Oscillateur : 2 masses sur un plan sans frottement reliées par un ressort.

[tamik]

Bonjour,

J'étudie les équations régissant le mouvement de deux masses sur un plan sans frottement reliées par un ressort de constante k. Je ne comprends pas le résultat que je trouve...

Les deux masses sont d'inertie i1 et i2 ; leurs coordonnées sont x1 et x2 respectivement.

Voilà où j'en suis ; je fais ce calcul par Lagrangien :

L'énergie cinétique vaut : T = 1/2 . i1 . v1^2 + 1/2. i2 . v2^2 (v1 = d x1/dt ; v2 = d x2/dt)
L'énergie potentielle vaut : V = 1/2 . k . (x2 - x1)^2

L = T - V doit donc être employé une fois pour x1 et une fois pour x2 via l'équation, pour x1 : dL/dx1 - d/dt [ dL/dv1 ] = 0 (les dL/d... sont ici des dérivées partielles).

J'obtiens, pour x1 : k( x2 - x1 ) - i1 . a1 = 0 (a1 = d v1/dt)
J'obtiens, pour x2 : k( x1 - x2 ) - i2 . a2 = 0 (a1 = d v1/dt)

Si on soustrait l'une de ces équations à l'autre, le résultat est là :

i1 . a1 = i2 . a2

Ce qui me trouble, c'est la disparition de k. Cela ne ressemble d'ailleurs pas à une équation d'oscillateur, alors que si on tire chaque masse d'un côté différent et qu'on lâche, le système va osciller, logiquement aussi en fonction de k.

Quelqu'un y voit-il svp clair là dedans ?

Merci d'avance.
-----

[Sethy]

Je ne me prononce pas sur le fond. Par contre, c'est si on additionne les deux équations que k disparaît. k(x1-x2) - k (x2-x1) = 2k (x1-x2).

[Resartus]

Bonjour,
une fois corrigées les erreurs de signe signalées par Sethy, l'équation obtenue est tout à fait normale. Dit en termes newtoniens, les forces i1a1 et i2a2 sont opposées....
Pour trouver une oscillation, il faut prendre une autre combinaison linéaire : par exemple, exprimer a2-a1 en fonction de x2-x1.
Mais il vaudrait mieux prévoir une longueur au repos du ressort, ce serait plus "physique"...

NB: tel que vous écrivez, vous n'êtes pas dans un plan mais sur une droite.
Si votre exercice demande une résolution dans le plan ce sera un peu plus compliqué, car x1 et x2 seront vectoriels

[tamik]

Merci de vos interventions, j'y vois déjà plus clair !

Effectivement, nous sommes ici sur une droite. J'ai avancé mais il y a quelque chose qui doit être faux, ce n'est pas possible autrement. Pouvez-vous svp encore m'aider ?

En soustrayant (c'est le bon terme cette fois-ci) les deux équations, j'obtiens : 2kx₂ - 2kx₁ - i₁ẍ₁ + i₂ẍ₂ = 0

D'expérience, j'ai mis une expression en sinus.

x₁ = A₁sin(w₁t + p₁)
x₂ = A₂sin(w₂t + p₂)

J'ai déjà là une première interrogation : existe-t-il la preuve formelle que ma démarche est exacte ? J'ai agit "d’expérience" seulement et je crains donc de rater des solutions.

J'obtiens :

(2k - i₁w₁²) A₁sin(w₁t + p₁) - (2k - i₂w₂²) A₂sin(w₂t + p₂) = 0

Ici, il "parait logique" que w₁ = w₂, mais de nouveau, je ne me souviens plus de la preuve formelle, si toutefois cette dernière existe.

Puis, il faut bien sûr des conditions initiales, les voici :

En t=0, nous avons, pour L (précontrainte du ressort) :

L = x₂ - x₁ = A₂sin(p₂) - A₁sin(p₁)

A quoi nous pouvons ajouter une vitesse nulle pour i₂ en t=0

A₂w₂cos(p₂) = 0

Ceci imposte p₂ = pi/2

Nous pouvons aussi imposer x₂ = 0 en t=0

A₂ sin(pi/2) = 0

Qui impose A₂ = 0 et annule tout mouvement de i₂.

Là, je suis perdu, j'ai transformé mon système à deux masses en un autre à une seule masse sans le chercher.

Quelqu'un peut-il mettre le doigt sur l'erreur ? Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

2kx2 - 2kx1 - i1ẍ1 + i2ẍ2 = 0

est une équation à DEUX variables x1 et x2.

Il faut soit à la main, soit par diagonalisation, obtenir deux équations chacune avec UNE variable.
Vous en avez déjà une par la somme i1*a1+i2*a2=0 qui est une équation en z=i1*x1+i2*x2

La deuxième variable est assez clairement (x1-x2), il faut donc combiner vos deux équations pour obtenir , on tire de la première, de la deuxième et on soustrait.

[Black Jack 2]

Bonjour,


k(x2 - x1 ) - m1 . d²x1/dt² = 0 (1)
k(x2 - x1 ) + m2 . d²x2/dt² = 0 (2)

--> m1 . d²x1/dt² = -m2 . d²x2/dt² (3)

En dérivant 2 fois (1) et en remplaçant dans le résultat d²x2/dt² par -(m1/m2) d²x1/dt² (tiré de (3)), on obtient une éq diff avec x1 seul
Elle sera d'ordre 4 ... mais sans aucune difficulté pour résoudre.

[gts2]

Là, je suis perdu, j'ai transformé mon système à deux masses en un autre à une seule masse sans le chercher.

C'est normal, vous avez un système isolé, donc une première équation qui vous dit que l'accélération du centre d'inertie est nulle (somme des deux équations).
Il reste donc un système à une variable (x2-x1) avec un ressort de constante k et la masse réduite .

[Opabinia]

--> m1 . d²x1/dt² = -m2 . d²x2/dt² (3)

En dérivant 2 fois (1) et en remplaçant dans le résultat d²x2/dt² par -(m1/m2) d²x1/dt² (tiré de (3)), on obtient une éq diff avec x1 seul
Elle sera d'ordre 4 ... mais sans aucune difficulté pour résoudre.

Il vient plus simplement: d²(m₁x₁ + m₂x₂)/dt² = 0 ,
soit encore, en introduisant l'abscisse du barycentre x_G = (m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁ + m₂) :

d²x_G/dt² = 0 ,

ce qui entraîne: dx_G/dt = C^te.
En l'absence de forces extérieures, le barycentre est animé d'un mouvement rectiligne uniforme.

[Black Jack 2]

Bonjour,

Il vient plus simplement: d2(m1x1 + m2x2)/dt2 = 0 ,
soit encore, en introduisant l'abscisse du barycentre xG = (m1x1 + m2x2)/(m1 + m2) :
d2xG/dt2 = 0 ,
ce qui entraîne: dxG/dt = Cte.
En l'absence de forces extérieures, le barycentre est animé d'un mouvement rectiligne uniforme.

Beaucoup de chemins mènent à Rome.

3 lignes ajoutées à ma réponse précédente et on obtient les éq diff pour x1 (et pour x2 dans la foulée, sans effort supplémentaire)
Et 1 ligne de plus pour trouver les expressions de x1(t) et de x2(t)

Il faut bien entendu connaître les conditions initiales pour déterminer les constantes d'intégration.

Plein d'autres approches sont évidemment possibles.