mathématiquement une variable locale.

En fait il n'y a pas de "variable locale", mais une "condition de localité".

Sa formulation physique originale (EPR) est que l'on fait les mesures A et B dans des régions d'espace-temps séparées par un intervalle du genre espace, de sorte que rien ne peut aller de l'une à l'autre sans dépasser la vitesse de la lumière.

Bell généralise cette hypothèse en posant que ce qui est fait en A n'a pas d'effet en B et réciproquement (c'est la même chose, mais sans faire intervenir la notion d'espace-temps ou de vitesse de la lumière).

Mathématiquement, cela se traduit par le fait que la moyenne des mesures en A ne dépend pas du setup b de l'appareil B, et que la moyenne des mesures en B ne dépend pas du setup a de l'appareil A. (EDIT : croisement avec Alovesupreme).

Dans la démonstration, la localité intervient lorsqu'on passe de la ligne



à la ligne



En effet, dans le cas non local, A et B sont tous deux fonctions des trois variables a, b et lambda.

La première ligne peut donc se réécrire, par exemple :



Et il est impossible de passer à la ligne suivante, car dans l'intégrale de droite, on veut factoriser



or ce terme, avec un a et un b' en même temps, n'apparaît pas dans la première ligne.

[Pio2001]

or ce terme, avec un a et un b' en même temps, n'apparaît pas dans la première ligne.

Je voulais dire "n'apparaît pas dans le dernier terme de la ligne précédente".

[Deedee81]

Salut,

D'accord, merci de mon analyse.
C'est plus clair.
(c'est trop loin dans ma mémoire tout ça, j'avais pourtant potassé ce théorème il y a pas mal d'années).

[invite69d38f86]

@Pio ces termes n'apparaissent pas parce que tu ne les a pas mis
dans la démonstration on part de deux termes quadratiques style AB puis a chacun on ajoute un terme nul du genre ABA'B' - ABA'B' on arrive a 6 termes
toi tu arrives a 4 parce que tu as oublié un couple de somme nulle.

[invite69d38f86]

il manque
moijns le meme terme. soit donc ajouter 0

[Pio2001]

il manque
moijns le meme terme. soit donc ajouter 0

Cela ne fonctionne pas.
Simplifions les notations pour y voir plus clair : laissons tomber les intégrales, les moyennes et les lambdas, et posons :






La démonstration du théorème CHSH utilise la factorisation suivante :

AB-AD + ABCD - ABCD
= AB (1 +/- CD) - (AD (1 +/- BC)

Maintenant, passons au cas non local. Nous devons pour cela introduire des termes croisés faisant intervenir a, b, a' et b' dans toutes les configurations possibles :










Tu proposes de rajouter deux autres termes. Cela donne :

AB - ED + ABGH - ABGH + EDCF - EDCF
= AB (1 +/- GH) - (ED (1 +/- CF)) - ABGH + EDCF

On retrouve bien la même factorisation, mais on se retrouve avec un ABGH et un EDCF en trop sur les bras. La démonstration ne marche plus.

[invite69d38f86]

Tu proposes de rajouter deux autres termes. Cela donne :

AB - ED + ABGH - ABGH + EDCF - EDCF
= AB (1 +/- GH) - (ED (1 +/- CF)) - ABGH + EDCF

On retrouve bien la même factorisation, mais on se retrouve avec un ABGH et un EDCF en trop sur les bras. La démonstration ne marche plus.

AB - ED + ABGH - ABGH + EDCF - EDCF
= AB (1 +/- GH) - (ED (1 +/- CF)) + rien du tout
+/- GH c'est -GH = 0
idem pour +/-CF = 0
je ne sais pas si la démonstration ne marche pas apres mais la je ne vois pas encore de pb

[invite69d38f86]

Edit
+/-GH c'est GH - GH = 0

[invite69d38f86]

visiblement je ne comprend pas le sens de la notation "soulignée" ou pas pour A et B.

[invite69d38f86]

les elements soulignés semblent etre des densités de valeurs moyennes. on les integre sur lambda pour avoir les valeurs moyennes ok
la ligne en dessous on trouve ces memes éléments mais en plus on rajoute la différence du produit de 4 termes non soulignés
(on rajoute 0). pourquoi pas.
mais comment ces termes non souslignés se retrouvent ils soulignés la ligne en dessous précédés du signe +/- ?

[invite6486d7bd]

En fait il n'y a pas de "variable locale", mais une "condition de localité".

Sa formulation physique originale (EPR) est que l'on fait les mesures A et B dans des régions d'espace-temps séparées par un intervalle du genre espace, de sorte que rien ne peut aller de l'une à l'autre sans dépasser la vitesse de la lumière.

Bell généralise cette hypothèse en posant que ce qui est fait en A n'a pas d'effet en B et réciproquement (c'est la même chose, mais sans faire intervenir la notion d'espace-temps ou de vitesse de la lumière).

En fait, ce n'est pas que rien de peut aller de "l'une à l'autre" (termes de plus qui méritent d'être explicités un peu mieux du fait de la dualité onde/corpuscule) sans dépasser la vitesse de la lumière.
Rien ne peut dépasser C localement. (c'est un principe qu'il n'est pas nécessaire de remettre en cause)
Mais il n'y a aucune raison que d'un point de vue extérieur au phénomène (les particules intriquées ici), donc dit d'une certaine manière "globalement" , la vitesse apparente ne dépasse pas C.

Par exemple, si je tire un boulet de canon dans l'espace en dehors d'un astre ayant un environnement de très forte gravité, localement, le boulet présente une vitesse V1 (V1<C bien sûr).
Mais pour un observateur situé dans ce champ gravitationnel, cette vitesse apparente n'est pas V1 mais V2 > V1.

Le savant a bouleversé notre compréhension de l’espace et du temps, mais n’avait pas encore réussi à intégrer à sa théorie une force de la nature qui influence de nombreux phénomènes physiques : la gravité.

Dix ans plus tard, avec sa théorie de la relativité générale, Einstein parvient à la conclusion que le temps est modifié par la vitesse, et aussi par la gravité.


De grands corps célestes comme notre planète ralentissent aussi l’écoulement du temps.
Ainsi, près de la mer le temps passe plus lentement qu’au sommet d’une montagne. Il existe même une différence temporelle extrêmement petite entre nos pieds et notre tête ! Évidemment, il est impossible de s’en apercevoir !

https://www.quebecscience.qc.ca/pose...que-sur-terre/


Ce qui ne dit pas que c'est la gravité (que j'ai cité ici simplement en exemple) qui induit l'apparente instantanéité ou quasi instantanéité de la propagation du signal (s'il y en a un bien sûr, hypothèse donc), mais ceci, avec l'exemple de la gravité, indique qu'il est possible que sous certaines conditions une vitesse apparente puisse dépasser C.

[Pio2001]

AB - ED + ABGH - ABGH + EDCF - EDCF
= AB (1 +/- GH) - (ED (1 +/- CF)) + rien du tout

Ah ben si ! Redéveloppe la partie à droite du signe égal.
Tu dois trouver AB + ABGH - ED - EDCF
ou AB - ABGH - ED + EDCF
Et pas AB - ED

+/- GH c'est -GH = 0
idem pour +/-CF = 0

Non, ça veut dire vrai pour le signe plus partout, et vrai aussi pour le signe moins partout. Les +/- sont résolus 7 lignes plus bas, lorsqu'il est dit "which means that the left-hand side is less than or equal to both..."

C'est vrai que ce n'est pas clairement expliqué.

les elements soulignés semblent etre des densités de valeurs moyennes. on les integre sur lambda pour avoir les valeurs moyennes ok

Ce n'est peut-être pas indiqué dans l'article de Wikipedia. Dans l'article de John Bell "Introduction to the Hidden Variable Question", il explique qu'en toute rigueur, on doit considérer la possibilité que les appareils de mesure contiennent des variables cachées aussi.
On élimine ce problème en intégrant d'abord sur les variables cachées de chaque instrument, ce qui donne les valeurs A-barre et B-barre au lieu de A et B. D'habitude, on met les barres au-dessus. C'est la première fois que je les vois en-dessous.

A-barre représente la moyenne des résultats A par rapport à toutes les valeurs possibles des variables cachées de l'instrument A, pour une valeur de lambda donnée (variable cachée de la source) et une configuration a donnée.

la ligne en dessous on trouve ces memes éléments mais en plus on rajoute la différence du produit de 4 termes non soulignés
(on rajoute 0). pourquoi pas.

C'est une erreur. Ils ont oublié de les souligner.

[invite69d38f86]

d'accord pour l'oubli du soulignage
et quand A = B + c - c alors A est entre B - c et B + c.

mais je continue de douter sur le fait que dans cette demonstration quand a chaque fois qu'on a un produit A(a1)B(b2) (et la je n'écris pas le lambda) je le remplace par A(a1,b2)B(a1,b2) la démonstration reste correcte.

peux tu réécrire le passage ou tu dis que ca ne marche pas? inutile de souligner le A et B.

[Pio2001]

et quand A = B + c - c alors A est entre B - c et B + c.

Le signe +/- n'exprime pas ici une incertitude de mesure ni un encadrement. Il est utilisé pour contracter deux expressions en une.

AB-AD = AB (1 +/- CD) - (AD (1 +/- BC)) signifie qu'on a deux équations qui sont chacune une égalité stricte :

AB-AD = AB (1 + CD) - (AD (1 + BC))
et
AB-AD = AB (1 - CD) - (AD (1 - BC))

Par commodité, on écrit les deux équations sur une seule ligne avec le signe +/-, et par convention tacite, à chaque fois qu'on rencontre à nouveau le même signe dans la même équation, il doit prendre la même valeur (+ ou -) que la première fois.
Il existe le même signe la tête en bas (-/+), qui signifie qu'il faut à ce moment là utiliser le signe contraire.

Ceci étant dit, ton autre question tient-elle toujours ?

[invite69d38f86]

ces notations sont elles celles propres a l'auteur de l'article wiki ou reprennent elles ce CHSH?
j'aimerais voir la démonstation originale de cette preuve.

[Pio2001]

Je n'ai pas l'original de CHSH, ni celui de Bell, mais j'ai un article de John Bell de 1972 où il reprend la démonstration CHSH[1].

Les notations ne sont pas très différentes de celles de l'article de wikipedia :
Les coefficients E sont notés P (on a choisi E par la suite pour éviter la confusion avec le P de Probabilité).
Les settings a et b sont notés â et...b^ [NDA : je ne sais pas comment écrire b accent circonflexe]
Les barres sont au-dessus des A et B, et non en-dessous.
Le d-lambda et le rho de lambda sont juste derrière le signe d'intégration, et non à la fin.

La démonstration est plus détaillée en introduction. Après avoir donné l'intégrale définissant E(a, b) avec A = +/- 1 et B = +/- 1 (résultats de mesure directs, sans barre) :

Actually, we should be somewhat more general. The instruments themselves could contain hidden variables [10] which could influence the results. If we average first over these variables, we obtain the representation

S'ensuit la même expression, mais avec des barres au-dessus de A et B

where the averages A-bar and B-bar will be independant of b^ and â respectively, if the corresponding distributions of instrumental variables are independant of b and a, respectively, although, of course, they may depend on â and b^, respectively.
Instead of A = +/-1, B = +/- 1,
we now have
|A-bar| <= 1, |B-bar| <= 1,
and this suffices to derive an interesting restriction on P.

Je n'ai pas tout remis en LateX, dans l'original, les barres, les accents circonflexes, les +/- et les <= sont proprement écrits.

Par, contre, le coeur de la démonstration est plus compact. L'article de Wikipedia donne davantage de calculs intermédiaires. L'article de Bell saute plusieurs lignes (celle où on fait +ABCD-ABCD, par exemple) et explications intermédiaires (il ne parle pas de l'inégalité triangulaire, c'est censé être évident).

[1]J.S.Bell, Introduction to the hidden-variable question, Societa Italiana di Fisica. Rendiconti della scuola internazionale di fisica "`Enrico Fermi"', Il corso fondamenti di mecanica quantistica, Academic Press, New York and London, 1972.