Un curieux développement en série entière

[Alex1504]

Bonjour, je m’intéresse en ce moment a la manière d’obtenir l’équation de KDV pour l'étude des vagues. J’ai pour support un court passage d’une thèse qui propose un développement en série entière des grandeurs cherchées (en utilisant évidement au par avant les équations de la mécanique des fluides) pour y arriver. On a eta hauteur de la surface libre et phi le potentiel du champ des vitesses comme inconnues. La profondeur globale est h et les vagues sont autour de z=0, on est en 2D.
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Je ne comprends pas pourquoi on a le droit de développer phi et eta par rapport à e comme c’est fait pour identifier les monômes en e selon leur degré. Je ne connais les séries entières que par rapport a une seule variable et là ça me parait très louche car je ne vois pas bien de quoi le phi et le eta de départ sont fonction (fonction de to et de xi donc pas de e non? Ou bien on considère e comme variable et... quelle est la 2e variable? xi? t? Ou est-ce vraiment important? Si non pourquoi?)
Par la suite (pas dans mes captures d’écran), kdv n’est obtenue que pour eta_2. Et l’auteur s'arrête là. Est-ce car eta_4,6,8... sont négligeables? Si oui, pourquoi? Si non pourquoi on se contente du fait qu’en eta_2 seul vérifie kdv?
Merci d’avance pour vos réponses. Je suis conscient de vous en demander beaucoup. Dites-moi si cela vous gêne.
A bientôt
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[jacknicklaus]

désolé c'est illisible

[Alex1504]

Ah mince dans ce cas je vais mettre le lien: https://tel.archives-ouvertes.fr/tel...13NICE4071.pdf
Ma question porte sur l’annexe C qui débute a la page 112. Le développement en série entière est à la page 113.

[albanxiii]

Bonjour,

Sur le lien l'annexe C commence à la page 101.

La méthode utilisée est celle de la théorie des perturbations. En général, on l'aborde quand on commence à étudier la mécanique quantique car elle est très utilisée dans ce domaine. Mais pas que

[A voir en vidéo sur Futura]

[Alex1504]

Merci je vois mieux l'idée de la méthode même si quelques points restent obscurs.
J’avais cru comprendre que l’on développait les grandeurs du problème en série entière par rapport à un epsilon dépendant des paramètres du problème et défini comme petit. Mais ici e est indépendant de ces paramètre au vu de la manière dont on le définit. Alors pourquoi resterait-il petit?
Ensuite dans les développements de phi et eta par rapport à e, tout se passe comme si eta était paire en e et phi impaire... mais pourquoi est-ce le cas?
Enfin j’ai encore du mal à comprendre les choix des bonnes distorsions et je ne vois pas pourquoi choisir xi et to comme définis dans le problème.
Merci d’avance pour vos réponses et à bientôt.
(Désolé si certaines questions peuvent sembler un peu bêtes mais j’aime être certain de ne pas faire d'interprétation hâtive)

[Alex1504]

En fait pour faire plus simple, avec juste la notion basique de perturbation d’une équation différentielle (cf en gros article wiki que je pense avoir compris), pensez-vous que je sois en mesure de comprendre ce que l’auteur fabrique dans cette annexe (explication de pourquoi il a posé ces distorsions et de la parité/imparité des développements)?

[Alex1504]

Je ne m’intéresse à cette méthode de développement que parce qu’elle permet d’arriver relativement rapidement à KDV... Mais si vous connaissez d’autres manières pas trop longues d'établir KDV je suis preneur.

[Alex1504]

Finalement j'ai trouvé un autre site qui propose une explication: c'esthttp://este.uca.ma/workshop2012/wp-c...0/Abounouh.pdf. Début slide 13, fin slide 35.
Mais il y a à nouveau des choses étranges.
-A la slide 29, on pose eta = phi*delta. Puis on établit slide 32 une équation où l'on va "identifier les termes d'ordre 0 en eta et epsilon". Et tout fonctionne bien car on manipule phi qui "cache le delta". Mais si on n'avait pas posé phi et gardé eta, on aurait identifié autrement et eu un résultat faux. Idem si on avait posé phi autrement. Alors pourquoi est-ce que ça "marche" avec le phi qu'il choisit?
-A la slide 33, on pose une hypothèse 5 qui me semble aussi farfelue (kdv est isotrope, non?) qu'inutile (pas utilisée explicitement jusqu'à l'équation 25 qui est celle qui m'intéresse)
En dehors de ces (gros) points de détail, l'ensemble reste clair et je n'ai pas d'autre document à ma disposition et pas non plus de personnes compétente en mesure de m'aider. C'est pour cela que je m'adresse à vous: Est-ce que le document est vraiment obscur sur ces points? Ou pouvez vous me les expliquer?
Je vous serais très reconnaissant d'éclaircir mes doutes.
A bientôt