Consigne sinusoidale

[mehdi_128]

Bonsoir,

La consigne est sous la forme
désigne le temps caractéristique d'évolution.

On considère l'équation différentielle :

On trouve comme solution avec

Je ne comprends pas la remarque suivante :

La grandeur tend lorsque t tend vers plus l'infini vers un régime sinusoidal de même fréquence que la consigne mais avec un déphasage d'autant plus petit que la constante est petite.

C'est quoi le déphasage ici ? Quelle est la limite ? Comment on sait qu'elle tend vers un régime sinusoidal de même fréquence que la consigne ?
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[ThM55]

Bonjour.

Le déphasage est .

La limite que vous demandez n'existe pas. Aucune valeur n'est limite d'une sinusoïde puisqu'elle oscille indéfiniment entre deux valeurs.

Si on résout cette équation par la méthode de variation de la constante d'intégration (intégrer d'abord l'équation homogène puis remplacer la constante d'intégration par une fonction de t, substituer dans l'équation avec la consigne et intégrer), on obtient la sinusoïde que vous avez écrite, mais il y a un terme supplémentaire dû à une autre constante d'intégration, qui est une exponentielle décroissante. C' est ce qu'on appelle un transitoire. Votre solution ne montre pas ce transitoire, elle est donc incomplète. Cette exponentielle tend vers zéro à l'infini et c'est en ce sens qu'on obtient finalement pour les temps grands par rapport à une sinusoïde déphasée par rapport à la consigne. Une autre méthode consiste à passer à la transformée de Laplace, cela donnera le même résultat.

La fréquence est la même puisque le facteur de t dans le cosinus est aussi .

[Geo77]

G r i l l é

[mehdi_128]

Ah d'accord merci, en effet j'ai oublié le qui est la solution à l'équation homogène.

J'étudie plutôt les mathématique, la résolution de ce genre d'équation différentielle ne me pose aucun souci.

[A voir en vidéo sur Futura]