Equation de Langevin

[Seirios]

Bonjour à tous,

Pour étudier le mouvement brownien, il est possible de passer par l'équation de Langevin : , où est une force aléatoire résultant des chocs des particules du fluide et le frottement fluide.

Pourtant ces deux forces ne sont-elles pas la même chose mais à des échelles différentes ? Pour moi, c'est comme si la particule brownienne, entre deux chocs avec des particules du fluide, subissait une trajectoire classique avec un frottement fluide, mais comment peut-on considérer à une même échelle à la fois les particules du fluide de dimension suffisament importante pour parler de choc et de dimension suffisamment faible pour parler de frottement fluide ?

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer à ce sujet ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invitec17b0872]

Bonjour,

Puisque les particules du "solvant" sont supposées de petite dimension devant celle du "soluté", il est raisonnable de faire une approche statistique de la dynamique du soluté dans le solvant (càd le long de son libre parcours moyen).
C'est qui traduit justement la moyenne qu'on a faite. Une petite analyse dimensionnelle vous indique que est l'inverse d'un temps, sorte de temps de relaxation du soluté dans le fluide, qui peut se ramener à un temps de collision 'soluté-solvant'.
La dynamique des particules solvatées étant à une échelle supérieure en termes de dimensions, on conserve des grandeurs liées à cette échelle.
Le même phénomène se retrouve dans l'étude des gaz en thermodynamique. On suppose que le comportement du gaz peut être entièrement décrit à l'aide d'un petit nombre de grandeurs macroscopiques, tandis qu'on serait plutôt tenté d'analyser le comportement de chacune des molécules qui le composent.
La seule détermination numérique du nombre d'Avogadro nous fait saisir la quantité colossale de travail (et de mémoire) qu'il faudrait considérer. Pour chaque particule, 3 grandeurs liées à la position, 3 liées à la vitesse, on arrive pour une mole de gaz à 4. quantités à manipuler.

C'est là toute la puissance du passage microscopique-macroscopique.
Ici, puisque vous vous placez à une échelle intermédiaire (assez grande pour négliger le caractère ponctuel des molécules du solvant pour moyenner, assez petite pour distinguer chaque particule du soluté), on sera facilement amener à parler d'"échelle mésoscopique", càd ni microscopique, ni macroscopique.

Choisir une loi d'échelle, c'est se donner plus ou moins de confort dans l'étude qu'on fait.

Voilà, bon courage

[invitedbd9bdc3]

Premierement, il ne faut pas oublier qu on a affaire a une loi phenomenologique.

Ensuite, tu sais que F est un bruit blanc, qui a certe la meme origine que le frottement, mais qui est totalement decorrele temporellement. Ainsi, on a separe dans le probleme deux effets, les frottements (qui sont des forces correles, vu qu'elles poussent toujours dans le sens inverse de la vitesse) et "le reste" qui est decorrele.
On fait bien sur cela pour pouvoir resoudre le probleme

[Seirios]

C'est qui traduit justement la moyenne qu'on a faite. Une petite analyse dimensionnelle vous indique que est l'inverse d'un temps, sorte de temps de relaxation du soluté dans le fluide, qui peut se ramener à un temps de collision 'soluté-solvant'.

Comment arrive-t-on à cette interprétation ? Je connais plutôt l'interprétation qui consiste à dire que sans champ de force extérieur, l'équation de Langevin pour des valeurs moyennes donne , et donc représente le temps de relaxation.

Premierement, il ne faut pas oublier qu on a affaire a une loi phenomenologique.

Pour être sûr que je te comprenne, qu'entends-tu par loi phénoménologique ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedbd9bdc3]

Cela signifie que la loi, l'equation ou autre n'a pas de justification que le fait qu'elle marche. Elle ne decoule pas des premiers principes (en tout cas, quand elle est ecrite la premiere fois).
Ensuite, le but est d'arrivee a la justifier microscopiquement (de facon quantitative). Dans le cas de langevin, ca serait partir de la desciption microscopique du liquide, de faire un moyennage (coarse graining) et en sortir les correlations du bruit, la valeur de gamma, etc, en fonction des details microscopique.

[Seirios]

Merci pour ces précisions

[invite60be3959]

Bonjour à tous,

Pour étudier le mouvement brownien, il est possible de passer par l'équation de Langevin : , où est une force aléatoire résultant des chocs des particules du fluide et le frottement fluide.

Pourtant ces deux forces ne sont-elles pas la même chose mais à des échelles différentes ? Pour moi, c'est comme si la particule brownienne, entre deux chocs avec des particules du fluide, subissait une trajectoire classique avec un frottement fluide, mais comment peut-on considérer à une même échelle à la fois les particules du fluide de dimension suffisament importante pour parler de choc et de dimension suffisamment faible pour parler de frottement fluide ?

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer à ce sujet ?

Merci d'avance,
Phys2

Bonjour,

Je me permet d'apporter quelques compléments à ce qui a déjà été dit. Tout d'abord, en effet la force de frottement fluide(systématique) et la force stochastique représentent toutes deux l'effet du fluide sur la particule brownienne, mais par contre, entre 2 chocs consécutifs, la particule ne subit pas de frottement fluide et se déplace à vitesse constante, tout simplement parce qu'entre ces 2 chocs il n'y a que du vide.
L'effet de la force de frottement fluide ne s'observe que sur un temps beaucoup plus grand que le temps de collision (ce dernier est de l'ordre du libre parcours moyen divisé par la vitesse de la particule). Autrement dit il faudra un grand nombre de collisions de la particule brownienne avec les molécules du fluide pour que la force de frottement fluide soit observable.

Enfin, la relation entre la force de frottement et la force stochastique est donnée par le "2nd théorème de fluctuation-dissipation" qui s'obtient par le biai du calcul de la variance de la vitesse lorsque la particule brownienne est en équilibre thermique avec le bain.

[Seirios]

Je me permet d'apporter quelques compléments à ce qui a déjà été dit. Tout d'abord, en effet la force de frottement fluide(systématique) et la force stochastique représentent toutes deux l'effet du fluide sur la particule brownienne, mais par contre, entre 2 chocs consécutifs, la particule ne subit pas de frottement fluide et se déplace à vitesse constante, tout simplement parce qu'entre ces 2 chocs il n'y a que du vide.

Ce qui se justifie quantitativement d'ailleurs, puisque pour , ; on retrouve donc une trajectoire balistique pour des durées suffisament brèves.

Enfin, la relation entre la force de frottement et la force stochastique est donnée par le "2nd théorème de fluctuation-dissipation" qui s'obtient par le biai du calcul de la variance de la vitesse lorsque la particule brownienne est en équilibre thermique avec le bain.

J'ai vu ce théorème dans un document : , mais il n'est pas facilement interprétable physiquement...

[invite60be3959]

J'ai vu ce théorème dans un document : , mais il n'est pas facilement interprétable physiquement...

Pas tant que ça. Il exprime en 1er lieu la cohérence du modèle, puisqu' il montre que la force de friction et la force stochastique sont toutes deux issues de l'effet du milieu sur la particule brownienne, en donnant justement une relation entre ces 2 forces. Plus quantitativement, Il exprime la différence des échelles temporelles sur lesquelles la force de friction et la force stochastique jouent de leurs inlfluences respective, puisqu'il faut intégrer la fonction de corrélation à 2 points sur des temps très supérieur à l'échelle de temps caractéristique du problème afin que celle-ci deviennent proportionnelle au coefficient de friction ,le coefficient de proportionnalité comprenant justement la température du bain et la masse de la particule brownienne.

[Seirios]

Pas tant que ça. Il exprime en 1er lieu la cohérence du modèle, puisqu' il montre que la force de friction et la force stochastique sont toutes deux issues de l'effet du milieu sur la particule brownienne, en donnant justement une relation entre ces 2 forces. Plus quantitativement, Il exprime la différence des échelles temporelles sur lesquelles la force de friction et la force stochastique jouent de leurs inlfluences respective, puisqu'il faut intégrer la fonction de corrélation à 2 points sur des temps très supérieur à l'échelle de temps caractéristique du problème afin que celle-ci deviennent proportionnelle au coefficient de friction ,le coefficient de proportionnalité comprenant justement la température du bain et la masse de la particule brownienne.

Merci beaucoup pour cette analyse

Par contre, n'est-il pas surprenant que diminue lorsque la température ou la masse augmente ? Si ce facteur est représentatif des chocs des particules du fluide, j'aurais tendance à dire qu'il devrait être indépendant de la masse et devrait aumgenter avec la température, non ?

[invite60be3959]

Merci beaucoup pour cette analyse

Par contre, n'est-il pas surprenant que diminue lorsque la température ou la masse augmente ? Si ce facteur est représentatif des chocs des particules du fluide, j'aurais tendance à dire qu'il devrait être indépendant de la masse et devrait aumgenter avec la température, non ?

Si la masse de la particule augmente, le bain mettra plus de temps à la thermaliser(il faudra un plus grand nombre de collisions pour la freiner), le temps de relaxation sera donc plus grand et le coefficient de friction plus petit.

[Seirios]

Effectivement, en voyant le problème sous cet angle, il n'y a plus de problème. Par contre, il me semble que la température pose toujours problème parce que si elle augmente, le temps de relaxation devrati être plus court à cause d'une agitation thermique plus grande, non ?

[invitedbd9bdc3]

Non, tu peux le voir en prenant le cas limite T=0.
Si la temperature est nulle, alors les particules du bain seront immobiles. Donc toutes les atomes du bain que la particule croisera la ralentiront forcement (la particules leur donne de son impulsion).

Quand la temperature augmente, les atomes vont bouger, et certains iront dans le meme sens que la particule (la fuiront) tandis que d'autre iront a sa rencontre (mais de tous cotes) et on peut imaginer qu'en moyenne l'effet de ralentissement sera moindre.