Réaction avec charge Uniformément Répartie ( charge linéaire )

[lilbat]

Bonjour,

Voici mon problème : il s'agit d'une barre soumis à une charge linéaire (50N/mm), cette barre est retenue par 4 renforts (A , B , C et D). Je cherche à retrouver les réactions des supports ( Ra, Rb , Rc et Rd).

Voilà comment je pense savoir faire : Tout d'abord séparer le système en plusieurs morceaux, et j'ai regrouper au barycentre la somme de la charge linéique (entre A et B F_II=50*650 et le vecteur F_II est placé au millieu de AB). Ensuite pour la réaction des supports j'utilise la somme des moments est égale à 0 en prenant deux supports et un effort. Voilà comment j'ai fais Rb



Mais Rb intervient aussi pour la réaction Rc donc à l'équation précédente il faut ajouter



Finalement Rb vaut



Pour les supports qui sont placés aux extrémités, comme le support A, j'ajoute simplement F_I à la formule de la somme des moments :




Je viens sur ce forum pour vérifier ce que j'ai fais et savoir si j'ai une erreur.

Je vous remercie d'avance, n'hésitez pas à demander plus de précision si quelque chose ne vous semble pas clair.
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[Resartus]

Bonjour,
Je suppose que ce n'est pas un exercice, mais un vrai cas pratique?

Je n'ai pas suivi tout votre calcul, mais vous n'y arriverez pas comme cela, sans hypothèse supplémentaire :

Il s'agit d'un système dit hyperstatique, c'est à dire qu'il y a "trop" de supports (2 de trop en fait)

Vous avez bien vu qu'il y a deux équations : une sur la somme des réactions qui vaut le poids, et l'autre sur les moments. Et c'est tout, alors qu'il y a 4 inconnues (et encore, en supposant que les réactions sont verticales. Ce serait encore plus sinon...).

Le problème est indéterminé si on ne prend pas en compte les élasticités de la barre et des supports.

Pour se rendre compte de la difficulté, on peut voir ce qui se passe si on descend légérement le pilier C. La charge se répartira moins sur lui, et plus sur les autres, et idem pour le D mais différemment

Pour le résoudre, il faut faire des suppositions raisonnables

1) supposer que les supports sont de même nature, et que leur alignement au départ est correct. Dans ce cas le problème est symétrique. On peut alors conclure que, en charge, Ra=Rd et Rb=Rc (ce qui va bien donner un moment total nul).

2) Mais ce n'est pas encore assez : En raison de la partie centrale qui est plus grande que l'extrémité (650/2 à comparer à 120), si on part d'un alignement à vide, on aura Rb=Rc<Ra=Rd en charge.
Le calcul exact pourrait se faire (il est fonction de l'élasticité des supports et de la poutre), mais ce qu'on préfère faire en pratique, c'est plutôt de surélever un peu à vide la hauteur des piliers centraux, pour faire en sorte que les réactions soient à peu près égales en charge.
(et elle seront donc toutes égales à 1/4 du poids total).

[Resartus]

Oups, erreur de signe : les efforts sur les suspentes centrales seront supérieures en charge, si on part d'un alignement à vide.

[Dynamix]

Salut

Autrement dit :
R_a = F_II/2 + F_I
Beaucoup de calculs pour arriver a un truc aussi simple que faux .

[A voir en vidéo sur Futura]

[lilbat]

@Resartus

Merci de votre réponse.

Cependant je ne comprends pas bien "ce qu'on préfère faire en pratique". Que veut dire surélever un peu à vide. Est-ce que cela signifie que lorsqu'il n'y as pas de chargement sur le système, on bloque les supports aux extrémités (ici A et D) et on déforme plastiquement les supports centraux (B et C) vers le haut?

[lilbat]

@Dynamix

En effet je n'ai pas fait la simplification pour éviter les erreurs de calculs (c'est pas comme si j'allais les faire à la main).

Dans ce cas quelle est la bonne démarche à suivre?

[gloster37]

Bonjour

Méthode des 3 moments

[Resartus]

Bonjour,
Désolé pour mon erreur de signe
Il y a des tas de réglages possibles, mais deux peuvent être intéressants :
1) si on veut que les efforts sur les quatre suspentes soient les plus faibles possible (donc tous les quatre égaux au quart du poids de la poutre, on doit descendre légèrement les deux suspentes centrales à vide, et l'élasticité en flexion de la poutre compensera le surpoids de sa partie centrale.
2) si on veut au contraire réduire le plus possible les efforts de flexion sur la poutre, on fait le contraire : on monte un peu les suspentes centrales à vide,pour que la position d'équilibre en charge soit celle où les 4 points d'accrochage soient horizontaux.

Si on part d'une situation à vide bien alignée, la position d'équilibre sera intermédiaire entre ces deux cas (légere surcharge sur les suspentes centrales, et un peu de flexion sur la poutre)

[lilbat]

@gloster

Méthode des 3 moments

Je voudrais que vous m'expliquiez cette méthodes. La seul méthodes des moments que je connaisse est celle que j'ai déjà utiliser

[lilbat]

@Resartus

D'accord mais comment connaitres les réactions sur les supports. Vous avez mentionner l'élasticité des supports et de la poutre, je suppose qu'il faut utiliser la loi de Hooke

[Dynamix]

Dans ce cas quelle est la bonne démarche à suivre?

Dans ce cas , je pense que le plus simple est d' utiliser la formule :
y" = -M(x)/EI
Avec :
y" = dérivée seconde par rapport à x de la déformation y(x)
E = le module de Young du matériaux .
I = le moment quadratique de la section .
M(x) = le moment fléchissant , fonction de x
https://fr.wikipedia.org/wiki/Flexion_(mat%C3%A9riau)

[gloster37]

Yo !!!

En pratique voilà ce qu'on fait

A: 18450.26 N
B: 35356.15 N
C: 35017.69 N
D: 19675.90 N

total sur appuis 108500 N




A++

[Jaunin]

Bonjour gloster37,
Avez-vous la possibilité de mettre des ressorts à la place des points fixe pour suivre Resartus :

(il est fonction de l'élasticité des supports et de la poutre),

Cordialement.
Jaunin__