Visualisation du théorème de la moyenne en 3D

[fabio123]

Bonsoir,

j'ai bien compris l'expression qui donne la valeur moyenne d'une fonction selon :



Là moyenne correspond à l'aire totale entre a et b de f(x) divisé par l'intervalle (b-a) : on pourrait interpréter cela comme (b-a-) la longueur du rectangle formé par une largeur (ou hauteur) qui correspond à cette moyenne (Je crois d'ailleurs que c'est aussi le cas quand on veut calculer la valeur d'une intégrale avec la méthode Monte-Carlo).

Mais j'ai vu une autre formule à 2 variables que j'aimerais pouvoir visualiser intuitivement comme celle ci-dessus :



qui définit la valeur moyenne de la fonction Q(x,p).

Une autre formule équivalente est :



Je comprends un peu (peut être que c'est le cas discret qui me fait dire ça) que l'on pondère chaque par chaque et que l'on divise par le nombre total de . Mais ça reste un peu flou ( en gros, j'essaie de me représenter la formule de proba discrète d'une moyenne : .

Est-il possible de voir ça en termes de Volumes et de surfaces ? En effet, si j'associe z=Q(y,p) ou de même pour F(y,p), est-ce je ne pourrais pas voir ça comme le ratio entre un volume (composé d'un produit de 2 fonctions) divisé par une surface(par exemple pour la formule ci-dessus ?

J'obtiendrais ainsi l'équivalent en trouvant la hauteur moyenne <Q> qui, multiplié par la surface, donnerait le volume que l'on trouve comme dans une intégrale double.

Si quelqu'un pouvait m'éclairer sur ce théorème qui s'appelle je crois "théorème de la moyenne généralisée" afin d'essayer de se le représenter d'une manière "géométrique" (si c'est possible) ?

Merci par avance.
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[ansset]

bjr,
peux tu expliquer la formule 1) ?
ce que sont d,p et F ...

[gg0]

Bonjour Fabio123.

J'ai bien peur que tu ne puisses pas visualiser cette formule qui utilise apparemment une densité locale F. De plus, il s'agit sans doute d'une utilisation très particulière d'une notion générale, la x ne servant à rien, ou plutôt, pour chaque valeur de x on a une densité, et ce n'est pas ce que tu dis ("la valeur moyenne de la fonction Q(x,p)") et ça devrait être noté <Q_x>. Même chose pour l'autre formule, qui en plus perd du sens puisque l'intégrale triple sur V(x) se simplifie. Donc elle est mal écrite. Et en plus, le résultat dépend d'un dont on ne sait pas qui il est.
Je ne sais pas trop d'où tu sors ça, on dirait du "calcul de physicien", c'est à dire des expressions mal construites mais qui, traitées par des calculs non justifiés, donnent "le bon résultat".
En tout cas, il existe de nombreuses formules donnant des moyennes (déjà dans le cas fini, il y a de très nombreuses moyennes), si tu n'as pas besoin de ces formules, laisse tomber ... Sortir une formule de son contexte (et ici, il semble lourd) est toujours une mauvaise idée.

Cordialement.

[fabio123]

Excusez-moi, j'ai trop peu détaillé le contexte et surtout la démonstration et l'expression de la moyenne que j'aimerais "visualiser" :

]'essaye de me représenter l'expression suivante pour le tenseur énergie-impulsion (les brackets représentent une valeur moyenne) :




où est la densité de particules dépendant de la position et les impulsions, est l'énergie et la fonction de distribution dans l'espace des phases définie par :

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Ce serait mieux dans le forum physique, car il y a des connaissances non mathématiques pour pouvoir comprendre (moi, je ne les ai pas).
Et encore une fois, la notion de valeur moyenne a des définitions particulières dans chaque contexte.

Cordialement.