Equation trajectoire

[Mailou75]

Au passage, je me suis rendu compte aussi que pour le premier fil, et comme cela avait déjà été signalé par un des intervenants, la formule qu'il trouve est inutilement compliquée. Avec la même méthode, plus un peu de simplifications (qu'il ne fait pas très bien non plus), on retrouve que l'intégrale de dx/sqrt(1/x+1) est tout bêtement égale
à racine(x).racine(x+1)- asinh(racine(x))

Bien vu, effectivement la formule finale est plus simple, je la renote pour mémoire (avec Rs=1) :



Merci
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[Opabinia]

La simplicité de la formule proposée ne me paraît pas évidente, mais il est vrai que cela peut dépendre de l'usage qu'on en fait, et que chacun voit midi à sa porte.

En reprenant le paramétrage proposé au message (#22)

v² = 2GM/r + K (avec K > 0)
sous la forme:
t = T^*(sh(u) - u) ; r = R^*(ch(u) - 1) ; K = (R^*/T^*)²
la vitesse admettant alors pour expression:
v = R^*sh(u)/T^*(ch(u) - 1) = K^1/2/th(u/2) ,
ce qui permet d'accéder facilement à la valeur de l'argument:
u = 2Argth(K^1/2/v) ...

on obtient:

ch(u) = 1 + r/R^* ; u = -Argch(1 + r/R^*) ;

sh(u) = -(ch²(u) – 1)^1/2 = -((1 + r/R^*)² – 1)^1/2 = -(2.r/R^* + (r/R^*)²)^1/2 = -(r/R*)^1/2(2 + r/R^*)^1/2 ;

u = -Argsh((r/R^*)^1/2(2 + r/R^*)^1/2)

t = T*(sh(u) – u) = T*(-(r/R^*)^1/2(2 + r/R^*)^1/2 + Argsh((r/R^*)^1/2(2 + r/R^*)^1/2)) ;

t = T^*(-(r/R^*)^1/2(2 + r/R^*)^1/2 + Argch(1 + r/R^*)) .

Ces deux expressions me paraissent difficilement conciliables avec la relation proposée.

[Mailou75]

Salut,

La simplicité de la formule proposée ne me paraît pas évidente, mais il est vrai que cela peut dépendre de l'usage qu'on en fait, et que chacun voit midi à sa porte.

Par "simplicité" j'entends uniquement le nombre de caractères compris dans la formule, puisque, quelle que soit la version, je ne comprends pas ce qui est fait. Je ne saurais donc pas juger de la simplicité/pertinence de la logique suivie...

t = T^*(-(r/R^*)^1/2(2 + r/R^*)^1/2 + Argch(1 + r/R^*)) .

Au nombre de caratères c'est kif kif, mais il faut encore donner l'expression de T* et R*.

Pour pouvoir être comparable, en partant uniquement de K (celui de valeur négative utilisé dans la formule initiale) car Ro et Vo sont juste un "accident de parcours", j'arrive à exprimer ta version sous la forme (Rs=1) :

avec

C'est tout à fait élégant. Mais si je remet u dans t(r) pour avoir une formule unique, je suis alors un peu plus lourd que l'autre, au "poids du Latex"
Mais les deux me conviennent (et je suis heureux d'en avoir deux pour confirmation) car de toute façon c'est Excel qui bosse.

Ces deux expressions me paraissent difficilement conciliables avec la relation proposée.

Qu'entends tu par là ?

Merci

Mailou

[Mailou75]

avec

Oups