Determination de la période avec le lagrangien Landau-Lifshitz

[Syrocco]

Bonjour,

j'ai un problème (qui relève plus des maths d'ailleurs...).
Dans le 3ème chapitre du livre de mécanique de LL, on montre que la période T d'une particule de masse m dans un champ U(x) est:



avec E l'énergie totale du système et les solutions de . Mais pour moi, cette intégrale diverge tout le temps puisqu'on a un infini qui arrive à ses bornes? J'ai du mal à voir où est la subtilité (entre guillemet....)



Je met la photo ici, étant donné que le livre est trouvable gratuitement sur internet, je pense que ça ne pose pas de problème...


Merci d'avance et bonne soirée!
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[azizovsky]

L'équation (11,3) n'est qu'une intégration (séparation de variables) de l'équation :



si :



la vitesse est nulle , ce sont des ''points de repos''.

[Syrocco]

En me relisant, je viens de capter que j’avais été tout sauf clair...
Ce qui méchappe, c'est qu'on integre entre x1 et x2 alors que la fonction n'est pas definie (il me semble) en x1 et x2 puisque: E-U(x1)=E-U(x2)=0... Et donc on aurait une sale divergence...

[0577]

Bonjour,

l'intégrale d'une fonction non-bornée sur un intervalle (et définie seulement sur l'intervalle ouvert) peut être convergente.

Exemple:



En fait, cet exemple permet de prouver que si U est dérivable et si U' ne s'annule pas en x_1 et x_2, alors l'intégrale donnant la période T converge.

Je vous invite à faire le calcul de cette intégrale pour . La réponse dans ce cas devrait être familière (oscillateur harmonique).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Syrocco]

ET OUI!!!!!! Merci beaucoup, j'aurai vraiment dû "tester" avec un potentiel physique histoire de voir......

Du coup, autre parenthèse, ça ne pose pas de problème avec l’interprétation integrale=aire sous la courbe?

[0577]

Du coup, autre parenthèse, ça ne pose pas de problème avec l’interprétation integrale=aire sous la courbe?

Non. L'aire sous la courbe peut être finie même si la courbe "part à l'infini" au voisinage de x_1 et x_2.