Atome d'hydrogène (densité volumique )

[mik2000]

Bonjour,
Voici un exercice présenté dans le cours d électrostatique. Je vous fournis l énonce ainsi que son corrigé complet.

Mes questions concernent les deux premières questions uniquement.

Donc :
On a démontré dans l exercice ( via le théorème de Gauss) qu il se trouve une charge ponctuelle q en O. pas de soucis !
Mais par la suite on trouve la densité volumique de charge et... ça me pose problème que cette densité ait une limite finie en 0 car :

Si je prends un petit volume dV centrée en O la charge contenue dans ce volume est le produit de la densité en 0, et du volume .

Et si je fais tendre dV vers 0 .... la charge dans le volume tend vers 0 donc....je trouve une charge nulle en O ! Ce qui est contradictoire !


Qu En pensez vous ?
Merci
Mik
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[albanxiii]

Bonjour,

Vous venez de mettre le doigt sur un des difficultés de l'électrodynamique, qui nécessite l'introduction des distributions pour pouvoir être traitée de façon mathématiquement correcte.

Avant de parler un peu des distributions, il faut comprendre la correction comme " la densité de charge vaut une charge ponctuelle de valeur +e au centre, plus un nuage de densité autour". Votre calcul est donc juste, car il ne tient pas compte de la charge ponctuelle.

Pour en tenir compte, on doit introduire quelque chose qui vaut 0 dans tout l'espace, sauf à l'origine et dont l'intégrale sur un volume qui contient l'origine vaut 1, pour représenter la densité de charge de cette charge ponctuelle. Vous ne trouverez aucune fonction qui réponde à ces contraintes. C'est pour cela (entre autres) que les physiciens ont introduit des "super fonctions". En particulier, dans ce cas, il s'agit de la "fonction" de Dirac . Le page wiki https://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_de_Dirac vous en dira plus.

Les mathématiciens, qui étaient horrifiés des calculs faits par les physiciens à l'aide de ce formalisme, se sont penchés sur le problème, et cela a abouti à la théorie des distributions https://fr.wikipedia.org/wiki/Distri...C3%A9matiques)

Si vous continuez les études dans la physique, vous les rencontrerez (d'ailleurs la bible de l’électrodynamique, le livre de J.D. Jackson, en fait un large usage !).

[mik2000]

Bonjour,
Merci déjà pour votre réponse,

Alors , faut il comprendre que le densité fournie par la correction n est pas à utiliser pour r=0 ? Car comme je l'ai dit ça donne une absurdité
Merci pour l histoire des distributions

Mik

[albanxiii]

Re,

Alors , faut il comprendre que le densité fournie par la correction n est pas à utiliser pour r=0 ? Car comme je l'ai dit ça donne une absurdité

il faut comprendre la correction comme " la densité de charge vaut une charge ponctuelle de valeur +e au centre, plus un nuage de densité autour".

Et voilà !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[mik2000]

Okay okay,
Merci !