Descente d'un satellite

[langcheuv]

Bonjour,

Voici un exercice dont la correction propose une méthode énergétique. J'essaie de résoudre ce problème en utilisant le PFD (ok c'est tordu). Je n'arrive donc pas à retrouver le résultat de la correction. Je pars peut être d'équations fausses, je néglige tous les termes en dr/dt et d^2r/dt^2.
Négliger tous les termes en dr/dt n'est peut être pas une bonne idée mais les équations en deviennent lourdes.
Si quelqu'un à une piste.

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[invitef29758b5]

Salut

Je pars peut être d'équations fausses

Oui , c' est surement ça .

[langcheuv]

Ça ne m'aide pas plus que ça...
Enfait je ne sais pas vraiment quels termes négliger, le corrigé n'est pas très clair.

[jacknicklaus]

Négliger tous les termes en dr/dt n'est peut être pas une bonne idée

En effet. Surtout dans un problème où le but est de relier une variation d'altitude (dr) en fonction du temps (dt)...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Vous nous dites que pour étudier r(t), vous négligez dr/dt, cela ne commence pas très bien.
Et vous ne nous donnez pas vos équations.

Juste pour info, dans un fil précédent, il y a eu une vingtaine de messages essayant de résoudre un problème, avant d'avoir au vingt-et-unième l'info qui permettait de comprendre.
Donc vous aurez une réponse si vous en dites un peu plus.

[langcheuv]

Normalement, Jusque là tout va bien :

[gts2]

Proposition : pour voir plus clair dans les approximations posez r(t)=R+ et cherchez l'équation en .

Faire la même approximation que la méthode énergétique : proche d'une orbite circulaire qui a pour origine la projection sur ur et écrire l'équation "complète" en u\theta.

Cela a l'air de marcher. Par contre, la mise en forme de la justification...

[langcheuv]

Qu'est ce que vous entendez par "complète", toujours en négligeant r'(t) r''(t)?

[gts2]

Non justement en gardant dr/dt (c'est quand même le minimum pour déterminer r(t)) et dans la projection orthoradiale, il n'y a pas de r''(t).

[langcheuv]

En fait même en négligeant r'(t) on peut trouver un r dépendant du temps puisque r est relié à thêta qui lui même dépend du temps. Non ?

Au départ l'accélération est

[gts2]

Pourquoi pas ? Et cela donne quoi ?

[langcheuv]

Je me suis certainement trompé puisque je trouve un temps bien plus court que le corrigé.

[jacknicklaus]

quelques indices :

projetez le PFD sur les vecteurs du repère polaire :



montrez que
montrez que

dérivez celà pour montrer

puis en remplacant dans une des équations du PFD montrez que


Ici on peut considérer que l'intervalle dr est suffisamment réduit pour dire r = R0 = constante dans le membre de droite. D'ou dt en fonction de dr = 10 km, soit :

ce qui est bien l'expression de votre corrigé qui utilise l'énergie pour aboutir bien plus facilement que par le PFD

[jacknicklaus]

coquille, désolé. il faut lire :

[langcheuv]

Merci pour votre aide, cependant je ne comprends pas votre projection suivant , où est passée la force de frottement ?

[langcheuv]

OK je comprend mieux, mais le cheminement me dérange un peu. On écrit que , un résultat vrai pour les orbites (quasi) circulaire mais en même temps on écrit l'accélération avec une composante non nul suivant . Je sais qu'on est dans des approximations où c'est un peu délicat...

[jacknicklaus]

Merci pour votre aide, cependant je ne comprends pas votre projection suivant , où est passée la force de frottement ?

EN ce qui concerne la relation permanente entre v² et r, qui est la caractéristique d'un objet en orbite, eh bien la justification est bien expliquée dans les 4 premières lignes du corrigé.