Interaction soleil terre , questions d'intégrales ( L2 )

[mik2000]

Bonjour à tous,
"On connaît le résultat suivant : le champ de gravitation créé par un corps a symétrie sphérique est le même que celui du corps ponctuel de même masse placé en son centre de masse "
On applique ce résultat au soleil et... on est content deja

Ma question est : comment calculer la force exercée par le soleil sur la terre ? C'est une jolie intégrale d'après le résultat précédent.
Les seuls Cas particuliers intéressant ici sont :
Cas terre ponctuelle : cest facile ! C'est le cas de tous nos exos j'ai l impression...
Cas terre elle aussi a symétrie sphérique : comment faire ? Peut-on calculer l intégrale et voir même montrer que tout ce passe comme si elle était ponctuelle?

Merci,
Mik
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[Opabinia]

Bonjour,

Tu soulèves une question intéressante: une attraction gravitationnelle s'exerce-t-elle au barycentre ?

Le rayon terrestre (R = 6371 km) étant très inférieur à la distance Terre-Soleil (D = 149.60.E⁶ km), la distance d'un point quelconque de la planète supposée sphérique au centre de l'étoile est quasiment constante, de même que le champ de gravitation solaire.
Rien n'interdit effectivement d'envisager l'intégrale vectorielle

F = ∫_r<RG(x, y, z).dm ;

on vérifie cependant que le développement approché du champ local au second ordre:

G(x, y, z) ≈ G_O + (R/D)K₁(x, y, z) + (R/D)²K₂(x, y, z)

conduit à 3 intégrales, dont la deuxième est nulle par raison de symétrie, et la troisième négligeable devant la première; on a en effet:

R/D = 4.26E^-5 , d'où (R/D)² = 1.81E-9 ;

l'intégrale se réduit donc au premier terme G_O , et tout se passe comme si l'attraction solaire s'exerçait au centre (O) de la Terre.

Il n'en va pas de même pour certains astéroïdes doubles, dont les dimensions ne sont plus négligeables vis-à-vis de la distance qui les sépare.

L'aplatissement du Soleil, dû à son mouvement de rotation propre, affecte légèrement l'expression du champ; mais la modification qui en résulte est inférieure (et de beaucoup) aux perturbations produites par les autres planètes (Jupiter, en particulier).

[albanxiii]

Bonjour,

Cas terre elle aussi a symétrie sphérique : comment faire ? Peut-on calculer l intégrale et voir même montrer que tout ce passe comme si elle était ponctuelle?

Oui, avec des coordonnées sphériques, c'est plus facile.
Ou bien plus rapide, utiliser le théorème de Gauss. A l'extérieur de l'objet le champ est équivalent à celui d'une charge ponctuelle placée au centre de masse.

Notez tout de même que la Terre n'est pas sphérique, ni à symétrie sphérique, c'est une approximation.

[Opabinia]

Bonjour,

... Oui, avec des coordonnées sphériques, c'est plus facile.
Ou bien plus rapide, utiliser le théorème de Gauss. A l'extérieur de l'objet le champ est équivalent à celui d'une charge ponctuelle placée au centre de masse.

Cela s'applique au champ gravitationnel créé par la Terre, et non à celui provenant du Soleil, pour lequel le théorème de Gauss a déjà permis d'établir la validité de l'expression:

G = -(GM_S/r_MS²)*u .

Si l'on veut établir une expression plus précise de la force d'attraction s'exerçant sur une planète sphérique de rayon non-nul, le plus simple est de partir du potentiel gravitationnel

V_(M) = -GM_S/d_SM

et de développer l'expression jusqu'à l'ordre 3 en (R/D); le vecteur champ (G) s'en déduit alors par dérivation, ainsi la résultante (F ) des forces d'attraction.

Il faut placer le centre de la Terre à l'origine (O) d'un repère orthonormé, celui du Soleil en un point (S) de coordonnées (D, 0, 0) puis envisager le développement du terme (1/SM),
(M) désignant un point quelconque à l'intérieur de la Terre (r <= R), de coordonnées

(r.Cos(θ), r.Sin(θ)Cos(φ), r.Sin(θ)Sin(φ)) .

Les angles (θ, φ) ne sont pas les coordonnées géographiques habituelles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mik2000]

Okay merci à tous déjà pour vos idées ! Donc même si la terre est elle aussi a symétrie sphérique on ne peut faire que des calculs approchées ! C'est intéressant.

@opabina : a développer dans un futur exercice, merci déjà

Mik

[gts2]

Oui mais (rayon de la terre)/(distance au soleil)=4.10^(-5)

[Opabinia]

Oui mais (rayon de la terre)/(distance au soleil)=4.10^(-5)

C'est justement le fait que (R) soit très inférieur à (D) qui permet d'envisager un développement polynomial du potentiel gravitationnel (V(r_MS) et de l'énergie potentielle du couple Terre-Soleil E = F(D, R).

[gts2]

Ce n'est pas ce que je voulais dire : c'est même l'inverse.
Avec un tel rapport, on peut raisonnablement considérer la terre comme ponctuelle.
Je n'ai pas fait le calcul, mais si le terme d'ordre un est nul, cela fait une erreur d'ordre 10^(-9) et donc disons une erreur sur le point d'application de la force de 200m.