Bonjour,

Au lieu de poser abruptement ma question, je préfère d'abord montrer comment j'obtiens la forme voulue de l'équation de Langevin :

Soit l'équation de Langevin selon un certain axe :



or,



En injectant la première équation dans cette dernière, on obtient donc :



Si on fait la moyenne en ne faisant pas de différence entre moyenne d'ensemble et temporelle en vertu de l'hypothèse ergodique, on a :



Or, d'après le principe d'équipartition de l'énergie qui stipule que , on peut donc remplacer le terme par .

D'autre part, on suppose le terme – la résultante des forces issues des chocs avec les particules de fluide environnant notre particules au temps t – indépendant de x. Par conséquent, on peut écrire or on suppose que notre particule plongée dans notre fluide suit une trajectoire aléatoire qui implique qu'elle ne s'éloigne pas en moyenne de son point de départ de sorte que .

Si on injecte ces deux résultats dans notre équation, on trouve finalement :



Or, Partout sur internet, on a l'équation de Langevin sous cette forme mais avec pour le terme de gauche et dans mon cours on passe précisément de l'un à l'autre sans explication.

Ma question est : comment démontre-t-on que la moyenne de la dérivée est égale à la dérivée de la moyenne ?

Merci d'avance,

Cordialement.