Addition/Soustraction de tenseurs d'inertie

[FBMeca]

Bonjour à tous.

J'aurais une question en ce qui concerne les tenseurs d'inertie en physique. Je souhaiterais savoir comment procéder pour trouver le tenseur d'inertie d'un objet classique, mais qui comporte par exemple des trous, ou bien un cône dont le pic a été coupé, etc...
Peut-on soustraire différents tenseurs d'inertie, donc les matrices, entre elles si on calcule les moments d'inerties au même point O (quelconque). En particulier, cela m'intéresserait, avez-vous des astuces pour ce genre de calculs avec des objets classiques (sphère, cône, barre, disque,...) mais qui ont été transformés pour les rendre un peu plus compliqués ? Je n'ai pas d'exemple concret, si vous en avez un avec un calcul simple je suis preneur !

J'imagine que je n'ai pas besoin d'utiliser une triple intégrale et de choisir des bornes, sûrement très compliquées, pour arriver au même résultat.

Merci d'avance pour toutes vos réponses!

Cordialement.
-----

[Resartus]

Bonjour,
Oui, étant des fonctions linéaires, ils peuvent s'additionner, se soustraire, ou se multiplier par une constante (par exemple pour prendre en compte des matériaux de densité différente).
Avec cela et le théorème de Huyghens (généralisé si on veut tous les éléments du tenseur, y compris les non diagonaux) pour se ramener au même point, on peut trouver pas mal d'exemples d'application.

NB : la plupart des profs l'appelent bêtement "matrice d'inertie", mais le votre a raison, c'est bien un tenseur

[FBMeca]

Bonjour,

Merci pour votre réponse et pour vos confirmations. Plus concrètement, comment ferais-je par exemple pour calculer le tenseur d'un cône coupé, où bien celui d'une boule qui comporte un trou au centre, ou même plusieurs trous ? Est-ce que la méthode est de toujours prendre l'objet dans son intégralité, pour ensuite essayer de retrouver la forme souhaitée ?
Ici, je calculerais donc la tenseur de l'objet en entier, de la boule en l'occurence qui vaut 2/3*m*R^2, et je calcule le tenseur de la petite boule, de rayon petit "r", et de masse différente M, qui vaut 2/3*M*r^2, et je soustrais ces deux valeurs ?
Par contre, je doute que ce soit toujours aussi simple, on peut vite être bloqué en raison de la forme qui a été enlevée, ou bien je me trompe? Auriez-vous des conseils peut-être pour rendre les calculs plus rapides, plus efficaces ou même des techniques pour que ce soit plus visuel?

Merci d'avance!

[Resartus]

Euh, attention à n'utiliser le mot tenseur (ou matrice) que si vous parlez de toutes les composantes. Chacune de ces composantes est simplement un "moment" d'inertie
Et là vous ne parlez que du moment d'inertie selon un axe particulier (qui serait une des composantes diagonales du tenseur, par exemple Mzz) et qui en plus est un axe de symétrie, ce qui garantit que Mxz et Myz sont nuls

A votre stade, il est vraisemblable qu'on ne vous donnera des exercices que s'il existe une astuce (généralement en soustrayant le ou les trous) pour retrouver la formule. Mais n'oubliez pas de vous ramener au même axe avec les formules de Huyghens.
Un exemple, calculer le moment d'inertie d'un barillet ( cylindre plein avec 6 trous ) par rapport à son axe de révolution

[A voir en vidéo sur Futura]

[FBMeca]

Oui pardon, je parlais bien d'une des valeurs de la diagonale de la matrice. Merci pour votre conseil, en effet, la relation de Huygens facilite relativement les choses. Il s'agit d'un bon petit exercice, et il ne parait pas trop compliqué, mais je saisis la méthode - merci!

En va-t-il de même avec tout ce qui est des coordonnées du centre de masse, en faisant bien attention à pondérer les valeurs par leur masse respective ? J'imagine que oui, mais je préfère que vous me le confirmiez, et si vous avez des astuces je les lirai avec grand plaisir.

Merci encore !