Lagrangien et derivée

[Syrocco]

Bonjour,

j'ai une question qui est balayée par un revers de main dans tous les documents que je trouve, elle doit surement être stupide mais bon:





On a bien:
Mais je comprend pas pourquoi . Pourquoi considère t'on que alors que pour moi (le calcul inverse de celui de l'énergie cinétique). C'est à cause de la dérivée partielle (j'ai pas vraiment abordé les dérivées partielles, du coup je crois que j'suis un peu perdu :^). )?

Merci d'avance et bonne soirée!
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[Syrocco]

Evidemment, il fallait que je me plante, je voulais écrire et

[albanxiii]

Bonjour,

On a bien:
Mais je comprend pas pourquoi . Pourquoi considère t'on que alors que pour moi

C'est un peu troublant quand on aborde le sujet pour la première fois, mais dans le formalisme lagrangien et sont des variables indépendantes, donc tout comme .

[Deedee81]

Salut,

Petite précision qui va peut-être un peu éclairer.

j'ai pas vraiment abordé les dérivées partielles

Lorsque l'on a des fonctions F d'une seule variable x, ça n'a guère d'importance. dans ce cas la dérivée partielle est identique au rapport dF/dx.
Mais lorsqu'on a des fonctions de plusieurs variables, on doit préciser par rapport à quelle variable on dérive. Disons F(x,y). Disons la dérivée partielle par rapport à x.
Mathématiquement ça revient à considérer la dérivée de F par rapport à x, y étant gardé fixé.

Les deux variables sont donc considérées comme indépendantes ou, plus précisément, ce qu'on regarde c'est comment varie F quand on fait varier indépendamment les deux variables.

Voilà pour le coté mathématique (pas difficile donc, du moins si on ne va pas plus loin, les équations aux dérivées partielles sont notoirement plus compliquées à résoudre que les équations différentielles).

Maintenant, on définit un Lagrangien en fonction de (minimum) trois variables : x, xdot et t.
Bien sûr, on sait que physiquement la position (par exemple) est une grandeur qui dépend du temps. Mais on parle ici de la fonction décrite explicitement en fonction de ces variables.
Et avec la notion de dérivée partielle que je viens de donner on comprend alors que la dérivée partielle se prend par rapport à la présence explicite de ces variables considérées comme indépendantes. Et le rapport entre x, xdot et t est considérée comme découlant des contraintes annexes qui ne sont pas utilisées ici.

Je suis d'accord avec Albanxiii quand il dit que c'est troublant. Ces variables dépendantes/indépendantes ça peut être perturbant quand on n'en a pas l'habitude.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Syrocco]

Ok! Merci à vous deux pour vos réponses et bonne journée!

[ThM55]

Pour mieux comprendre comment cela est possible (mais au risque d'apporter de la confusion, ce que je ne souhaite pas) on peut aussi revenir à la déduction de l'équation d'Euler-Lagrange. On fait varier les deux fonctions et . Mais à un certain point dans la démonstration on reconnaît que les variations ne sont pas indépendantes, on a en effet . Car effectivement la seconde est la dérivée de la première. C'est ce qui permet de procéder à l'intégration par parties et d'obtenir l'expression classique comme facteur de dans l'intégrale.

En quelque sorte on "fait comme si" les deux fonctions étaient indépendantes, mais l'équation de Lagrange "code" cette dépendance de manière un peu cachée.

J'espère que cette remarque n'est pas trop élucubrationniste.

[Yezu]

Bonjour,

Cela provient du fait que dans l'espace des phases, on considère que les coordonnées généralisées et les vitesses généralisées sont des données indépendantes.
Tu seras plus à l'aise avec ce formalisme en mécanique hamiltonienne.