Exercice de méca avec 2 ressorts

[invite3ebc2f45]

Bonjour,
Je suis bloquée sur un exercice de colle de physique si quelqu’un peut m’aider ça serait avec plaisir 😊
Voici l’énoncé :
On fixe au plafond un ressort de longueur à vide lo et de constante de raideur k, une masse M(m) étant fixée a l’autre extrémité. On accroche à M un second ressort identique au premier. Chaque ressort casse si la norme de la force de rappel élastique dépasse Fmax.
On tire l’extrémité libre de ce second ressort verticalement vers le bas a vitesse constance vo jusqu’a briser un des ressorts.
On constate que pour une vitesse seuil vc ce n’est plus le même ressort qui casse.
Exprimer vc.

J’ai commencé par modéliser la situation
Puis j’ai ecrit:
Système =M(m)
Ref terrestre suppose galileen
Bilan des forces :
-mg=mg.ez
-fel1=-k(leq+x-lo).ez
-fel2=-k(lo-x+vot-lo).-ez

On applique la loi quantite de mouvement :
ma=mg+fel1+fel2
=> ma+kleq+kx-klo-klo+kx-kvot+klo=mg
=> ma+2kx+k(leq-lo-vot)=mg

J’aimerais trouver une équation différentiel mais je suis bloquée ici
Merci de votre aide
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[gts2]

Bonjour,

On va déjà un peu alléger :
Ecrivez la condition d'équilibre permettant de déterminer leq, cela devrait faire disparaitre l0, leq et mg de votre équation.

Ensuite, en remplaçant a par sa valeur, vous devriez avoir votre équation différentielle.

[invite3ebc2f45]

Ah oui bien vu je n’y avais pas pensé
Du coup j’obtiens : ma+2kx=kvot
Ainsi je remplace a par la derive seconde de x et je n’ai plus qu’a résoudre
Mais je ne suis pas sur qu’en résolvant cette equation je trouverais la vitesse seuil

Merci de votre réponse 😊

[gts2]

Je ne suis pas sûr non plus, mais il y a peut-être qqch qui m'échappe.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3ebc2f45]

Merci en tout cas 😊

[Black Jack 2]

Bonjour,

Une approche ? (rien vérifié)

Soit l'origine de l'axe vertical à l'endroit haut du ressort du haut, axe dirigé vers le bas.
Soit x1 l'abscisse (verticale ici) de la position de la masse (supposée ponctuelle).
Soit x2 l'abscisse (verticale ici) de l'extrémité basse du ressort du bas.

Delta L1 = x1 - Lo
Delta L2 = (x2 - x1) - Lo

Résutante forces sur la masse :

F = k.delta L2 - k.delta L1 + mg = m.d²x1/dt²

k.((x2 - x1) - Lo) - k.(x1 - Lo) + mg = m.d²x1/dt² (1)

x2(0) = Lo + mg/k + Lo = 2Lo + mg/k

x2(t) = 2Lo + mg/k + Vo.t

Remis dans (1) -->

k.((2Lo + mg/k + Vo.t - x1) - Lo) - k.(x1 - Lo) + mg = m.d²x1/dt²

m.d²x1/dt² + 2k.x1 = 2.mg + 2k.Lo + Vo.k * t

La résolution de cette équation différentielle (pas essayé) avec les conditions initiales : x1(0) = Lo + mg/k et (dx1/dt)(0) = 0

donne l'expression de x1(t)

On connait alors x1(t) et x2(t) qui permettent de calculer l'effort dans le ressort du haut par (x1-Lo)/k et l'effort dans le ressort du bas par (x2-x1 - Lo)/k

[Black Jack 2]

Bonjour,

En complément de ma réponse précédente.

J'ai tracé avec un tableur les élongations (en ordonnées) des 2 ressorts en fonction du temps (en abscisses) pour 2 vitesses Vo différentes. (avec les paramètres indiqués sur les dessins en unités du SI))
Le ressort du haut est en bleu et le ressort du bas est en brun.

On remarque que si Vo est suffisamment petite, le ressort du haut est à tout moment plus étiré que celui du bas ... et donc c'est à coup sûr le ressort du haut qui cassera.

Si Vo est suffisamment grande, alors, il y a des croisements (au cours du temps) des valeurs des élongations des 2 ressorts et celui qui cassera pourra être l'un ou l'autre ressort en fonction de la limite de rupture.

Avec les valeurs des paramètres que j'ai utilisé (Lo, m, g, k), sur graphiques, les 2 graphes ne se croisent pas mais sont tangents par intermittence pour Vo = 2 (m/s)

Evidemment, il faudrait résoudre l'équation différentielle en littéral pour conclure de manière générale.

[gts2]

Oui, c'est après que cela se complique, je trouve qqch du genre Fmax=k1+k2*vC*Arcsin(k3/vC), pas très sympathique pour "Exprimer vc."
Mais, comme dit précédemment, "il y a peut-être qqch qui m'échappe."

[invite3ebc2f45]

Merci pour vos solutions je vais essayer de conclure quelque chose avec vos pistes d'idées.
Encore merci

[Black Jack 2]

Rerebonjour,

Je poursuis et complète dans la voie que j'ai indiquée.

En résolvant l'équation différentielle avec les conditions initiales que j'ai indiquées, on trouve ceci :



et avec :

On trouve les extensions des 2 ressorts : Delta L1 = x1 - Lo et Delta L2 = (x2-x1)-Lo





Si Delta 1 - Delta 2 reste > 0 pour tout t, ce sera le ressort du haut qui cassera.

Si pour certaines valeurs de t, on a Delta 1 - Delta 2 < 0, alors, le ressort qui cassera sera celui du haut ou celui du bas en fonction de la limite de rupture.



Si pour toute valeur de t ... c'est le ressort du haut qui cassera.

Soit, si c'est le ressort du haut qui cassera.

et c'est soit le ressort du haut soit le ressort du bas qui cassera en fonction de la limite de rupture.

Voila, sans aucune relecture. A toi de voir, de résoudre les équations dont j'ai donné les solutions (mais sans les explications pour le faire) et ...

[gts2]

D'accord avec la solution, mais ce que je voulais dire en disant je ne suis pas sûr qu'on puisse trouver simplement est contenu dans
"c'est soit le ressort du haut soit le ressort du bas qui cassera en fonction de la limite de rupture."

Donc le vC recherché est un vC "générique" et pas un vC(Fmax)

[Black Jack 2]

Bonjour,

Sauf erreur, on trouve que la vitesse pour que la casse passe d'un ressort à l'autre pour un Fmax donné est donnée par l'expression :

Vc/2 * sqrt(m/(2k)).sin(sqrt(2k/m) * ((2.Fmax - mg)/(Vc.k) )) - mg/(2k) = 0

En tirer Vc analytiquement est loin d'être immédiat ... si c'est possible.
Par contre on peut le faire graphiquement ... si on a évidemment les valeurs numériques des différents paramètres.

[gts2]

Finalement le vC "générique" est quand même plus sympathique.

Si on interprète
"On constate que pour une vitesse seuil vc ce n’est plus le même ressort qui casse."
comme :
On constate que pour v<vc, c'est toujours le ressort du haut qui casse, alors que pour v>vc, c'est soit l'un soit l'autre selon la valeur de Fmax. Le vC générique serait la bonne réponse.