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Oscillateur : 2 masses sur un plan sans frottement reliées par un ressort.



  1. #1
    tamik

    Oscillateur : 2 masses sur un plan sans frottement reliées par un ressort.


    ------

    Bonjour,

    J'étudie les équations régissant le mouvement de deux masses sur un plan sans frottement reliées par un ressort de constante k. Je ne comprends pas le résultat que je trouve...

    Les deux masses sont d'inertie i1 et i2 ; leurs coordonnées sont x1 et x2 respectivement.

    Voilà où j'en suis ; je fais ce calcul par Lagrangien :

    L'énergie cinétique vaut : T = 1/2 . i1 . v1^2 + 1/2. i2 . v2^2 (v1 = d x1/dt ; v2 = d x2/dt)
    L'énergie potentielle vaut : V = 1/2 . k . (x2 - x1)^2

    L = T - V doit donc être employé une fois pour x1 et une fois pour x2 via l'équation, pour x1 : dL/dx1 - d/dt [ dL/dv1 ] = 0 (les dL/d... sont ici des dérivées partielles).

    J'obtiens, pour x1 : k( x2 - x1 ) - i1 . a1 = 0 (a1 = d v1/dt)
    J'obtiens, pour x2 : k( x1 - x2 ) - i2 . a2 = 0 (a1 = d v1/dt)

    Si on soustrait l'une de ces équations à l'autre, le résultat est là :

    i1 . a1 = i2 . a2

    Ce qui me trouble, c'est la disparition de k. Cela ne ressemble d'ailleurs pas à une équation d'oscillateur, alors que si on tire chaque masse d'un côté différent et qu'on lâche, le système va osciller, logiquement aussi en fonction de k.

    Quelqu'un y voit-il svp clair là dedans ?

    Merci d'avance.

    -----

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  3. #2
    Sethy

    Re : Oscillateur : 2 masses sur un plan sans frottement reliées par un ressort.

    Je ne me prononce pas sur le fond. Par contre, c'est si on additionne les deux équations que k disparaît. k(x1-x2) - k (x2-x1) = 2k (x1-x2).
    Tout est toujours plus complexe qu'on (que je) ne le pense de prime abord.

  4. #3
    Resartus

    Re : Oscillateur : 2 masses sur un plan sans frottement reliées par un ressort.

    Bonjour,
    une fois corrigées les erreurs de signe signalées par Sethy, l'équation obtenue est tout à fait normale. Dit en termes newtoniens, les forces i1a1 et i2a2 sont opposées....
    Pour trouver une oscillation, il faut prendre une autre combinaison linéaire : par exemple, exprimer a2-a1 en fonction de x2-x1.
    Mais il vaudrait mieux prévoir une longueur au repos du ressort, ce serait plus "physique"...

    NB: tel que vous écrivez, vous n'êtes pas dans un plan mais sur une droite.
    Si votre exercice demande une résolution dans le plan ce sera un peu plus compliqué, car x1 et x2 seront vectoriels
    Dernière modification par Resartus ; 19/01/2020 à 17h12.
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast

  5. #4
    tamik

    Re : Oscillateur : 2 masses sur un plan sans frottement reliées par un ressort.

    Merci de vos interventions, j'y vois déjà plus clair !

    Effectivement, nous sommes ici sur une droite. J'ai avancé mais il y a quelque chose qui doit être faux, ce n'est pas possible autrement. Pouvez-vous svp encore m'aider ?

    En soustrayant (c'est le bon terme cette fois-ci) les deux équations, j'obtiens : 2kx2 - 2kx1 - i11 + i22 = 0

    D'expérience, j'ai mis une expression en sinus.

    x1 = A1sin(w1t + p1)
    x2 = A2sin(w2t + p2)

    J'ai déjà là une première interrogation : existe-t-il la preuve formelle que ma démarche est exacte ? J'ai agit "d’expérience" seulement et je crains donc de rater des solutions.

    J'obtiens :

    (2k - i1w12) A1sin(w1t + p1) - (2k - i2w22) A2sin(w2t + p2) = 0

    Ici, il "parait logique" que w1 = w2, mais de nouveau, je ne me souviens plus de la preuve formelle, si toutefois cette dernière existe.

    Puis, il faut bien sûr des conditions initiales, les voici :

    En t=0, nous avons, pour L (précontrainte du ressort) :

    L = x2 - x1 = A2sin(p2) - A1sin(p1)

    A quoi nous pouvons ajouter une vitesse nulle pour i2 en t=0

    A2w2cos(p2) = 0

    Ceci imposte p2 = pi/2

    Nous pouvons aussi imposer x2 = 0 en t=0

    A2 sin(pi/2) = 0

    Qui impose A2 = 0 et annule tout mouvement de i2.

    Là, je suis perdu, j'ai transformé mon système à deux masses en un autre à une seule masse sans le chercher.

    Quelqu'un peut-il mettre le doigt sur l'erreur ? Merci d'avance.

  6. #5
    gts2

    Re : Oscillateur : 2 masses sur un plan sans frottement reliées par un ressort.

    2kx2 - 2kx1 - i1ẍ1 + i2ẍ2 = 0

    est une équation à DEUX variables x1 et x2.

    Il faut soit à la main, soit par diagonalisation, obtenir deux équations chacune avec UNE variable.
    Vous en avez déjà une par la somme i1*a1+i2*a2=0 qui est une équation en z=i1*x1+i2*x2

    La deuxième variable est assez clairement (x1-x2), il faut donc combiner vos deux équations pour obtenir , on tire de la première, de la deuxième et on soustrait.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Black Jack 2

    Re : Oscillateur : 2 masses sur un plan sans frottement reliées par un ressort.

    Bonjour,


    k(x2 - x1 ) - m1 . d²x1/dt² = 0 (1)
    k(x2 - x1 ) + m2 . d²x2/dt² = 0 (2)

    --> m1 . d²x1/dt² = -m2 . d²x2/dt² (3)

    En dérivant 2 fois (1) et en remplaçant dans le résultat d²x2/dt² par -(m1/m2) d²x1/dt² (tiré de (3)), on obtient une éq diff avec x1 seul
    Elle sera d'ordre 4 ... mais sans aucune difficulté pour résoudre.

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  10. #7
    gts2

    Re : Oscillateur : 2 masses sur un plan sans frottement reliées par un ressort.

    Citation Envoyé par tamik Voir le message
    Là, je suis perdu, j'ai transformé mon système à deux masses en un autre à une seule masse sans le chercher.
    C'est normal, vous avez un système isolé, donc une première équation qui vous dit que l'accélération du centre d'inertie est nulle (somme des deux équations).
    Il reste donc un système à une variable (x2-x1) avec un ressort de constante k et la masse réduite .

  11. #8
    Opabinia

    Re : Oscillateur : 2 masses sur un plan sans frottement reliées par un ressort.

    --> m1 . d²x1/dt² = -m2 . d²x2/dt² (3)

    En dérivant 2 fois (1) et en remplaçant dans le résultat d²x2/dt² par -(m1/m2) d²x1/dt² (tiré de (3)), on obtient une éq diff avec x1 seul
    Elle sera d'ordre 4 ... mais sans aucune difficulté pour résoudre.
    Il vient plus simplement: d2(m1x1 + m2x2)/dt2 = 0 ,
    soit encore, en introduisant l'abscisse du barycentre xG = (m1x1 + m2x2)/(m1 + m2) :
    d2xG/dt2 = 0 ,
    ce qui entraîne: dxG/dt = Cte.
    En l'absence de forces extérieures, le barycentre est animé d'un mouvement rectiligne uniforme.

  12. #9
    Black Jack 2

    Re : Oscillateur : 2 masses sur un plan sans frottement reliées par un ressort.

    Bonjour,

    Il vient plus simplement: d2(m1x1 + m2x2)/dt2 = 0 ,
    soit encore, en introduisant l'abscisse du barycentre xG = (m1x1 + m2x2)/(m1 + m2) :
    d2xG/dt2 = 0 ,
    ce qui entraîne: dxG/dt = Cte.
    En l'absence de forces extérieures, le barycentre est animé d'un mouvement rectiligne uniforme.
    Beaucoup de chemins mènent à Rome.

    3 lignes ajoutées à ma réponse précédente et on obtient les éq diff pour x1 (et pour x2 dans la foulée, sans effort supplémentaire)
    Et 1 ligne de plus pour trouver les expressions de x1(t) et de x2(t)

    Il faut bien entendu connaître les conditions initiales pour déterminer les constantes d'intégration.

    Plein d'autres approches sont évidemment possibles.

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