Équation des geodesiques

[invite62152432]

Bonjour. Je m'intéresse depuis longtemps a la relativité générale mais je ne m'étais jamais mis aux calculs. Mais confinement obligé, je m'y colle. J'ai vu l'équation des géodésiques. J'ai compris que upsilon(alpha) c'est les coordonnées dans le référentiel en chute libre (sans gravitation) que x(mu) c'est les coordonnées dans le référentiel "accéléré vers le haut", ref du laboratoire. Mais x(nu) et x(beta) ? Je comprends mathématiquement mais quel est leur signification ? Leur sens physique ? Merci d'avance.
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[albanxiii]

Bonjour,

Les indices dans les expressions que vous écrivez sont muets. Donc, pas de sens physique, on peut écrire ou , c'est la même chose.
C'est comme dans .

[invite62152432]

Donc donc x(nu), x(mu) et x(alpha) c'est exactement la même chose ? Pourquoi dans ce cas ne pas tout écrire x(mu) par exemple ?

[Amanuensis]

La "règle d'Einstein" qui permet de ne pas indiquer explicitement une somme sur indices demandent de mettre la même lettre sur deux indices qui varient ensemble.

Dans



il y a implicitement la somme sur béta et sur gamma (les deux parcourant indépendamment 0, 1, 2, 3), parce que répétés, une fois en haut, une fois en bas. alpha n'est pas répété, il n'est pas sommé, et apparaîtrait au résultat (si ce n'était pas 0).

Cela fait partie des règles de la notation "à la Ricci" (https://en.wikipedia.org/wiki/Ricci_calculus)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

J'ai donné comme référence pour la notation "à la Ricci" une page en anglais, qui n'a pas de correspondante dans le wiki en français. Il y a peut-être quelque part sur le web un aussi bon compendium en français, mais je n'en connais pas (et je n'ai pas cherché, faute de besoin).

Cette notation est très employée en RG, et la connaître une nécessité pour suivre les textes scientifiques sur le sujet.

[Sethy]

Bonjour. Je m'intéresse depuis longtemps a la relativité générale mais je ne m'étais jamais mis aux calculs. Mais confinement obligé, je m'y colle. J'ai vu l'équation des géodésiques. J'ai compris que upsilon(alpha) c'est les coordonnées dans le référentiel en chute libre (sans gravitation) que x(mu) c'est les coordonnées dans le référentiel "accéléré vers le haut", ref du laboratoire. Mais x(nu) et x(beta) ? Je comprends mathématiquement mais quel est leur signification ? Leur sens physique ? Merci d'avance.

Si tu veux t'y mettre, regarde les cours de Richard Taillet, lien ici :

https://forums.futura-sciences.com/a...iographie.html

Il s'enregistre pendant qu'il donne cours à une classe de M1.

Malheureusement, le site semble (temporairement ?) dans les choux.

En mélangeant YT : https://www.youtube.com/watch?v=zrX0rT_qmxE
Et ce site : https://podcloud.fr/podcast/cours-di...ivite-generale

on obtient 20 vidéos sur 24.

[jacknicklaus]

Si tu veux t'y mettre, regarde les cours de Richard Taillet, lien ici :

https://forums.futura-sciences.com/a...iographie.html

Excellente série, au demeurant. Ce cours semble être une version allégée de https://www.deboecksuperieur.com/ouv...ivite-generale dont il est le traducteur pour la version francophone.
Excellent livre également.

[Deedee81]

Salut,

J'ai l'impression qu'il faut commencer encore plus simple.

Donc donc x(nu), x(mu) et x(alpha) c'est exactement la même chose ? Pourquoi dans ce cas ne pas tout écrire x(mu) par exemple ?

Considérons un simple vecteur (un quadrivecteur) de composantes covariantes (1, 5, 23, -10) par exemple. Les quatre composantes sont nommées ()
(attention aux petites différences de convention entre auteurs)

Si je veux noter la composante de manière générique, je vais remplacer 0,1,2,3 par un indice qu'on indique habituellement par une lettre grecque. Et bien entendu je peux utiliser n'importe quel nom pour l'indice : . Ensuite dans une expression j'ai plusieurs variables indices, je vais utiliser évidemment des indices différents pour ne pas les confondre. Et si j'ai la même je vais utiliser la même variable. Avec une convention (Einstein) habituelle, un indice répété (en position covariante et contravariante) implique une sommation :

Ce genre de difficulté technique est très fréquent (curieusement j'avais fait apparemment une confusion analogue en lisant "quatre conférences sur la relativité générale" d'Einstein, mais bon j'avais 14 ans, et évidemment j'avais tout compris de travers ). Et lorsque j'ai abordé la RG sérieusement je me suis rendu compte que j'avais encore quelques difficultés. Donc j'ai lu : (très agréable à lire, très clair, complet, précis)
https://www.dunod.com/sciences-techn...cices-corriges

Après avoir lu tout ça, la RG c'est du gâteau

[Amanuensis]

composantes covariantes (1, 5, 23, -10)

!!?? Bel oxymore.

(attention aux petites différences de convention entre auteurs)

Oui, et on se demande bien pourquoi donner celle-là comme exemple !

Si je veux noter la composante de manière générique, je vais remplacer 0,1,2,3

Plutôt 1, 2, 3, 0, par cohérence...

par un indice qu'on indique habituellement par une lettre grecque.

Pour obtenir quoi ? ?

Et bien entendu je peux utiliser n'importe quel nom pour l'indice : .

Ensuite dans une expression j'ai plusieurs variables indices, je vais utiliser évidemment des indices différents pour ne pas les confondre. Et si j'ai la même je vais utiliser la même variable.

??? Le même lettre, plutôt...

Avec une convention (Einstein) habituelle, un indice répété (en position covariante et contravariante)

Sûr que pour "commencer encore plus simple", covariant et contravariant c'est plus simple que haut et bas.

implique une sommation :

Sûr là aussi qu'utiliser la même lettre (x) pour les deux plutôt que deux différentes, c'est "plus simple".

Sans plus de commentaires...

[Deedee81]

Après avoir lu tout ça, la RG c'est du gâteau

Ce qui vient s'ajouter à tout ça (je parle du bouquin en lien, pas de mon message) est la géométrie différentielle et bien sûr.... la physique !!!!
Là aussi par expérience je me suis rendu compte qu'on ne pouvait pas vraiment comprendre la théorie sans un minimum de géométrie.
Je me suis fait avoir d'ailleurs, j'avais étudié la RG de manière purement "calcul tensoriel/matriciel" et, oui, je savais faire les calculs.Mais entre calculer et comprendre il y a de la marge. C'est en étudiant l'approche de Cartan de la géométrie différentielle que je m'en suis rendu compte.

Et (évidemment ) il m'est arrivé de commettre depuis quelques grosses bourdes (y compris sur Futura), ce qui montre que la compréhension n'est jamais totale (Duning et Krugger, deux beaux salauds, sont toujours à l'affût) mais j'ai quand même senti nettement la différence (certains hélas croient avoir vraiment compris et se prennent pour des donneurs de leçons.... ce sont les cranks, qui ne restent jamais longtemps sur Futura, mais on les trouve ailleurs, surtout sur youtube, méfiance).

[markusbloch]

Je voudrais savoir quelles formules il faut utiliser pour calculer les distances : distance radiale et distance parcourue pour la particule sur la géodésique, dans les deux cas: coefficients du tenseur métrique: 1/ indépendants du temps 2/ dépendants du temps. Merci d'avance!