Mathématiques pour la théorie quantique des champs

[jolymalo]

Bonjour!
J'aimerai me lancer dans la théorie quantique des champs et la mécanique quantique relativiste. J'aimerai savoir si vous avez des cours ou bouquin pour s'y préparer. J'ai un niveau de math de fin licence 3 début master 1.
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[Paradigm]

Bonjour,

Theorie quantique des champs

Cordialement,

[ThM55]

Bonjour, en fait il y en a des dizaines.

[yves95210]

Salut,

à vue de nez je dirais que tu as déjà le niveau en maths nécessaire pour aborder le sujet. Quitte à aller pêcher des compléments ici ou là si tu rencontres des notions que tu n'as pas étudiées en cours de maths.

En revanche, quelles sont tes connaissances en physique ? As-tu au moins un peu étudié la MQ "classique" (non relativiste) ?

(je ne sais pas si les spécialistes seront d'accord, mais il me semble que c'est indispensable d'avoir compris les concepts de la MQ - au moins un minimum - pour ne pas se noyer quand on aborde la TQC)

[A voir en vidéo sur Futura]

[syborgg]

Bonjour, en fait il y en a des dizaines.

Quelles sont elles ?

[ThM55]

Mais bonjour. Elles? Ils. Je parlais de cours ou de bouquin sur le sujet. Je ne vais quand même pas remplir dix pages de forum avec des références.

Je ne vais en citer qu'un, qui est un ouvrage posthume: Quantum Field Theory par Sidney Coleman (World Scientific, Singapour), publié récemment à partir de notes prises par plusieurs élèves du légendaire professeur de Harvard. J'aime bien car s'il est un peu daté, et s'il manque certains sujets récents, il faut savoir que tous les auteurs de livres sur la TQC depuis 1970 ont bénéficié des lumières de Coleman, et les bases sont expliquées avec plus de détails et de pédagogie que dans les cours plus récents. On peut aussi visionner sur le site de cette université les vidéos du cours filmées en 1975; le texte permet de mieux comprendre ce que dit Coleman, car la qualité de ces films est assez mauvaise: basse résolution, impossible de lire le tableau, son médiocre. Il est amusant de voir que le prof fumait en cours à cette époque. Je me rends compte maintenant que nous vivions dans une autre ère.

[yves95210]

Bonjour,

Il me semble que le primoposteur (qui n'est pas revenu dans la discussion) demandait plutôt quel cours ou bouquin de maths il pouvait utiliser pour se préparer avant d'aborder la TQC. Et vu le niveau qu'il dit avoir en maths, il s'agirait de lui conseiller un cours qui lui permettent de compléter les connaissances déjà supposées acquises en L3 de maths.

Mais j'avais peut-être mal compris sa question, et ça serait bien qu'il confirme...

[syborgg]

Mais bonjour. Elles? Ils. Je parlais de cours ou de bouquin sur le sujet. Je ne vais quand même pas remplir dix pages de forum avec des références.

Je ne vais en citer qu'un, qui est un ouvrage posthume: Quantum Field Theory par Sidney Coleman (World Scientific, Singapour), publié récemment à partir de notes prises par plusieurs élèves du légendaire professeur de Harvard. J'aime bien car s'il est un peu daté, et s'il manque certains sujets récents, il faut savoir que tous les auteurs de livres sur la TQC depuis 1970 ont bénéficié des lumières de Coleman, et les bases sont expliquées avec plus de détails et de pédagogie que dans les cours plus récents. On peut aussi visionner sur le site de cette université les vidéos du cours filmées en 1975; le texte permet de mieux comprendre ce que dit Coleman, car la qualité de ces films est assez mauvaise: basse résolution, impossible de lire le tableau, son médiocre. Il est amusant de voir que le prof fumait en cours à cette époque. Je me rends compte maintenant que nous vivions dans une autre ère.

Tu n'as pas dit qu'il a des dizaines de theorie quantique des champs ? je demandais quelles etaient ces differentes theorie.. mais peut etre qu'on s'est mal compris.

[Deedee81]

Tu n'as pas dit qu'il a des dizaines de theorie quantique des champs ? je demandais quelles etaient ces differentes theorie.. mais peut etre qu'on s'est mal compris.

Salut,

Je crois qu'il parlait des sources où trouver les infos, pas des théories
Mais il confirmera ou pas.

[syborgg]

Salut,

Je crois qu'il parlait des sources où trouver les infos, pas des théories
Mais il confirmera ou pas.

Bon ceci dit, j'ai cru comprendre qu'il y a plusieurs formulations de la QFT non ?
Quelles sont elles a l'heure actuelle ?

[ThM55]

Oui, je parlais des livres et des cours.

Pour les maths, à mon avis on a besoin de peu de choses au delà de ce que l'on fait en mécanique quantique et en relativité (restreinte). Sauf si on veut faire des choses plus sophistiquées comme l'approche axiomatique, mais en général les traités qui en parlent se suffisent à eux-mêmes. Parmi les sujets de math importants comme prérequis: l'analyse complexe (style Cauchy, intégration etc), l'analyse fonctionnelle (espaces de Hilbert, opérateurs, théorie spectrale), la théorie des distributions, des notions sur les groupes et algèbres de Lie et surtout leurs représentations linéaires (le minimum est les représentations des groupes unitaires).

Y a-t-il plusieurs formulations de la TQC? Oui certainement. Les deux formulations les plus connues sont 1) la formulation canonique avec des opérateurs de champs: les champs classiques sont identifiés à des variables canoniques de Hamilton, puis on les promeut en opérateurs (en fait en distributions à valeurs opératorielles) et on leur applique les recettes de la quantification; ça marche pour l'électrodynamique et, un peu moins bien avec des difficultés, pour les théories de jauge non abéliennes 2) la formulation en intégrales de chemin de Feynman (la méthode s'est imposée pour vaincre les difficultés des théories de jauge non abéliennes). 3) on peut partir de la description des états à 1, 2, ... , n particules comme éléments de représentations du groupe de Poincaré et en appliquant les principes quantiques et certains axiomes en déduire la théorie quantique des champs; en pratique on retombe sur la formulation 1) pour les calculs; c'est l'approche que Weinberg a suivie dans son traité en 3 volumes.

On pourrait aussi parler de l'approche algébrique (des algèbres d'opérateurs locaux) mais je connais mal. Il y a un théorème dû à Stone et Von Neumann qui dit que la formulation 1) est ambiguë, car il y a une infinité de manières de réaliser les relations de commutation de Heisenberg pour les champs et j'ai l'impression qu'aucun physicien n'y prête la moindre attention. Mais en principe cela donnerait une infinité de formulation d'une TQC....

[Deedee81]

Salut,

Bon ceci dit, j'ai cru comprendre qu'il y a plusieurs formulations de la QFT non ?
Quelles sont elles a l'heure actuelle ?

Je ne suis pas sûr qu'on puisse parler de "formulations différentes", plutôt de développements divers et variés.
EDIT ah zut, j'ai regardé trop vite, je n'avais pas vu que Thm55 répondait aussi à cette question. Sa réponse est plus adaptée à la question il me semble. Mon message fait un peu complément, ce n'est peut-être pas si mal après tout.

La formulation habituelle utilise bien sûr les états quantiques (d'un espace de Hilbert, ici un espace de Fock) et les développements perturbatifs (avec le théorème de Wick, les diagrammes de Feynman, les techniques de régularisation et renormalisation, etc... etc...). Déjà ça, ça occuperait plusieurs tomes pour être exhaustif.

Ensuite on a quelques développements supplémentaires. Parmi ceux qui me viennent en tête :
- la formulation axiomatique, qui a apporté pas mal de chose dans la compréhension des processus (causalité, analycité, relations de dispersions,...)
- les développements non perturbatifs (équation de Dyson et tout ça), peu utilisé mais peut apporter des infos dans les états liés, en chromodynamique quantique,...
- le groupe de renormalisation
- la formulation en espace-temps courbe, qui nécessite des développements mathématiques particuliers (la méthode des perturbations ne marche pas dans ce cas car elle est intimement liée à l'espace-temps de Minkowski)

[0577]

Bonjour,

Il y a un théorème dû à Stone et Von Neumann qui dit que la formulation 1) est ambiguë, car il y a une infinité de manières de réaliser les relations de commutation de Heisenberg pour les champs et j'ai l'impression qu'aucun physicien n'y prête la moindre attention. Mais en principe cela donnerait une infinité de formulation d'une TQC....

Il n'y a pas d'ambiguïtié avec 1) car on travaille habituellement avec une représentation donnée: l'espace de Fock, avec un état vide annihilé par les opérateurs d'annihilation. Les différentes représentations ont une interprétation physique claire: les relations de commutations ne font que définir l'algèbre des opérateurs locaux, et il faut une donnée supplémentaire pour définir la réalisation physique de cette algèbre: l'état "vide", i.e. l'état asymptotique (au sens spatial) du système. Pour des systèmes de volume infini, on peut imposer différents états asymptotiques au système (par exemple, si phi est un champ scalaire libre, on peut demander que la valeur moyenne <phi> dans le vide soit non-nulle). L'existence de ces différentes représentations et donc de ces différents vides est liée au phénomène de brisure spontanée de symétrie (si l'on a un automorphisme de l'algèbre locale qui n'induit pas un automorphisme de la représentation et donc induit une représentation non-équivalente, exemple: phi champ scalaire complexe libre, symétrie U(1) de rotation, brisée si <phi> non-nul). Il y a un analogue dans la formulation par intégrale de chemin qui est le choix de conditions "à l'infini" pour les champs sur lesquels on intègre.

En conclusion, c'est un phénomène lié au volume infini/limite thermodynamique ("IR") et qui n'a pas de rapport avec les difficultés plus sérieuses de la théorie quantique des champs à petite distance ("UV").