Equation trajectoire

[Mailou75]

Bonjour,

J'ai un problème pour tracer la trajectoire d'un objet dans un repère (x;t)

Je connais sa vitesse (variable) en fonction de x : v(x)=racine((A/x)-B) avec A et B des constantes

mais je ne sais pas comment obtenir l'équation d'une trajectoire du type t(x) ou x(t) à partir de la fonction vitesse v(x).

Si j'avais eu v(t) j'aurais fait l'intégrale, mais là ça ne marche pas… qu'un aurait il une idée de méthode svp ?

Merci d'avance

Mailou
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Juste une idée stupide: peut-on simplement poser x(t) = t ?

[Resartus]

Bonjour,
Il faut résoudre l'équation inverse : t fonction de x
On sait que v=dx/dt=f(x), ce qui donne dt/dx=1/f(x) puis dt=dx/f(x) qu'il reste à intégrer.

Ceci dit, l'intégrale de 1/racine(A/x-B) est bien loin d'être facile...

Comme c'est de la physique et pas des maths, vous avez sans doute le droit de demander à l'ami WolframAlpha
https://www.wolframalpha.com/input/?...t%28A%2Fx-1%29

Pour la suite, comme la fonction n'est pas inversible, vous ne pourrez pas davantage exprimer x en fonction de t, sauf numériquement

Alors peut-être est-il aussi simple de résoudre directement en numérique l'équation initiale
(il est facile de vérifier que si B<>0 il y a en fait un seule courbe, avec simplement des facteurs d'échelle pour x et pour t
on peut donc choisir A=B=1 et A=1 B=0 comme seules possibilités

[Mailou75]

Bonjour et merci,

Je suis désolé mais j’ai un faible niveau en maths.
Ca ne me dérange pas de n’avoir qu’un nombre limité de points (c’est pour tracer une courbe, j’en ferai autant que possible) mais je ne comprends pas bien ce que je dois faire avec cette intégrale (ni pourquoi vous avez supprimé le B). Pourriez vous détailler la procédure ?

Merci pour votre aide

[A voir en vidéo sur Futura]

[Opabinia]

Bonjour,

... Je connais sa vitesse (variable) en fonction de x : v(x)=racine((A/x)-B) avec A et B des constantes ...

Comme v = (dx/dt) , il faut intégrer dt = dx/(A/x- B)^1/2 .

Si l'on prend F(x) = u(A/x - B)^1/2 , alors

F'(x) = u'(A/x - B)^1/2 + (u/2)(-A/x²)(A/x - B)^-1/2 = (u'(A/x - B) - (Au/2x²))/(A/x - B)^1/2 ,

ce qui par identification à 1/(A/x- B)^1/2
conduit à la nouvelle équation différentielle: u'(A/x - B) - (Au/2x²) = 1 .

Comme il s'agit d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants, tu pourrais essayer:
a) une solution particulière de la forme v = k.xⁿ ,
b) une solution générale de l'équation sans second membre:

u'(A/x - B) - (Au/2x²) = 0 , équivalente à u'/u = (Au/2x²)/(A/x - B)

dont la solution devrait être de la forme: Ln|u| = -Ln|A/x - B| + Ln[K₁| , soit: u = K₁/(A/x - B) .

Le changement de fonction devrait éclaircir la situation. Calcul à vérifier, bien sûr

[Opabinia]

Cela allait sans dire, mais cela ira encore beaucoup mieux en le disant
on cherche une fonction F(x) telle que dt = F'(x).dx
donc vérifiant F'(x) = 1/(A/x - B)^1/2 .

Ne cherchais-tu pas l'équation du mouvement rectiligne résultant de l'attraction gravitationnelle d'un centre placé sur la trajectoire ?

[Mailou75]

Salut et merci,

Ne cherchais-tu pas l'équation du mouvement rectiligne résultant de l'attraction gravitationnelle d'un centre placé sur la trajectoire ?

Oui c'est exactement ça ! (pour ne rien te cacher A=Rs rayon de schwarzschild et B=K.Rs où K est une constante permettant de dépasser la vitesse de libération en vitesse initiale)

Cela allait sans dire, mais cela ira encore beaucoup mieux en le disant
on cherche une fonction F(x) telle que dt = F'(x).dx
donc vérifiant F'(x) = 1/(A/x - B)^1/2

Peut être bien mais malgré ton précédent message je ne comprends pas bien comment s'écrit F(x) au final (je répète que je suis une chèvre en maths…) et si ce F(x) est bien une équation de trajectoire ou si je dois en faire autre chose.

NB : dans la solution qui m'intéresse K (et donc B) est négatif

Merci d'avance

Mailou

[Opabinia]

J'avais effectivement lu, dans les années 80, la résolution de l'équation régissant l'évolution temporelle du rayon de courbure de l'univers; je me souviens seulement qu'elle était du même type que l'équation envisagée.
On retrouve la même équation différentielle:
- dans le cas de l'expansion/contraction d'une galaxie sphérique homogène, dépourvue de tout mouvement de rotation (Newton, je crois, a traité ce problème);
- dans le cas du mouvement rectiligne d'un corps soumis à l'attraction d'un centre situé sur la trajectoire.

La méthode à laquelle j'ai d'abord pensé conduit à une impasse; une énorme difficulté vient en fait de l'intervention de fonction implicites, qui compliquent singulièrement l'expression des conditions initiales (r = r₀, v = v₀).
Curieusement, les solutions apparaissent assez simplement si l'on part du point singulier (r₀ = 0), au voisinage duquel la vitesse tend vers l'infini.
Et par ailleurs il est préférable de donner d'emblée une signification physique aux constantes (A) et (B), parce que leurs signes jouent un rôle déterminant.

Le mobile se déplace donc sur la partie positive (r > 0) d'un axe fixe, à l'origine duquel se trouve le centre d'attraction gravitationnelle, supposé ponctuel et présentant la masse (M). Il commence par s'éloigner de sa position initiale (M₀ ≡ O), de sorte que l'on doit avoir à des instants strictement positifs: r' > 0 .

Le principe fondamental de la dynamique s'exprime par la relation: m.r" = -GMm/r² ,
soit encore: r" = -GM/r² ;
Une première intégration est possible en multipliant chaque terme par r' = (dr/dt); il vient alors:

r'(dr'/dt) = -(GM/r²).(dr/dt) d'où: (1/2)r'² = GM/r + K/2

et

r'² = 2GM/r + K .

Trois possibilités apparaissent selon la valeur de la constante (K), encore indéterminée.

1°) K = 0 : il vient alors r'² = 2GM/r, d'où: r' = (2GM/r)^1/2 (puisque l'on a convenu d'avoir r' > 0 juste après le départ);
il vient: r^1/2(dr/dt) = (2GM)^1/2 d'où par intégration (2/3)(r^3/2 - 0) = (2GM)^1/2.t ,
soit: r^3/2 = (3/2)(2GM)^1/2.t
En convenant d'introduire les coordonnées arbitraires (T₀, R₀), on obtient: r = R₀(t/T₀)^2/3 .

2°) K < 0 : on pose alors t = T₀(u - Sin(u)) ; r = R₀(1 - Cos(u)) ,
d'où l'on déduit: (dt/du) = T₀(1 - Cos(u)) ; (dr/du) = R₀.Sin(u) et r' = (dr/dt) = R₀.Sin(u)/T₀(1 - Cos(u));
ce qui donne: r'² = R₀².(1 - Cos²(u))/T₀²(1 - Cos(u))² = R₀².(1 + Cos(u))/T₀²(1 - Cos(u)) ;
on obtient: r'² = R₀².(2 - r/R₀)/T₀²(r/R₀)
et finalement: r'² = (R₀²/T₀²)(2R₀/r - 1)
expression formellement identique à l'équation différentielle: r'² = 2GM/r + K ,
avec par identification GM = R₀³/T₀² et K = -(R₀²/T₀²) < 0 .

3°) K > 0 : on recourt désormais aux fonctions hyperboliques en posant: t = T₀(Sinh(u) - u) ; r = R₀(Cosh(u) - 1) ,
d'où l'on déduit: (dt/du) = T₀(Cosh(u) - 1) ; (dr/du) = R₀.Sinh(u) et r' = (dr/dt) = R₀.Sinh(u)/T₀(Cosh(u) - 1);
il vient pareillement: r'² = R₀².Sinh²(u)/T₀²(Cosh(u) - 1)² = R₀².(Cosh(u) + 1)/T₀²(Cosh(u) - 1) = R₀²(2 + r/R₀)/T₀²(r/R₀)
et finalement: r'² = (R₀²/T₀²)(2R₀/r + 1)
expression formellement identique à l'équation différentielle: r'² = 2GM/r + K ,
avec par identification GM = R₀³/T₀² et K = (R₀²/T₀²) > 0 .

Résultats à vérifier.

[Opabinia]

Remarque: lorsque (K) n'est pas nul, (t) et (r) admettent la même expression approchée au voisinage de zéro:, on a en effet

t ~ T₀.u³/6 et r ~ R₀.u²/2 ;

d'où: u⁶ ~ 36(t/T₀)² ~ 8(r/R₀)³ et (r/R₀)³ ~ (9/2)(t/T₀)² .

On pourrait donc paramétrer la solution singulière (K = 0) par les relations:

t = T₀.u³/6 et r = R₀.u²/2 ;

qui conduisent à la courbe d'équation r = (R₀/2)(6t/T₀)^2/3 ;
il vient alors pour la dérivée

r' = (R₀/3)(6/T₀)(6t/T₀)^-1/3 = (2R₀/T₀)(6t/T₀)^-1/3

et en reportant le tout dans l'équation différentielle:

r.r'² = 2GM = (R₀/2)(6t/T₀)^2/3.(2R₀/T₀)²(6t/T₀)^-2/3 = 2R₀³/T₀² .

Les deux constantes (R₀, T₀) vérifient alors la même relation GM = R₀³/T₀² ,
en complète continuité avec les deux autres solutions (K > 0 et K < 0); cela permet de tracer facilement, dans un même repère, les graphes des diverses solutions.

[Mailou75]

Salut et merci,

Vache ! Tu t'es pris la tête sur mon problème, merci.
Mais je ne sais pas comment tourner ma réponse pour ne pas te vexer…

Résultats à vérifier.

Je n'y comprends rien... je viens de passer un moment à essayer de mettre en concordance tes formules avec des résultats connus et rien ne colle. Je ne comprends même pas ce que signifient Ro et To pour toi. J'ai supposé "coordonnée spatiale initiale en mètres" et "durée initiale en secondes" (qui sont en fait une altitude atteinte en une durée donnée) que je substitue par des valeurs numériques mais je ne retrouve pas GM=Ro³/To² (qui ressemble à une loi de Kepler sans le 4*pi²), ni aucun autre résultat cohérent.

Quoi qu'il en soit, j'ai déjà tous ces résultats en classique (pour ton K=0, <0 ou >0). En fait tu es reparti du PFD classique pour retrouver des résultats classiques mais ce n'était pas la question. La question était : à partir de la formule de la vitesse donnée au premier post v(x), comment trouver une formule de trajectoire x(t) ou t(x). Cette formule là est relativiste et c'est l'objectif de l'exercice : comparer des résultats classiques et relativistes. Les premières réponses étaient donc plus en accord avec la question. Tu as voulu retrouver tous les résultats classiques par toi même, c'est louable mais hors sujet. J'en suis désolé…

J'ai peur de paraitre un peu difficile et ne plus obtenir de réponse mais celle ci, quand bien même j'arriverai à l'exploiter, ne servirait qu'à valider ton calcul. (Je ne suis pas contre car tout est bon à prendre, il faudrait juste que tu me précises ce que sont Ro et To pour toi et leur unités). Peut être n'y a t il pas de solution analytique à ma question initiale ? Resartus parlait de résoudre quelques valeurs numériques, c'est une solution qui pourrait me convenir si je comprends ce que je dois faire…

Merci d'avance si vous trouvez le courage de continuer

Mailou

[invitef29758b5]

Salut

L' équation de la trajectoire est une relation entre x , y , et z .
Dans ton cas , y = 0 et z = 0 (trajectoire droite colinéaire à x)

[Mailou75]

L' équation de la trajectoire est une relation entre x , y , et z .
Dans ton cas , y = 0 et z = 0 (trajectoire droite colinéaire à x)

Ok, je me suis mal exprimé, je parle d’une «trajectoire» dans l’espace temps (x;t) et pour l’instant il n’est pas question du t de Schwarzschild mais du tau temps propre. La vitesse donnée v(x) est la pente locale de la «trajectoire» que je cherche.

[Opabinia]

Ta réaction appelle diverses remarques.

Je ne comprends même pas ce que signifient Ro et To pour toi. J'ai supposé "coordonnée spatiale initiale en mètres" et "durée initiale en secondes" (qui sont en fait une altitude atteinte en une durée donnée) que je substitue par des valeurs numériques mais je ne retrouve pas GM=Ro3/To2 (qui ressemble à une loi de Kepler sans le 4*pi2), ni aucun autre résultat cohérent.

Quoi qu'il en soit, j'ai déjà tous ces résultats en classique (pour ton K=0, <0 ou >0). En fait tu es reparti du PFD classique pour retrouver des résultats classiques mais ce n'était pas la question.

1°) Le rapprochement avec la loi de Kepler est pertinent, mais tu as tort de t'en inquiéter: c'est une question d'homogénéité des équations, concernant les dimensions des diverses grandeurs en cause; toute solution caractérisée par une distance (R₀) et une durée (T₀) vérifiera nécessairement une relation de la forme

GM = λ.R₀³/T₀² ,

où (λ) représente un facteur mathématique sans dimension, indépendant du système d'unité.
Je m'en suis strictement tenu à la résolution de l'équation différentielle demandée:

v(x)=racine((A/x)-B) avec A et B des constantes

en prenant en exemple le cas le plus simple, afin que tous les paramètres en cause aient un sens physique évident; on dispose ainsi d'un moyen de contrôle des calculs.
Les exemples cités (# 8) ne diffèrent, au niveau de l'équation différentielle, que par l'expression de la première constante

A = µ.GM ;

le cas particulier de l'expansion de l'univers relève de la relativité générale; j'ai trouvé le traitement de l'équation (exemple rarissime de vulgarisation scientifique) dans un livre de cosmologie édité par le Bureau International des Poids & Mesures.

Si toutefois tu te sens gêné par la forme particulière de l'équation r'2 = 2GM/r + K ,
il te suffit de poser A = 2GM et B = -K pour revenir à la relation initiale r'2 = A/r - B ,

2°) Venons-en à un sujet plus délicat: le point singulier (0, 0) - correspondant à une vitesse théoriquement infinie - a été choisi comme origine afin de faciliter l'expression des solutions, et d'évacuer les difficultés liées à l'intervention des conditions initiales et que Resartus (# 3) avait déjà signalées:

... Ceci dit, l'intégrale de 1/racine(A/x-B) est bien loin d'être facile ...
Pour la suite, comme la fonction n'est pas inversible, vous ne pourrez pas davantage exprimer x en fonction de t, sauf numériquement ...

Il te faudra procéder à un changement d'origine, en comptant désormais les durées à partir de la date (T₀),
donc procéder au changement de coordonnées: t₁ = t - T₀, r₁ = r
en utilisant les relations de paramétrage

# K < 0 : t = T₀(u - Sin(u)) ; r = R₀(1 - Cos(u)) ,
# K = 0 : t = T₀(u3/6) ; r = R₀(u2/2) ,
# K > 0 : t = T₀(Sinh(u) - u) ; r = R₀(Cosh(u) - 1) .

Le mieux serait que tu proposes un exemple particulier, assorti de valeurs numériques, car il faudra passer par la résolution d'équations non algébriques.

[Mailou75]

Merci pour votre courage

toute solution caractérisée par une distance (R₀) et une durée (T₀) vérifiera nécessairement une relation de la forme
GM = λ.R₀³/T₀² ,
où (λ) représente un facteur mathématique sans dimension, indépendant du système d'unité.

Ok. Par exemple pour une chute vers une masse ponctuelle centrale Mt (masse terrestre) depuis une altitude 1,5.Rt (r=9556500m) avec une vitesse initiale nulle, on trouve que la durée de chute est de t=1643,33s. Si je considère que nous sommes dans le cas d'une ellipse plate alors la période du mouvement sera To=2*t et son demi grand axe Ro=r/2. Dans ce cas, en utilisant l'équation ci dessus je retrouve bien que λ=4*pi²

Les exemples cités (# 8) ne diffèrent, au niveau de l'équation différentielle, que par l'expression de la première constante
A = µ.GM

Ok. On sait que A=Rs rayon de Schwarzschild et on trouve facilement que µ=2/c²

Je m'en suis strictement tenu à la résolution de l'équation différentielle demandée:
v(x)=racine((A/x)-B) avec A et B des constantes

Ok, j'avais rien compris désolé…

Si toutefois tu te sens gêné par la forme particulière de l'équation r'2 = 2GM/r + K ,
il te suffit de poser A = 2GM et B = -K pour revenir à la relation initiale r'2 = A/r - B

Et bien au stade où nous en sommes, autant prendre directement la bonne formule : v(x)²=Rs/r - K.Rs (1)
(attention le K n'est plus le même !)

procéder au changement de coordonnées: t₁ = t - T₀, r₁ = r

Ce n'est pas ce qui me fait peur...

en utilisant les relations de paramétrage
# K < 0 : t = T₀(u - Sin(u)) ; r = R₀(1 - Cos(u)) ,
# K = 0 : t = T₀(u³/6) ; r = R₀(u²/2) ,
# K > 0 : t = T₀(Sinh(u) - u) ; r = R₀(Cosh(u) - 1) .

J'ai essayé ceci mais ça n'a rien donné, je ne sais toujours pas quels Ro et To utiliser.
Je retourne tatonner et je reposterai si je trouve quelque chose...

Le mieux serait que tu proposes un exemple particulier, assorti de valeurs numériques, car il faudra passer par la résolution d'équations non algébriques.

Avec plaisir, c'est quand même la finalité

En classique :

Un objet chute depuis une altitude Ro=1,5.Rt=9556500m
avec une vitesse initiale valant le double de la vitesse de libération à cette altitude soit Vo=18269,36m/s
Il atteint la surface (théorique) de la Terre en t(Rt)=169,90s avec une vitesse v(Rt)=19377,58m/s
Il atteint le centre (théorique) de la Terre en t(0)=432,29s avec une vitesse v(0)=infinie

En relativiste :

Un objet chute depuis une altitude Ro=1,5.Rs
avec une vitesse initiale valant Vo~0,90c (la vitesse le libération à 1,5Rs vaut 0,816c, j'ai choisi un K=-0,755)
Il atteint la "surface" du trou noir en t(Rs)=? avec une vitesse v(Rs)=1,325c
Il atteint le centre du trou noir en t(0)=? avec une vitesse v(0)=infinie

Vo est obtenue avec la formule v'(r)²=(1/r-K)/(1/Rs-K), v' est une vitesse locale.
v(Rs) est obtenue en utilisant la formule (1), on se moque d'obtenir des vitesses supérieures à c car il s'agit de dr/dTau qui n'a rien d'une vitesse locale.
Mon problème est donc de trouver les ?

Encore merci

Mailou

[Opabinia]

1°) À propos de la mise en forme de l'équation différentielle:

... Et bien au stade où nous en sommes, autant prendre directement la bonne formule : v(x)² = Rs/r - K.Rs ...

Moi, je veux bien la relativité générale n'est pas mon domaine.
Cependant la relation n'est pas homogène: on a à gauche le carré d'une vitesse (exprimé en m²/s²); (K) pourrait ici correspondre à une accélération (exprimée en m/s²), mais le rapport des distances (Rs/r) est sans dimension !
Ne manquerait-il pas quelque part le facteur (c²) ?

Et l'équation concerne la fonction v(r) = (dr/dt) .

2°) Un malentendu vient de se manifester:

... en utilisant les relations de paramétrage
# K < 0 : t = T0(u - Sin(u)) ; r = R0(1 - Cos(u)) ,
# K = 0 : t = T0(u3/6) ; r = R0(u2/2) ,
# K > 0 : t = T0(Sinh(u) - u) ; r = R0(Cosh(u) - 1) .
J'ai essayé ceci mais ça n'a rien donné, je ne sais toujours pas quels Ro et To utiliser.

Cela ne m'étonne pas, parce que j'ai envisagé une fonction r(t) initialement croissante (r'(t) > 0) conformément à l'équation présentée

v(x) = racine((A/x)-B) = +(A/x - B)^1/2 > 0

alors tu proposes un mouvement de chute, impliquant une diminution de la distance (r).
Il faut donc reprendre l'expression des solutions - pas de panique, cela doit être ici plus simple.

3°) Deux points de détail:
a) ... Il atteint le centre (théorique) de la Terre en t(0)=432,29s avec une vitesse v(0)=infinie ...
Cela supposerait une planète réduite à un point, donc de rayon nul ...
b) ... Il atteint le centre du trou noir en t(0)=? avec une vitesse v(0)=infinie ...
Je doute que l'on puisse décrire ce qui se passe à l'intérieur d'un trou noir (il faut ici l'avis des spécialistes) ...

[Mailou75]

Salut et merci,

Moi, je veux bien la relativité générale n'est pas mon domaine.

Pas grave on fait des maths là

- (K) pourrait ici correspondre à une accélération (…)
- Ne manquerait-il pas quelque part le facteur (c²) ?
- Et l'équation concerne la fonction v(r) = (dr/dt) .

- K est plutôt en "/m", par exemple dans le cas d'une chute libre avec vitesse initiale nulle depuis Rmax, K=1/Rmax, ce qui nous donne un résultat sans dimension.
- Oui il n'y a pas de c car il vaut 1 (il suffit de multiplier v(r) par c pour avoir des m/s)
- Bien sur c'est v(r) faute de typo à force de vouloir faire des maths et remplacer r par x...

Cela ne m'étonne pas, parce que j'ai envisagé une fonction r(t) initialement croissante (r'(t) > 0) conformément à l'équation présentée

v(x) = racine((A/x)-B) = +(A/x - B)^1/2 > 0

alors tu proposes un mouvement de chute, impliquant une diminution de la distance (r).
Il faut donc reprendre l'expression des solutions - pas de panique, cela doit être ici plus simple.

Je ne panique pas, j'ai rendu les armes, je me repose sur vous
Si ce n'est qu'une question de signe (négatif pour vitesse d'approche) je n'y fais même pas attention.
Mais j'imagine qu'il y a d'autre conséquences sinon vous ne relèveriez pas...

a)Cela supposerait une planète réduite à un point, donc de rayon nul …

Oui, comme dit au début de ma dernière réponse, ma "Terre" est un point de masse Mt et je continue de m'intéresser au rayon terrestre Rt de façon purement arbitraire. C'est le sens du "(théorique)".

b) Je doute que l'on puisse décrire ce qui se passe à l'intérieur d'un trou noir (il faut ici l'avis des spécialistes) ...

Si si, la formule de v(r) a été donnée par un "spécialiste" (mach3 pour ne pas le citer). Le temps propre Tau de chute jusqu'au centre d'un trou noir a bien une valeur finie. Ce v(r) est en fait dr/dTau c'est à dire une vitesse coordonnée dans un repère (r;Tau) ce n'est pas une vitesse locale. C'est simplement la pente (en r) de la trajectoire que je cherche.

Encore merci,

Mailou

[Opabinia]

Encore quelques remarques:

1°) Si le mouvement est régi par l'équation relativiste v² = A/r + K , cette même équation doit intervenir à de grandes distances pour des vitesses très inférieures à (c) et prendre la forme classique v² = 2GM/r + K ; on a par conséquent A = 2GM .

Le rayon de Schwarzschild admet par ailleurs pour expression: R_S = 2GM/c²
et peut être injecté dans l'équation différentielle, ce qui conduit à la relation homogène: v² = R_Sc²/r + K .

https://fr.wikipedia.org/wiki/Rayon_de_Schwarzschild
https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A..._Schwarzschild

2°) Il n'est pas nécessaire de changer l'expression paramétrique des solutions: il suffit de partir d'une date initiale négative, le mouvement s'achevant au point singulier (r = 0).
Pour bien comprendre l'utilisation des fonctions paramétriques, il serait bon de disposer de la représentation des graphes des diverses solutions, montrant leur arrangement mutuel; il présentent tous à l'origine un point de rebroussement de première espèce.
Je tâcherai de les représenter.

3°) Au sujet de l'énoncé du 1^er exercice:

Un objet chute depuis une altitude Ro=1,5.Rt=9556500m

N'aurait-on pas R₀ = R_T + h = R_T + 1,5.R_T = 2,5.R_T ?
Je sais, c'est mesquin

Plus généralement, les résultats numériques figuraient-ils dans un corrigé ?

J'ai actuellement un emploi du temps chargé, mais je poursuivrai la recherche des solutions.

[Mailou75]

Bonjour,

1°) Si le mouvement est régi par l'équation relativiste v² = A/r + K , cette même équation doit intervenir à de grandes distances pour des vitesses très inférieures à (c) et prendre la forme classique v² = 2GM/r + K ; on a par conséquent A = 2GM.

Oui bien sur, à grande distance c'est équivalent à être en champ faible.

2°) Il n'est pas nécessaire de changer l'expression paramétrique des solutions: il suffit de partir d'une date initiale négative, le mouvement s'achevant au point singulier (r = 0).

Tu veux dire que les formules que tu as données sont toujours d'actualité ?
# K < 0 : t = T0(u - Sin(u)) ; r = R0(1 - Cos(u)) ,
# K = 0 : t = T0(u3/6) ; r = R0(u2/2) ,
# K > 0 : t = T0(Sinh(u) - u) ; r = R0(Cosh(u) - 1)
J'ai continué de bidouiller avec mais je ne trouve toujours rien de cohérent, snif...

Pour bien comprendre l'utilisation des fonctions paramétriques, il serait bon de disposer de la représentation des graphes des diverses solutions, montrant leur arrangement mutuel; il présentent tous à l'origine un point de rebroussement de première espèce.
Je tâcherai de les représenter.

Je veux bien le faire si je sais quoi faire... mais est-ce indispensable ?

3°) Au sujet de l'énoncé du 1^er exercice:
Un objet chute depuis une altitude Ro=1,5.Rt=9556500m
N'aurait-on pas R₀ = R_T + h = R_T + 1,5.R_T = 2,5.R_T ?
Je sais, c'est mesquin

Non non, remplacer "altitude" par "distance au centre". J'ai utilisé un raccourci… effectivement c'est mesquin

Plus généralement, les résultats numériques figuraient-ils dans un corrigé ?

Non, pour le cas relativiste la vitesse v(r) est donnée par LA formule en question dans ce fil et t(r)=? est le sujet!
Oublie le cas classique, c'était juste pour montrer un exemple résolu avec d'autre formules valables en classique (si tu les veux je te les donne mais ce n'est pas le sujet).

J'ai actuellement un emploi du temps chargé, mais je poursuivrai la recherche des solutions.

Pas de problème, bon courage

Merci

Mailou

[Mailou75]

Bonsoir,

Mon petit doigt (qui s'appelle en fait Resartus et que je remercie ) m'a soufflé une réponse qui fonctionne. Récap :

Pour une vitesse de chute (à multiplier par c pour avoir des m/s) définie par



En prenant K<0 (cad une vitesse initiale supérieure à Vlib car c'était le sujet du fil) et Rs=1 (pour simplifier la formule) on trouve



plus qu'à multiplier cette valeur adimensionnée par Rs/c si on veut des secondes.

(Si la démonstration vous intéresse elle est assez jolie et je peux me fendre d'un peu de latex)

Cette formule donne les mêmes résultats en champ faible que les formules classiques, c'était un premier objectif.
Reste à voir ce que ça donne avec les trous noirs, je vous dirais ça…

……

Je crée une nouvelle discussion pour la suite du problème (et non c'est pas fini)

Encore merci à tous pour vos réponses

Mailou

[Opabinia]

J'ai retrouvé hier soir toutes les résultats numériques du 1er exercice; Faut-il détailler les calculs ?

La résolution est de fait relativement simple, l'essentiel résidant dans l'ordre des calculs des divers paramètres.

L'existence d'autres solutions explicites n'a rien d'étonnant, compte tenu de la possibilité d'exprimer les arguments des fonctions hyperboliques à l'aide de logarithmes, comme par exemple

Argch(x) = Ln(x + (x² - 1)^1/2) ;

Je ne suis cependant par sûr que ce soit plus simple.

Poste toujours cette solution, en soi intéressante.

[Opabinia]

Remarque: la vitesse de chute est par définition négative, et l'on doit avoir:

v = - (R_s/r - KR_s)^1/2 .

[Opabinia]

Afin d'alléger la notation et d'éliminer tout risque de confusion avec les valeurs initiales (r₀, t₀), j'ai repris les équations paramétriques des solutions de l'équation différentielle

v² = 2GM/r + K (avec K > 0)

sous la forme:

t = T^*(sh(u) - u) ; r = R^*(ch(u) - 1) ; K = (R^*/T^*)²

la vitesse admettant alors pour expression:

v = R^*sh(u)/T^*(ch(u) - 1) = K^1/2/th(u/2) ,

ce qui permet d'accéder facilement à la valeur de l'argument:

u = 2Argth(K^1/2/v) .

La vitesse de libération (v_L) à une distance donnée (r) correspond au cas limite d'un mouvement dont la vitesse tend vers zéro à l'infini,
et vérifiant par conséquent K = 0 , ce qui donne: v_L² = 2GM/r .

Le second énoncé ne donne pas la valeur du rayon de Schwarzschild: R_S = 2GM/c² , indispensable à certains calculs.

L'équation du mouvement prend ici l forme: v² = R_Sc²/r + K
ce qui donne pour la vitesse de libération (K = 0) en la position initiale: v_L² = R_Sc²/r₀ ;
on précise par ailleurs pour le mouvement envisagé:

v₀ = -βc = - 0.9*c ; r₀ = 1.5*R_S .

On obtient:

v_L² = c²/1.5 d'où: v_L = c/1.5^1/2 = 0.816497*c ,
K = c²(β² - 2/3) = 0.143333*c² ,
u₀ = 2.Argth(-K^1/2/βc) = 2.Argth(-(β² - 2/3)^1/2/β) = -0.896987 ;

ensuite les deux constantes caractérisant le mouvement:

R^* = 1.5*R_S/(ch(u₀) - 1) = 3.488372*R_S = λ.R_S ,
T^* = R^*/K^1/2 = λ.R_S/(β² - 2/3)^1/2c = 9.214021(R_S/c) .

Delà, l'instant de départ: t₀ = T^*(sh(u₀) - u₀) = -1.153747*(R_S/c)
et la durée du mouvement: Δt = 0 - t₀ = 1.153747*(R_S/c) .

Au point (r = R_S) la vitesse vérifie

v² = c² + K = (β² + 1/3)c² = 1.143333²c ,

d'où:

v = -(β² + 1/3)^1/2c = -1.069268*c , et
u = -2.Argth((β² - 2/3)^1/2/(β² + 1/3)^1/2) = -0.740175 ;

la date correspondante est t = T^*(sh(u) - u) = -0.640016*(R_S/c)
et la durée du mouvement depuis la position initiale:

Δt₁ = t - t₀ - t = (-0.640016 + 1.153747)*(R_S/c) = 0.513731*(R_S/c) .

Valeurs à vérifier.

[Opabinia]

Lire à la fin du texte:
Au point (r = RS) la vitesse vérifie

v2 = c2 + K = (β2 + 1/3)c2 = 1.143333*c ...

[Mailou75]

Bonsoir Opabinia,

Faut-il détailler les calculs ?

Il est toujours bon d'avoir plusieurs solutions, surtout quand elles donnent les mêmes résultats

Malheureusement je rencontre des problèmes avec ta version...
J'ai rentré toutes tes formules et je trouve bien les mêmes valeurs que toi mais ce ne sont pas les bon résultats.

De manière générale, je n'arrive pas à donner des valeurs de "champ faible" mais peu importe car la question portait sur la version relativiste et les résultats sont dans l'ordre de grandeur recherché.

Je pense que le problème commence dès le calcul de K, ensuite je suis incapable de te dire où tu t'es trompé mais je vais te donner (en rouge dans ton texte) les résultats que tu aurais du obtenir. Je ne cite que les calculs :

le mouvement envisagé:

v₀ = -βc = - 0.9*c ; r₀ = 1.5*R_S

K = c²(β² - 2/3) = 0.143333*c²

u₀ = 2.Argth(-K^1/2/βc) = -0.896987

R^* = 1.5*R_S/(ch(u₀) - 1) = 3.488372*R_S

T^* = R^*/K^1/2 = 9.214021(R_S/c)

t₀ = T^*(sh(u₀) - u₀) = -1.153747*(R_S/c) tu devrais trouver 0,957284 Rs/c

Au point (r = R_S) la vitesse

v = -(β² + 1/3)^1/2c = -1.069268*c tu devrais trouver 1,324764 c (formule du message 1)

u = -2.Argth((β² - 2/3)^1/2/(β² + 1/3)^1/2) = -0.740175

t = T^*(sh(u) - u) = -0.640016*(R_S/c)

durée du mouvement depuis la position initiale:

Δt₁ = t - t₀ = 0.513731*(R_S/c) tu devrais trouver 0,400110 Rs/c

Je ne peux malheureusement pas plus t'aiguiller pour les corrections car je ne comprends pas ce qui est fait, mais ça ne vient pas de toi…

Bon courage et encore merci pour le mal que tu te donnes

Mailou

[Opabinia]

... Je pense que le problème commence dès le calcul de K ...

Cela ne devrait pas être difficile à vérifier: tous les calculs sont détaillés.

La même équation intervient dans les deux énoncés, et les calculs se succèdent dans le même ordre:
v_L, K (> 0), u₀ (< 0), R^*, T^*, t₀ (< 0), Δt;
v (< 0), u (< 0), t (< 0), Δt₁.
Il est surprenant que les résultat coïncident sur 6 chiffres dans le 1er cas, et divergent dans le deuxième.

Je ne sais pas si tu as bien saisi que la constante (K) intervenant dans l'expression v² = 2GM/r + K est positive, et la vitesse (v) négative - encore que dans ce dernier cas, on puisse s'arranger de quelques corrections de signe.
Les durées ne sont pas directement données par les équations, parce que l'instant (0) correspond à la fin du mouvement.

[Mailou75]

Okkkkk, je viens de comprendre !

En fait quand je dis que la vitesse initiale vaut Vo=0,9c je parlais de vitesse locale (qui ne peut pas dépasser c) et toi tu as pris dr/dT=0,9c à r=1,5Rs.

Juste un quiproquo donc, car quand je prend K=-0,143333 je retrouve bien tous tes résultats ! (et la vitesse locale initiale passe à 0,8417c)

Je n'ai pas percuté avant car, de façon tout à fait exceptionnelle, pour la vitesse de libération dr/dT=vitesse locale soit 0,8165c à 1,5Rs (comme tu l'indiques)

Félicitations c'est tout bon !

Encore merci pour l'énergie déployée (j'ai deux versions qui se corroborent, signe qu'elles sont justes)

[Opabinia]

Tu as posté un sujet très intéressant, et je suis soulagé

... c'est tout bon ! ...

par la confirmation des résultats.
Je m'apprêtais à me lancer dans une vérification numérique sur une dizaine de points

Cordialement,
Opabinia.

[Mailou75]

Salut,

Tu as posté un sujet très intéressant, et je suis soulagé par la confirmation des résultats.

Oui c’est passionnant les trous noirs
Moi aussi je suis soulagé, ça m’ennuyait que les résultats ne collent pas, mais tout rentre dans l’ordre.

Encore bravo

Mailou

[Opabinia]

Si tu as des difficultés au sujet des fonctions hyperboliques ...

[Mailou75]

Salut,

Si tu as des difficultés au sujet des fonctions hyperboliques ...

Non du tout, je m'en sert même beaucoup en RR.
C'est une fonction comme une autre, tant que c'est de la forme y=f(x) rien ne me dérange