les transformations canoniques
conservent la forme des équations de Hamilton (le hamiltonien n'étant pas forcément laissé invariant)
de meme que les relations de commutations canoniques pour les bosons.
ca veut dire que si on a [p,q ] = id alors on aura [p',q' ] = id pour les quantités transformées.
Existe t il des transformations canoniques pour des théories phi^4 avec des lambdas différents?
Rappel de la charte du forum :
2. La courtoisie est de rigueur sur ce forum : pour une demande de renseignements bonjour et merci devraient être des automatismes.
Not only is it not right, it's not even wrong!
rectification il fallait lire bien sur:
Envoyé par alovesupreme
Cette question m'est venue a l'esprit en lisant ce pdf de Massimo Blasone
Pourriez vous m'aider a propos d'une égalité?
c'est a la fin dans l'appendice dans (A.2) il écrit exp(A) B exp (-A) = exp ([A,.]) B
il y a une exponentielle de commutateur avec une variable muette....
il y a bien la formule de Baker campbell mais je ne comprends pas.
merci pour vos recherches.
Bonjour,
Dans cette formule, [A,.] est un opérateur (l'opérateur qui à C associe [A,C]). La composition des opérateurs définit une multiplication sur les opérateurs: par exemple, [A,.]²=[A,[A,.]], et on peut donc définir l'exponentielle d'un opérateur: exp([A,.]) est la somme sur les n entiers positifs de 1/n! [A,.]^n.
on retombe sur la formule de campbell?
et du coté gauche de l égalité c'est un multiplicateur opérant sur C?
Il me semble que c'est différent. La formule de Campbell donne log(e^a e^b), ce qui est plus compliqué que la simple opération de conjugaison.
Dans le côté droite, exp[A,.] est un opérateur qui est appliqué à B.et du coté gauche de l égalité c'est un multiplicateur opérant sur C?
ok merci, l'écriture est concise.
Cette égalité a t elle un nom? je suppose qu'elle doit etre connue dans l'étude de algebres de Lie.
Salut,
Je la connais sous le nom "d'exponentielle matricielle".
C'était en effet dans un cours de théorie des groupes de Lie matriciel pour physiciens (disponibles sur ArXiv).
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Si c'était une exponentielle de matrice le développement de exp([A,.])
donnerait Id + [A,.] + 1/2 [A,.] [A,.] + ....
ca me semble plutot
Id + [A,.] + 1/2 [A,[A,.]] + .....
mais je peux me tromper.
on le saurait en ayant la preuve de l'égalité citée.
regardez A.3
on doit avoir
ca marche si le terme de gauche agissant surse developpe en
il y a une infinité de termes mais appliqués a
Bonjour,
Par définition, le produit d'opérateurs est donné par la composition donc [A,.][A,.] est par définition [A,[A,.]]
Pour démontrer l'égalité, on peut introduire une variable réelle t et définir F(t)=exp(tA)Bexp(-tA) et G(t)=exp(t[A,-])B. On veut démontrer que F(1)=G(1). On a évidemment F(0)=B=G(0) et d'autre part: dF/dt=[A,F] et dG/dt=[A,G]. Comme F(t) et G(t) satisfont la même équation différentielle avec la même conditions initiale, on a F(t)=G(t) pour tout t, et en particulier F(1)=G(1).
Dans le langage des groupes et algèbres de Lie, c'est simplement l'énoncé que le crochet [A,-], vu comme opérateur agissant sur l'algèbre de Lie, est la version infinitésimale de la conjugaison par exp(A) agissant sur le groupe de Lie (pour un groupe de Lie général, c'est en fait la définition du crochet de Lie sur l'espace tangent).
La limite classique de cet énoncé est que si H est un Hamiltonien, alors le crochet de Poisson {H,-}, vu comme un champ de vecteurs sur l'espace des phases, est la version infinitésimale du flot d'évolution déterminé par H.
Remarques sur la notion d'"exponentielle matricielle". Chaque fois qu'on a une algèbre, avec une topologie raisonnable, si x est un élément de cette algèbre, on peut définir exp(x)=1+x+x²/2+... On peut par exemple l'appliquer à l'algèbre des opérateurs (applications linéaires) agissant sur un espace vectoriel, le produit des opérateurs étant défini par la composition. Si l'espace vectoriel de départ a dimension n et si l'on fixe une base de cet espace vectoriel, alors l'algèbre des opérateurs s'identifie à une algèbre de matrices n x n, et la composition s'identifie au produit des matrices. Dans ce cas, on obtient l'exponentielle matricielle au sens le plus ordinaire. Mais on peut répéter cette construction et l'appliquer à l'espace vectoriel des matrices. On considère alors l'algèbre des opérateurs agissant sur l'espace des matrices n x n. Si l'on fixe une base de l'espace de matrices n x n, qui est de dimension n^2, alors ces opérateurs peuvent s'identifier avec des matrices n^2 x n^2. Si A est une matrice n x n, alors on peut voir [A,-] comme une matrice n^2 x n^2, et en ce sens, exp([A,-]) est une exponentielle matricielle.
En ce sens oui. merci beaucoup.
dans le papier de M Blasone il considere des transformations unitaires
Il écrit alors que
Lemme de Schur?
en fait il n'écrit pas exactement ceci. il écrit plutot quedans le papier de M Blasone il considere des transformations unitaires
Il écrit alors que
Dans beaucoup de textes on se contente alors de dire que les representations ne sont pas unitairement aquivalentes. (qu'en pensez vous?)
